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1 [2025 崇川段测]将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一起，且∠1比∠2大28°，则∠1=
59°
。答案
1. 59°
解析
【分析】
首先观察图形，∠1、∠2和中间的直角共同组成一个平角，平角为180°，因此可推出∠1+∠2=180°-90°=90°；结合题目已知∠1比∠2大28°的条件，我们可以通过设未知数列一元一次方程的方法，利用角的和差关系计算，即可求出∠1的度数。
【解析】
解：设∠2的度数为$x$，则∠1的度数为$x+28°$。
根据平角的定义可得：
$∠1 + ∠2 + 90° = 180°$
代入得：$x + (x+28°) + 90° = 180°$
化简得：$2x + 118° = 180°$
移项计算得：$2x = 180° - 118° = 62°$
解得：$x = 31°$
因此$∠1 = 31° + 28° = 59°$
【答案】
$59°$
【知识点】
平角的定义、角的和差计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角度计算，解题的关键是从图形中挖掘出∠1与∠2的和为90°的隐含条件，再结合已知的角度差关系求解，属于角计算类的基础常考题。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，∠1、∠2和中间的直角共同组成一个平角，平角为180°，因此可推出∠1+∠2=180°-90°=90°；结合题目已知∠1比∠2大28°的条件，我们可以通过设未知数列一元一次方程的方法，利用角的和差关系计算，即可求出∠1的度数。
【解析】
解：设∠2的度数为$x$，则∠1的度数为$x+28°$。
根据平角的定义可得：
$∠1 + ∠2 + 90° = 180°$
代入得：$x + (x+28°) + 90° = 180°$
化简得：$2x + 118° = 180°$
移项计算得：$2x = 180° - 118° = 62°$
解得：$x = 31°$
因此$∠1 = 31° + 28° = 59°$
【答案】
$59°$
【知识点】
平角的定义、角的和差计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角度计算，解题的关键是从图形中挖掘出∠1与∠2的和为90°的隐含条件，再结合已知的角度差关系求解，属于角计算类的基础常考题。
【难度系数】
0.8
2 如图，C，D 是线段AB上的两点，CD=1 cm，M是AD的中点，N是BC的中点，且MN=3.5 cm，则AB=
8
cm.答案
2. 8
解析
【分析】
首先明确线段上点的顺序为A、M、C、D、N、B，已知M是AD中点、N是BC中点，可先利用中点性质得到MD与AD、CN与BC的数量关系；再通过拆分线段MD、CN，找到MD+CN与已知MN、CD的关系，进而求出AD+BC的长度；最后利用AD与BC重叠了CD段的特点，推导出AB与AD+BC、CD的关系，代入数值即可算出AB的长度。
【解析】
解：
∵ M是AD的中点，
∴ $ MD = \frac{1}{2}AD $，
∵ N是BC的中点，
∴ $ CN = \frac{1}{2}BC $。
观察线段和差关系可得：
$ MD + CN = (MC + CD) + (CD + DN) = (MC + CD + DN) + CD = MN + CD $，
将$ MN=3.5\ \mathrm{cm} $，$ CD=1\ \mathrm{cm} $代入得：
$ MD + CN = 3.5 + 1 = 4.5\ \mathrm{cm} $，
即 $ \frac{1}{2}AD + \frac{1}{2}BC = 4.5\ \mathrm{cm} $，
∴ $ AD + BC = 9\ \mathrm{cm} $。
又
∵ AD和BC重叠了CD段，因此$ AD + BC = AB + CD $，
∴ $ AB = AD + BC - CD = 9 - 1 = 8\ \mathrm{cm} $。
【答案】
8
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题核心是通过转化线段的和差关系，结合中点性质建立已知线段和未知线段的联系，需要学生具备一定的线段拆分和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
首先明确线段上点的顺序为A、M、C、D、N、B，已知M是AD中点、N是BC中点，可先利用中点性质得到MD与AD、CN与BC的数量关系；再通过拆分线段MD、CN，找到MD+CN与已知MN、CD的关系，进而求出AD+BC的长度；最后利用AD与BC重叠了CD段的特点，推导出AB与AD+BC、CD的关系，代入数值即可算出AB的长度。
【解析】
解：
∵ M是AD的中点，
∴ $ MD = \frac{1}{2}AD $，
∵ N是BC的中点，
∴ $ CN = \frac{1}{2}BC $。
观察线段和差关系可得：
$ MD + CN = (MC + CD) + (CD + DN) = (MC + CD + DN) + CD = MN + CD $，
将$ MN=3.5\ \mathrm{cm} $，$ CD=1\ \mathrm{cm} $代入得：
$ MD + CN = 3.5 + 1 = 4.5\ \mathrm{cm} $，
即 $ \frac{1}{2}AD + \frac{1}{2}BC = 4.5\ \mathrm{cm} $，
∴ $ AD + BC = 9\ \mathrm{cm} $。
又
∵ AD和BC重叠了CD段，因此$ AD + BC = AB + CD $，
∴ $ AB = AD + BC - CD = 9 - 1 = 8\ \mathrm{cm} $。
【答案】
8
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题核心是通过转化线段的和差关系，结合中点性质建立已知线段和未知线段的联系，需要学生具备一定的线段拆分和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
3 如图，O是直线AD上一点，且$∠ BOC=\frac{1}{3}∠ AOC=\frac{2}{3}∠ COD$.求$∠ BOC$的度数.
答案
3. 设∠BOC的度数为x.因为∠BOC=1/3∠AOC=2/3∠COD，所以∠AOC=3x，∠COD=3/2 x.因为∠AOC+∠COD=180°，所以3x + 3/2 x =180°，解得x=40°.所以∠BOC的度数为40°
解析
【分析】
首先观察图形可知AD是直线，根据平角的性质可得∠AOC+∠COD=180°，这是解题的核心等量关系。题目给出了∠BOC与∠AOC、∠COD的倍数关系，我们可以采用设未知数的方法，将∠AOC和∠COD都用含∠BOC的式子表示，再代入平角的等量关系中，列一元一次方程即可求出∠BOC的度数。
【解析】
设∠BOC的度数为$ x $。
∵$ ∠ BOC=\frac{1}{3}∠ AOC=\frac{2}{3}∠ COD $，
∴$ ∠ AOC=3x $，$ ∠ COD=\frac{3}{2}x $。
∵点O在直线AD上，$ ∠ AOC+∠ COD=180° $，
∴代入得：$ 3x+\frac{3}{2}x=180° $，
合并同类项得：$ \frac{9}{2}x=180° $，
解得：$ x=40° $。
【答案】
$ 40° $
【知识点】
平角的性质，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，核心是利用平角和为180°的性质构建等量关系，通过设未知数将多个关联的角度统一为同一个参数的表达式，进而列方程求解，这种方程思想是解决角度计算类问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知AD是直线，根据平角的性质可得∠AOC+∠COD=180°，这是解题的核心等量关系。题目给出了∠BOC与∠AOC、∠COD的倍数关系，我们可以采用设未知数的方法，将∠AOC和∠COD都用含∠BOC的式子表示，再代入平角的等量关系中，列一元一次方程即可求出∠BOC的度数。
【解析】
设∠BOC的度数为$ x $。
∵$ ∠ BOC=\frac{1}{3}∠ AOC=\frac{2}{3}∠ COD $，
∴$ ∠ AOC=3x $，$ ∠ COD=\frac{3}{2}x $。
∵点O在直线AD上，$ ∠ AOC+∠ COD=180° $，
∴代入得：$ 3x+\frac{3}{2}x=180° $，
合并同类项得：$ \frac{9}{2}x=180° $，
解得：$ x=40° $。
【答案】
$ 40° $
【知识点】
平角的性质，角的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，核心是利用平角和为180°的性质构建等量关系，通过设未知数将多个关联的角度统一为同一个参数的表达式，进而列方程求解，这种方程思想是解决角度计算类问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
4 如图，B，C两点把线段AD分成2:5:3的三部分(BC＞CD＞AB)，M为AD的中点，BM=6 cm，求CM和AD的长。
答案
4. 由题意，可设AB=2x cm，BC=5x cm，CD=3x cm，所以AD=AB+BC+CD=10x cm.因为M是AD的中点，所以AM=MD=1/2 AD=5x cm.所以BM=AM-AB=5x-2x=3x(cm).因为BM=6 cm，所以3x=6，解得x=2.所以BC=10 cm，AD=20 cm.所以CM=BC-BM=4 cm.所以CM=4 cm，AD=20 cm
解析
【分析】
遇到线段按比例分配的问题时，通常采用设参数的方法求解：首先根据B、C分线段AD的比例，设每一份长度为x，将AB、BC、CD的长度都用含x的代数式表示，求出AD的总长度；再结合M是AD中点的性质，得到AM的长度，通过线段的和差关系写出BM的表达式，结合已知BM的长度列方程求出x的值；最后利用线段和差关系计算CM，代入x求出AD的长度即可。
【解析】
解：根据B，C两点把线段AD分成2:5:3的三部分，设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=5x\ \mathrm{cm}$，$CD=3x\ \mathrm{cm}$。
则线段AD的总长度为：$AD=AB+BC+CD=2x+5x+3x=10x\ \mathrm{cm}$。
∵M为AD的中点，根据线段中点的定义，
∴$AM=MD=\frac{1}{2}AD=5x\ \mathrm{cm}$。
由线段的和差关系可得：$BM=AM-AB=5x-2x=3x\ \mathrm{cm}$。
已知$BM=6\ \mathrm{cm}$，因此$3x=6$，解得$x=2$。
由此可得：$AD=10x=10×2=20\ \mathrm{cm}$，$BC=5x=5×2=10\ \mathrm{cm}$。
再根据线段的和差关系：$CM=BC-BM=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$CM=4\ \mathrm{cm}$，$AD=20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，核心解题思路是利用设参数的方法将比例关系转化为可计算的代数式，结合线段中点的性质建立等量关系求解，这种“设元求解”的思想在线段、角度的比例类计算问题中应用非常广泛，要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
遇到线段按比例分配的问题时，通常采用设参数的方法求解：首先根据B、C分线段AD的比例，设每一份长度为x，将AB、BC、CD的长度都用含x的代数式表示，求出AD的总长度；再结合M是AD中点的性质，得到AM的长度，通过线段的和差关系写出BM的表达式，结合已知BM的长度列方程求出x的值；最后利用线段和差关系计算CM，代入x求出AD的长度即可。
【解析】
解：根据B，C两点把线段AD分成2:5:3的三部分，设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=5x\ \mathrm{cm}$，$CD=3x\ \mathrm{cm}$。
则线段AD的总长度为：$AD=AB+BC+CD=2x+5x+3x=10x\ \mathrm{cm}$。
∵M为AD的中点，根据线段中点的定义，
∴$AM=MD=\frac{1}{2}AD=5x\ \mathrm{cm}$。
由线段的和差关系可得：$BM=AM-AB=5x-2x=3x\ \mathrm{cm}$。
已知$BM=6\ \mathrm{cm}$，因此$3x=6$，解得$x=2$。
由此可得：$AD=10x=10×2=20\ \mathrm{cm}$，$BC=5x=5×2=10\ \mathrm{cm}$。
再根据线段的和差关系：$CM=BC-BM=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$CM=4\ \mathrm{cm}$，$AD=20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，核心解题思路是利用设参数的方法将比例关系转化为可计算的代数式，结合线段中点的性质建立等量关系求解，这种“设元求解”的思想在线段、角度的比例类计算问题中应用非常广泛，要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5 [2025启东期末]如图,以∠AOB的边OA为一条边作∠AOC,使∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB,则下列结论成立的是（
A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOC＜∠AOB
C.∠AOC=∠BOC或∠AOC=2∠BOC
D.∠AOC=∠BOC或∠AOC=3∠BOC
D
）A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOC＜∠AOB
C.∠AOC=∠BOC或∠AOC=2∠BOC
D.∠AOC=∠BOC或∠AOC=3∠BOC
答案
5. D
解析
【分析】
本题未明确OC的位置，需分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部；②OC在∠AOB外部，再结合角的和差关系推导∠AOC与∠BOC的数量关系，最终匹配正确选项。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当OC在∠AOB内部时：
根据角的和差关系，∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，
已知∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB，代入得：
∠AOB = ∠AOC + $\frac{1}{2}$∠AOB，
移项计算得∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB，因此∠AOC = ∠BOC。
2. 当OC在∠AOB外部时：
根据角的和差关系，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC，
已知∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB，即∠AOB = 2∠BOC，代入得：
∠AOC = 2∠BOC + ∠BOC = 3∠BOC。
综上，∠AOC=∠BOC或∠AOC=3∠BOC，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
解题时易忽略OC在∠AOB外部的情况，遇到未明确图形位置的几何题时，要考虑所有可能的位置情况，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题未明确OC的位置，需分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部；②OC在∠AOB外部，再结合角的和差关系推导∠AOC与∠BOC的数量关系，最终匹配正确选项。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当OC在∠AOB内部时：
根据角的和差关系，∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，
已知∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB，代入得：
∠AOB = ∠AOC + $\frac{1}{2}$∠AOB，
移项计算得∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB，因此∠AOC = ∠BOC。
2. 当OC在∠AOB外部时：
根据角的和差关系，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC，
已知∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB，即∠AOB = 2∠BOC，代入得：
∠AOC = 2∠BOC + ∠BOC = 3∠BOC。
综上，∠AOC=∠BOC或∠AOC=3∠BOC，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
解题时易忽略OC在∠AOB外部的情况，遇到未明确图形位置的几何题时，要考虑所有可能的位置情况，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
6 如图，M 为线段 AC 的中点，点 B 在线段 AC 上，N 为直线 AC 上的一点.若$\frac{CN}{BN}=\frac{1}{2}$，$AC=10$，$BC=4$，则线段 MN 的长为
$\frac{11}{3}$或9
.答案
6. $\frac{11}{3}$或9
解析
【分析】
解题时首先根据线段中点的性质求出MC的长度，由于N是直线AC上的点，位置不唯一，需分两种情况讨论：①N在线段BC上；②N在点C的右侧。再结合已知的CN与BN的比例关系，分别求出对应CN的长度，最后根据线段的和差关系计算MN的长度即可。
【解析】
已知$AC=10$，M是线段AC的中点，根据线段中点的定义可得：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$
已知$\frac{CN}{BN}=\frac{1}{2}$，即$BN=2CN$，分两种情况讨论：
1. 当点N在线段BC上时：
此时$BN+CN=BC=4$，将$BN=2CN$代入得：
$2CN+CN=4$，解得$CN=\frac{4}{3}$
则$MN=MC-CN=5-\frac{4}{3}=\frac{11}{3}$
2. 当点N在点C的右侧（AC的延长线上）时：
此时$BN=BC+CN$，将$BN=2CN$、$BC=4$代入得：
$4+CN=2CN$，解得$CN=4$
则$MN=MC+CN=5+4=9$
综上，线段MN的长为$\frac{11}{3}$或9。
【答案】
$\frac{11}{3}$或9
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的核心是注意“直线上的点”的位置不唯一，避免漏解，结合线段的比例关系和中点性质即可求出结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据线段中点的性质求出MC的长度，由于N是直线AC上的点，位置不唯一，需分两种情况讨论：①N在线段BC上；②N在点C的右侧。再结合已知的CN与BN的比例关系，分别求出对应CN的长度，最后根据线段的和差关系计算MN的长度即可。
【解析】
已知$AC=10$，M是线段AC的中点，根据线段中点的定义可得：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$
已知$\frac{CN}{BN}=\frac{1}{2}$，即$BN=2CN$，分两种情况讨论：
1. 当点N在线段BC上时：
此时$BN+CN=BC=4$，将$BN=2CN$代入得：
$2CN+CN=4$，解得$CN=\frac{4}{3}$
则$MN=MC-CN=5-\frac{4}{3}=\frac{11}{3}$
2. 当点N在点C的右侧（AC的延长线上）时：
此时$BN=BC+CN$，将$BN=2CN$、$BC=4$代入得：
$4+CN=2CN$，解得$CN=4$
则$MN=MC+CN=5+4=9$
综上，线段MN的长为$\frac{11}{3}$或9。
【答案】
$\frac{11}{3}$或9
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的核心是注意“直线上的点”的位置不唯一，避免漏解，结合线段的比例关系和中点性质即可求出结果。
【难度系数】
0.6
