8 [2025 海安期末]如果$∠ α$和$∠ β$互余,则下列式子不能表示$∠ α$的补角的是 ()

A.$180° - ∠ α$
B.$∠ α + 2∠ β$
C.$∠ β + 90°$
D.$2∠ α + ∠ β$

8. D

【分析】
首先明确余角和补角的定义：两个角互余说明两角之和为90°，一个角的补角是指与它相加等于180°的角，即∠α的补角为180°-∠α。已知∠α和∠β互余，可得∠α+∠β=90°，我们可以将这个关系代入各个选项，逐一判断选项的结果是否等于180°-∠α，即可选出符合要求的答案。
【解析】
∵∠α和∠β互余，
∴∠α+∠β=90°，即∠β=90°-∠α。
我们逐一分析各选项：
A. 根据补角的定义，∠α的补角就是180°-∠α，故A选项不符合题意；
B. 将∠β=90°-∠α代入∠α+2∠β，得：
∠α+2∠β=∠α+2(90°-∠α)=∠α+180°-2∠α=180°-∠α，能表示∠α的补角，故B选项不符合题意；
C. 将∠β=90°-∠α代入∠β+90°，得：
∠β+90°=(90°-∠α)+90°=180°-∠α，能表示∠α的补角，故C选项不符合题意；
D. 将∠β=90°-∠α代入2∠α+∠β，得：
2∠α+∠β=2∠α+(90°-∠α)=∠α+90°，不等于180°-∠α，不能表示∠α的补角，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义；代数式化简
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握余角和补角的定义，利用已知的互余关系对各选项进行变形验证即可得出结论。
【难度系数】
0.8

9 如图,点$A,O,B$在同一条直线上,$OC$是$∠ AOB$的平分线,$OD,OE$分别是$∠ AOC$和$∠ BOC$的平分线,那么与$∠ COD$互余的角共有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
（第9题）

9. C

【分析】
要解决这道题，首先明确互余的定义：若两个角的度数和为90°，则这两个角互余。接下来我们可以结合已知的角平分线条件，逐步计算出图中各相关小角的度数，再找出所有和∠COD相加等于90°的角即可。第一步先根据A、O、B共线得到平角∠AOB=180°，再通过角平分线的性质依次算出∠AOC、∠BOC的度数，接着算出OD、OE平分后得到的四个小角的度数，最后逐一验证哪些角和∠COD的和为90°。
【解析】
∵ 点A，O，B在同一条直线上，
∴ $∠ AOB = 180°$，
∵ OC是$∠ AOB$的平分线，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = 90°$，
∵ OD平分$∠ AOC$，OE平分$∠ BOC$，
∴ $∠ AOD = ∠ COD = \frac{1}{2}∠ AOC = 45°$，$∠ COE = ∠ EOB = \frac{1}{2}∠ BOC = 45°$，
∴ $∠ COD + ∠ AOD = 45°+45°=90°$，
$∠ COD + ∠ COE = 45°+45°=90°$，
$∠ COD + ∠ EOB = 45°+45°=90°$，
即与$∠ COD$互余的角有$∠ AOD$、$∠ COE$、$∠ EOB$，共3个。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题是角的计算基础题，核心是结合角平分线性质求出各角的度数，再根据互余的定义筛选符合条件的角，解题时要注意互余是两个角的数量关系，和位置无关，避免漏算。
【难度系数】
0.7

10 如果一个角的补角的度数是$128°16'26''$，那么它的余角的度数为。

10. $38°16'26''$

【分析】
解题首先要明确余角和补角的基本定义：两个角的和为180°则互为补角，两个角的和为90°则互为余角。可以按两步思路计算：第一步先根据补角的度数求出这个角本身的度数，第二步再用90°减去该角的度数得到余角；也可以推导简化计算：一个角的余角=该角的补角-90°，直接计算更简便，计算时需注意度分秒为60进制，借1要按60换算。
【解析】
方法一：
1. 计算这个角的度数：
互为补角的两角和为180°，因此该角度数=180°-128°16'26''
将180°换算为179°59'60''（度分秒为60进制，借1°=60'，借1'=60''）
计算得：179°59'60''-128°16'26''=51°43'34''
2. 计算该角的余角度数：
互为余角的两角和为90°，因此余角度数=90°-51°43'34''
将90°换算为89°59'60''
计算得：89°59'60''-51°43'34''=38°16'26''
方法二（简便算法）：
设该角为∠α，由定义得：∠α的补角=180°-∠α，∠α的余角=90°-∠α
推导可得：∠α的余角=(180°-∠α)-90°=补角度数-90°
代入计算：128°16'26''-90°=38°16'26''
【答案】
$38°16'26''$
【知识点】
补角的定义，余角的定义，度分秒运算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握余角、补角的数量关系，计算时注意度分秒的60进制换算规则，避免借位计算出错，使用推导的简便公式可以减少计算量，提升准确率。
【难度系数】
0.8

11 (1) 将一副三角尺按如图①所示的方式叠放，使直角顶点重合于点 O，则∠AOB + ∠DOC = ；
(2) 将一副三角尺按如图②所示的方式叠放，则∠CDE 与∠ADC 之间的数量关系是 。

11. (1) $180°$ (2) $∠CDE+∠ADC=180°$

【分析】
(1) 解题思路：首先明确三角尺的两个直角均为90°，即$∠ AOC=∠ BOD=90°$。要求$∠ AOB+∠ DOC$的度数，可将$∠ AOB$拆分为$∠ AOC+∠ COB$，代入原式后，发现$∠ COB+∠ DOC$恰好等于直角$∠ BOD$，代入计算即可得到结果。
(2) 解题思路：结合三角尺的特殊角度特征，通过角的和差关系推导，可发现$∠ CDE$与$∠ ADC$相加为平角，即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 由三角尺的性质得$∠ AOC=90°$，$∠ BOD=90°$。
因为$∠ AOB=∠ AOC+∠ COB$，
所以$∠ AOB+∠ DOC=∠ AOC+∠ COB+∠ DOC=∠ AOC+(∠ COB+∠ DOC)$。
又因为$∠ COB+∠ DOC=∠ BOD=90°$，
所以$∠ AOB+∠ DOC=90°+90°=180°$。
(2) 根据角的和差关系与三角尺的特殊角度推导可得：
$∠ ADC+∠ CDE$的和为平角，平角度数为$180°$，因此$∠ CDE+∠ ADC=180°$。
【答案】
(1) $180°$；(2) $∠ CDE+∠ ADC=180°$
【知识点】
角的和差计算、直角的性质、补角的定义
【点评】
本题结合三角尺叠放的常见场景考查角度计算，解题关键是牢记三角尺的特殊角度，灵活拆分角度进行和差运算，属于基础题型，解题时注意挖掘图形中的隐含角度关系即可。
【难度系数】
0.7

12 如图，$∠ AOB$ 和 $∠ AOD$ 分别是 $∠ AOC$ 的余角和补角，且 $OC$ 是 $∠ BOD$ 的平分线. 求 $∠ AOC$ 的度数.
（第12题）

12. 由题意，得$∠AOB+∠AOC=90°$，$∠AOD+∠AOC=180°$.设$∠AOC=x°$，则$∠AOB=(90-x)°$，$∠AOD=(180-x)°$.因为OC是$∠BOD$的平分线，所以$∠DOC=∠BOC$.所以$∠AOD-∠AOC=∠AOC-∠AOB$.所以$180-x-x=x-(90-x)$，解得$x=67.5$.所以$∠AOC=67.5°$

【分析】
解题时首先回忆余角、补角的定义：两个角互为余角则和为90°，互为补角则和为180°，据此先得到∠AOB、∠AOD与∠AOC的数量关系。我们可以设∠AOC的度数为x°，用含x的式子表示出∠AOB和∠AOD。再根据OC平分∠BOD的条件，得到∠DOC=∠BOC，观察图形可知∠DOC=∠AOD-∠AOC，∠BOC=∠AOC-∠AOB，代入含x的式子即可列出方程，求解方程就能得到∠AOC的度数。
【解析】
解：由余角、补角的定义可得：
$∠AOB + ∠AOC = 90°$，$∠AOD + ∠AOC = 180°$
设$∠AOC = x°$，则$∠AOB = (90 - x)°$，$∠AOD = (180 - x)°$
∵ OC是$∠BOD$的平分线
∴ $∠DOC = ∠BOC$
又
∵ $∠DOC = ∠AOD - ∠AOC$，$∠BOC = ∠AOC - ∠AOB$
∴ $∠AOD - ∠AOC = ∠AOC - ∠AOB$
将含x的式子代入得：
$180 - x - x = x - (90 - x)$
整理得：$180 - 2x = 2x - 90$
移项合并同类项得：$4x = 270$
解得：$x = 67.5$
【答案】
$∠AOC=67.5°$
【知识点】
余角与补角，角平分线定义，方程法求角度
【点评】
本题综合考查了几何中角度计算的相关知识，解题核心是找准角与角之间的等量关系，运用方程思想将几何问题转化为代数方程求解，是角度计算类的典型习题。
【难度系数】
0.7

13 如图，A,O,B 三点在同一条直线上，∠BOD 与∠BOC 互补.
(1) ∠AOC 与∠BOD 相等吗？为什么？
(2) 已知 OM 平分∠AOC，射线 ON 在∠COD 的内部，且满足∠AOC 与∠MON 互余.
① 若∠AOC=32°，求∠MON 的度数.
② ∠AON 与∠DON 之间有怎样的数量关系？请说明理由.

13. (1) $∠AOC=∠BOD$ 因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，所以$∠BOD + ∠BOC = 180°$. 因为$∠AOC + ∠BOC = 180°$，所以$∠AOC=∠BOD$
(2) 如图，① 因为$∠AOC$与$∠MON$互余，所以$∠MON=90°-∠AOC=58°$
② $∠AON=∠DON$
理由:因为OM平分$∠AOC$，所以$∠AOC=2∠AOM$，$∠COM=∠AOM$.因为$∠AOC$与$∠MON$互余，所以$∠AOC+∠MON=90°$.所以易得$∠AON=90°-∠AOM$.所以$∠CON=90°-3∠AOM$.因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，所以$∠BOD+∠BOC=180°$.所以$∠CON+∠DON+2∠BOD=180°$.又因为$∠BOD=∠AOC=2∠AOM$，所以$∠DON=180°-∠CON-2∠BOD=180°-（90°- 3 ∠AOM）- 4∠AOM = 90° - ∠AOM$.所以$∠AON=∠DON$.

【分析】
(1) 判断∠AOC与∠BOD是否相等，可从补角的性质入手：已知∠BOD与∠BOC互补，又因为A、O、B三点共线，∠AOC与∠BOC是邻补角也互补，根据“同角的补角相等”即可得出结论。
(2) ① 已知两角互余即两角和为90°，直接用90°减去∠AOC的度数即可求出∠MON的度数。
② 推导∠AON与∠DON的数量关系时，先利用角平分线的定义将∠AOC转化为2∠AOM，再结合∠AOC与∠MON互余的条件，分别用含∠AOM的式子表示出∠AON和∠DON，同时借助(1)中∠BOD=∠AOC的结论进行等量代换，即可得到二者的关系。
【解析】
(1) ∠AOC与∠BOD相等，理由如下：
∵ ∠BOD与∠BOC互补，
∴ ∠BOD + ∠BOC = 180°，
∵ A、O、B在同一直线上，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
根据同角的补角相等，可得∠AOC=∠BOD。
(2) ①
∵ ∠AOC与∠MON互余，
∴ ∠AOC + ∠MON = 90°，
已知∠AOC=32°，代入得∠MON=90°-32°=58°。
② ∠AON=∠DON，理由如下：
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠COM=∠AOM，
∵ ∠AOC与∠MON互余，
∴ ∠AOC+∠MON=90°，
可得∠AON=∠AOM+∠MON=∠AOM+(90°-∠AOC)=∠AOM+(90°-2∠AOM)=90°-∠AOM，
∠CON=∠MON-∠COM=(90°-2∠AOM)-∠AOM=90°-3∠AOM，
由(1)得∠BOD=∠AOC=2∠AOM，
又
∵ ∠BOD+∠BOC=180°，∠BOC=∠CON+∠DON+∠BOD，
代入得∠CON+∠DON+2∠BOD=180°，
将∠CON=90°-3∠AOM、∠BOD=2∠AOM代入得：
∠DON=180°-(90°-3∠AOM)-4∠AOM=90°-∠AOM，
∴ ∠AON=∠DON。
【答案】
13. (1) $∠AOC=∠BOD$ 因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，所以$∠BOD + ∠BOC = 180°$. 因为$∠AOC + ∠BOC = 180°$，所以$∠AOC=∠BOD$
(2) 如图，① 因为$∠AOC$与$∠MON$互余，所以$∠MON=90°-∠AOC=58°$
② $∠AON=∠DON$
理由:因为OM平分$∠AOC$，所以$∠AOC=2∠AOM$，$∠COM=∠AOM$.因为$∠AOC$与$∠MON$互余，所以$∠AOC+∠MON=90°$.所以易得$∠AON=90°-∠AOM$.所以$∠CON=90°-3∠AOM$.因为$∠BOD$与$∠BOC$互补，所以$∠BOD+∠BOC=180°$.所以$∠CON+∠DON+2∠BOD=180°$.又因为$∠BOD=∠AOC=2∠AOM$，所以$∠DON=180°-∠CON-2∠BOD=180°-（90°- 3 ∠AOM）- 4∠AOM = 90° - ∠AOM$.所以$∠AON=∠DON$.

【知识点】
补角的性质，余角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题考查角的相关性质与运算，解题核心是熟练掌握余角、补角的性质以及角平分线的定义，结合图形梳理各角的和差关系，合理利用已知的等量结论进行代换，是角的性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.7