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1 已知$∠α$与$∠β$互为余角，且$∠α=32°30'$，则$∠β$的度数为（
A.$147°30'$
B.$57.5°$
C.$67°30'$
D.$57.3°$
B
）A.$147°30'$
B.$57.5°$
C.$67°30'$
D.$57.3°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要回忆余角的定义：互为余角的两个角的度数和为90°。已知∠α和∠β互余，且给出了∠α的具体度数，我们可以先根据余角的性质列出求∠β的算式，再按照度分秒的60进制规则计算结果，最后将结果换算为和选项匹配的形式，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵ ∠α与∠β互为余角，根据余角的定义可得：
$∠α + ∠β = 90°$
∴ $∠β = 90° - ∠α$
将$∠α=32°30'$代入上式：
$∠β = 90° - 32°30'$
∵ $1°=60'$，把$90°$转化为$89°60'$方便计算：
$∠β = 89°60' - 32°30' = 57°30'$
再将分换算为度：$30'=(30÷60)°=0.5°$
∴ $∠β=57°+0.5°=57.5°$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题考查余角的基本性质和角度单位的换算，解题核心是牢记互余两角的和为90°，同时要注意度分秒是60进制，避免按10进制换算出现错误。
【难度系数】
0.75
解题时首先要回忆余角的定义：互为余角的两个角的度数和为90°。已知∠α和∠β互余，且给出了∠α的具体度数，我们可以先根据余角的性质列出求∠β的算式，再按照度分秒的60进制规则计算结果，最后将结果换算为和选项匹配的形式，即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵ ∠α与∠β互为余角，根据余角的定义可得：
$∠α + ∠β = 90°$
∴ $∠β = 90° - ∠α$
将$∠α=32°30'$代入上式：
$∠β = 90° - 32°30'$
∵ $1°=60'$，把$90°$转化为$89°60'$方便计算：
$∠β = 89°60' - 32°30' = 57°30'$
再将分换算为度：$30'=(30÷60)°=0.5°$
∴ $∠β=57°+0.5°=57.5°$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题考查余角的基本性质和角度单位的换算，解题核心是牢记互余两角的和为90°，同时要注意度分秒是60进制，避免按10进制换算出现错误。
【难度系数】
0.75
2 [2026 如皋段测]小明将一副三角尺摆成如图所示的形状,则下列结论不一定正确的是 (
A.$∠COA=∠DOB$
B.$∠COA$与$∠DOA$互余
C.$∠AOD=∠B$
D.$∠AOD$与$∠COB$互补
C
)A.$∠COA=∠DOB$
B.$∠COA$与$∠DOA$互余
C.$∠AOD=∠B$
D.$∠AOD$与$∠COB$互补
答案
2. C
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角尺的两个直角∠COD、∠AOB均为90°，接下来结合角的和差关系、余角与补角的定义，逐一验证每个选项的结论是否一定成立，即可选出符合要求的答案。
【解析】
由三角尺的特征可得：∠COD=∠AOB=90°。
对选项A：
∵∠COA + ∠AOD = ∠COD=90°，∠DOB + ∠AOD = ∠AOB=90°，根据同角的余角相等，可得∠COA=∠DOB，该结论一定成立，不符合题意。
对选项B：
∵∠COA + ∠DOA = ∠COD=90°，根据互余的定义，可知∠COA与∠DOA互余，该结论一定成立，不符合题意。
对选项C：∠B是三角尺中固定的30°角，而∠AOD的度数随摆放位置变化，不一定等于30°，因此该结论不一定成立，符合题意。
对选项D：∠COB=∠COD + ∠DOB=90°+∠DOB，∠AOD=∠AOB - ∠DOB=90°-∠DOB，因此∠COB + ∠AOD=90°+∠DOB + 90°-∠DOB=180°，根据互补的定义，可知∠AOD与∠COB互补，该结论一定成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题结合三角尺的角度特性考查余角、补角的相关性质，解题的核心是抓住两个直角始终为90°的不变量，通过角的和差推导各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确三角尺的两个直角∠COD、∠AOB均为90°，接下来结合角的和差关系、余角与补角的定义，逐一验证每个选项的结论是否一定成立，即可选出符合要求的答案。
【解析】
由三角尺的特征可得：∠COD=∠AOB=90°。
对选项A：
∵∠COA + ∠AOD = ∠COD=90°，∠DOB + ∠AOD = ∠AOB=90°，根据同角的余角相等，可得∠COA=∠DOB，该结论一定成立，不符合题意。
对选项B：
∵∠COA + ∠DOA = ∠COD=90°，根据互余的定义，可知∠COA与∠DOA互余，该结论一定成立，不符合题意。
对选项C：∠B是三角尺中固定的30°角，而∠AOD的度数随摆放位置变化，不一定等于30°，因此该结论不一定成立，符合题意。
对选项D：∠COB=∠COD + ∠DOB=90°+∠DOB，∠AOD=∠AOB - ∠DOB=90°-∠DOB，因此∠COB + ∠AOD=90°+∠DOB + 90°-∠DOB=180°，根据互补的定义，可知∠AOD与∠COB互补，该结论一定成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题结合三角尺的角度特性考查余角、补角的相关性质，解题的核心是抓住两个直角始终为90°的不变量，通过角的和差推导各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
3 如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC。若∠DOC=30°，∠AOD和∠DOE互余，则∠COE的度数是（
A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：首先利用角平分线的性质，由OD平分∠AOC和已知的∠DOC度数，求出∠AOD的度数；再根据互余的定义（两个角的和为90°），结合∠AOD和∠DOE互余的条件，算出∠DOE的度数；最后观察图形中角的和差关系，∠DOE由∠DOC和∠COE组成，用∠DOE减去∠DOC即可得到∠COE的度数。
【解析】
解：
∵ OD平分∠AOC，∠DOC=30°
∴ ∠AOD=∠DOC=30°
∵ ∠AOD和∠DOE互余
∴ ∠AOD + ∠DOE = 90°
∴ ∠DOE = 90° - ∠AOD = 90° - 30° = 60°
又
∵ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE
∴ ∠COE = ∠DOE - ∠DOC = 60° - 30° = 30°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义、余角的定义、角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度运算题，主要考查角相关基本概念的应用，只要理清图中各角的数量关系，代入已知条件计算就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件逐步推导：首先利用角平分线的性质，由OD平分∠AOC和已知的∠DOC度数，求出∠AOD的度数；再根据互余的定义（两个角的和为90°），结合∠AOD和∠DOE互余的条件，算出∠DOE的度数；最后观察图形中角的和差关系，∠DOE由∠DOC和∠COE组成，用∠DOE减去∠DOC即可得到∠COE的度数。
【解析】
解：
∵ OD平分∠AOC，∠DOC=30°
∴ ∠AOD=∠DOC=30°
∵ ∠AOD和∠DOE互余
∴ ∠AOD + ∠DOE = 90°
∴ ∠DOE = 90° - ∠AOD = 90° - 30° = 60°
又
∵ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE
∴ ∠COE = ∠DOE - ∠DOC = 60° - 30° = 30°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义、余角的定义、角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度运算题，主要考查角相关基本概念的应用，只要理清图中各角的数量关系，代入已知条件计算就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4 已知∠α的补角比∠α的余角的2倍多40°，则∠α的度数为
$40°$
。答案
4. $40°$
解析
【分析】
解题时首先回忆余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。我们可以先设∠α的度数为x°，分别用含x的式子表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“补角比余角的2倍多40°”的等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出∠α的度数。
【解析】
设∠α的度数为$x°$，则：
∠α的余角为$(90 - x)°$，∠α的补角为$(180 - x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 2(90 - x) + 40$
展开等号右侧：
$180 - x = 180 - 2x + 40$
移项合并同类项：
$-x + 2x = 180 + 40 - 180$
解得：$x = 40$
【答案】
$40°$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，列方程解角度问题
【点评】
本题是余角补角相关的基础题型，核心是准确掌握余角和补角的概念，能根据题干描述正确提取等量关系，通过列一元一次方程求解未知角的度数，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。我们可以先设∠α的度数为x°，分别用含x的式子表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“补角比余角的2倍多40°”的等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出∠α的度数。
【解析】
设∠α的度数为$x°$，则：
∠α的余角为$(90 - x)°$，∠α的补角为$(180 - x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 2(90 - x) + 40$
展开等号右侧：
$180 - x = 180 - 2x + 40$
移项合并同类项：
$-x + 2x = 180 + 40 - 180$
解得：$x = 40$
【答案】
$40°$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，列方程解角度问题
【点评】
本题是余角补角相关的基础题型，核心是准确掌握余角和补角的概念，能根据题干描述正确提取等量关系，通过列一元一次方程求解未知角的度数，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
5 如图，O是直线AB上的一点，OC是∠AOB的平分线.
(1) ∠AOD 的补角是
(2) ∠BOD 的补角是
(3) 若∠COD=35°，则∠AOD 的度数为
(1) ∠AOD 的补角是
$∠BOD$
，∠COD 的余角是 $∠AOD$
；(2) ∠BOD 的补角是
$∠AOD$
，∠AOC 的补角是 $∠BOC$
；(3) 若∠COD=35°，则∠AOD 的度数为
$55°$
，∠BOD 的度数为 $125°$
.答案
5. (1) $∠BOD$ $∠AOD$
(2) $∠AOD$ $∠BOC$
(3) $55°$ $125°$
(2) $∠AOD$ $∠BOC$
(3) $55°$ $125°$
解析
【分析】
解题前先明确两个核心定义：①如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角；②如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角。首先根据题目的已知条件，O是直线AB上的点，可得平角∠AOB=180°，又因为OC是∠AOB的平分线，可推出∠AOC=∠BOC=90°，再结合余角、补角的定义逐个求解各小问即可。
【解析】
首先推导基础条件：
∵ O是直线AB上的点，
∴ $∠ AOB=180°$
∵ OC平分$∠ AOB$，
∴ $∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=90°$
(1) 根据补角定义：两角和为180°则互为补角，
∵ $∠ AOD + ∠ BOD = ∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOD$的补角是$∠ BOD$；
根据余角定义：两角和为90°则互为余角，
∵ $∠ COD + ∠ AOD = ∠ AOC=90°$，
∴ $∠ COD$的余角是$∠ AOD$。
(2)
∵ $∠ BOD + ∠ AOD = ∠ AOB=180°$，
∴ $∠ BOD$的补角是$∠ AOD$；
∵ $∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOC$的补角是$∠ BOC$。
(3) 已知$∠ COD=35°$，
$∠ AOD = ∠ AOC - ∠ COD = 90° - 35° = 55°$；
$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
(1) $∠ BOD$，$∠ AOD$
(2) $∠ AOD$，$∠ BOC$
(3) $55°$，$125°$
【知识点】
补角的定义，余角的定义，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要结合角平分线的性质考查余角、补角的识别与计算，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题前先明确两个核心定义：①如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角；②如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角。首先根据题目的已知条件，O是直线AB上的点，可得平角∠AOB=180°，又因为OC是∠AOB的平分线，可推出∠AOC=∠BOC=90°，再结合余角、补角的定义逐个求解各小问即可。
【解析】
首先推导基础条件：
∵ O是直线AB上的点，
∴ $∠ AOB=180°$
∵ OC平分$∠ AOB$，
∴ $∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=90°$
(1) 根据补角定义：两角和为180°则互为补角，
∵ $∠ AOD + ∠ BOD = ∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOD$的补角是$∠ BOD$；
根据余角定义：两角和为90°则互为余角，
∵ $∠ COD + ∠ AOD = ∠ AOC=90°$，
∴ $∠ COD$的余角是$∠ AOD$。
(2)
∵ $∠ BOD + ∠ AOD = ∠ AOB=180°$，
∴ $∠ BOD$的补角是$∠ AOD$；
∵ $∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOC$的补角是$∠ BOC$。
(3) 已知$∠ COD=35°$，
$∠ AOD = ∠ AOC - ∠ COD = 90° - 35° = 55°$；
$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
(1) $∠ BOD$，$∠ AOD$
(2) $∠ AOD$，$∠ BOC$
(3) $55°$，$125°$
【知识点】
补角的定义，余角的定义，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要结合角平分线的性质考查余角、补角的识别与计算，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6 如图，$∠ AOB=α(α＜90°)$。
(1) $∠ AOB$的余角为$∠ AOC$，射线$OM$平分$∠ AOB$，当$∠ AOB=40°$时，求$∠ MOC$的度数；
(2) 若$∠ AOB$的补角为$∠ BOD(OD$在$OB$下方$)$，射线$ON$平分$∠ BOD$，请画出对应图形，并用含$α$的式子表示$∠ AON$的度数。
(1) $∠ AOB$的余角为$∠ AOC$，射线$OM$平分$∠ AOB$，当$∠ AOB=40°$时，求$∠ MOC$的度数；
(2) 若$∠ AOB$的补角为$∠ BOD(OD$在$OB$下方$)$，射线$ON$平分$∠ BOD$，请画出对应图形，并用含$α$的式子表示$∠ AON$的度数。
答案
6. (1) 因为$∠AOB$ 的余角为$∠AOC$，$∠AOB = 40°$，所以$∠AOC=90°-∠AOB=50°$.因为射线 $OM$ 平分$∠AOB$，所以$∠MOA = \frac{1}{2} ∠AOB = 20°$. 所以$∠MOC = 20° + 50° = 70°$
(2) 画出对应图形如图所示 如图，因为$∠AOB$ 的补角为$∠BOD$，$∠AOB=α$，所以$∠BOD=180°-α$.因为射线 $ON$ 平分$∠BOD$，所以$∠BON = \frac{1}{2} ∠BOD = \frac{1}{2} (180°-α) = 90°-\frac{α}{2}$.所以$∠AON = ∠AOB + ∠BON = 90°+\frac{α}{2}$
解析
【分析】
(1) 解题先利用余角定义：互余两角和为90°，先求出∠AOC的度数；再根据角平分线定义，得到OM平分∠AOB后∠MOA的度数；最后结合图形可知∠MOC是∠AOC与∠MOA的和，相加即可得结果。
(2) 解题先利用补角定义：互补两角和为180°，求出∠BOD的度数；再根据角平分线定义求出∠BON的度数；结合图形可知∠AON是∠AOB与∠BON的和，代入化简即可得到含α的表达式，画图时注意OD在OB下方，ON平分∠BOD。
【解析】
(1) 因为∠AOB的余角为∠AOC，根据余角的定义可得：
$∠ AOC=90°-∠ AOB$
当$∠ AOB=40°$时，代入得$∠ AOC=90°-40°=50°$
因为射线$OM$平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义可得：
$∠ MOA=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×40°=20°$
由图形角的和差关系得$∠ MOC=∠ AOC+∠ MOA$，代入计算得：
$∠ MOC=50°+20°=70°$
(2) 按照题意画出对应图形如下：
因为∠AOB的补角为∠BOD，根据补角的定义，$∠ AOB=α$，可得：
$∠ BOD=180°-∠ AOB=180°-α$
因为射线$ON$平分$∠ BOD$，根据角平分线的定义可得：
$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{α}{2}$
由图形角的和差关系得$∠ AON=∠ AOB+∠ BON$，代入化简得：
$∠ AON=α+90°-\frac{α}{2}=90°+\frac{α}{2}$
【答案】
(1) $∠ MOC=70°$；
(2) 对应图形：，$∠ AON=90°+\frac{α}{2}$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题是角的运算基础题，核心是结合图形理清角之间的和差关系，再结合余角、补角、角平分线的定义逐步计算即可，解题时要注意第二问先准确画出图形，避免因图形判断错误出错。
【难度系数】
0.8
(1) 解题先利用余角定义：互余两角和为90°，先求出∠AOC的度数；再根据角平分线定义，得到OM平分∠AOB后∠MOA的度数；最后结合图形可知∠MOC是∠AOC与∠MOA的和，相加即可得结果。
(2) 解题先利用补角定义：互补两角和为180°，求出∠BOD的度数；再根据角平分线定义求出∠BON的度数；结合图形可知∠AON是∠AOB与∠BON的和，代入化简即可得到含α的表达式，画图时注意OD在OB下方，ON平分∠BOD。
【解析】
(1) 因为∠AOB的余角为∠AOC，根据余角的定义可得：
$∠ AOC=90°-∠ AOB$
当$∠ AOB=40°$时，代入得$∠ AOC=90°-40°=50°$
因为射线$OM$平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义可得：
$∠ MOA=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×40°=20°$
由图形角的和差关系得$∠ MOC=∠ AOC+∠ MOA$，代入计算得：
$∠ MOC=50°+20°=70°$
(2) 按照题意画出对应图形如下：
因为∠AOB的补角为∠BOD，根据补角的定义，$∠ AOB=α$，可得：
$∠ BOD=180°-∠ AOB=180°-α$
因为射线$ON$平分$∠ BOD$，根据角平分线的定义可得：
$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{α}{2}$
由图形角的和差关系得$∠ AON=∠ AOB+∠ BON$，代入化简得：
$∠ AON=α+90°-\frac{α}{2}=90°+\frac{α}{2}$
【答案】
(1) $∠ MOC=70°$；
(2) 对应图形：
，$∠ AON=90°+\frac{α}{2}$【知识点】
余角的定义，补角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题是角的运算基础题，核心是结合图形理清角之间的和差关系，再结合余角、补角、角平分线的定义逐步计算即可，解题时要注意第二问先准确画出图形，避免因图形判断错误出错。
【难度系数】
0.8
7 将一副三角尺按下列方式进行摆放，$∠ 1$，$∠ 2$ 不互补的是 （
A
B
D
D
）A
B
D
答案
7. D
解析
【分析】
要判断∠1和∠2是否互补，首先要明确互补的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。解题时我们结合三角尺的角度特征（每个三角尺都有一个90°的直角），逐个计算四个选项中∠1和∠2的度数和，找出和不等于180°的选项即可。
【解析】
根据补角的定义，两角之和为180°则两角互补，我们逐一分析选项：
选项A：结合图形特征，可得∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
选项B：根据平角定义和对顶角相等的性质，可推出∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
选项C：观察图形可得，∠1与和∠2相等的角组成平角，因此∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
选项D：结合三角尺的角度特征，可得∠1=90°-45°=45°，∠2=90°-45°=45°，因此∠1+∠2=90°≠180°，两角不互补，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义，三角尺角度特征，角度计算
【点评】
本题考查互补关系的判定，解题的关键是熟练掌握补角的定义，结合三角尺的特征正确计算角度和，属于基础类题型，主要考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断∠1和∠2是否互补，首先要明确互补的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。解题时我们结合三角尺的角度特征（每个三角尺都有一个90°的直角），逐个计算四个选项中∠1和∠2的度数和，找出和不等于180°的选项即可。
【解析】
根据补角的定义，两角之和为180°则两角互补，我们逐一分析选项：
选项A：结合图形特征，可得∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
选项B：根据平角定义和对顶角相等的性质，可推出∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
选项C：观察图形可得，∠1与和∠2相等的角组成平角，因此∠1+∠2=180°，两角互补，不符合题意；
选项D：结合三角尺的角度特征，可得∠1=90°-45°=45°，∠2=90°-45°=45°，因此∠1+∠2=90°≠180°，两角不互补，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义，三角尺角度特征，角度计算
【点评】
本题考查互补关系的判定，解题的关键是熟练掌握补角的定义，结合三角尺的特征正确计算角度和，属于基础类题型，主要考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
