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1 如图，O是直线AB上一点，$∠ 1=46°$，OD平分$∠ BOC$，则$∠ 2$的度数是（
A.$60°$
B.$67°$
C.$77°$
D.$80°$
B
）A.$60°$
B.$67°$
C.$77°$
D.$80°$
答案
1. B
解析
【分析】
首先观察图形，O在直线AB上，可知∠AOB是平角，度数为180°，由此可先求出∠BOC的度数；再根据OD平分∠BOC的条件，利用角平分线的定义，可知∠2是∠BOC的一半，代入计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，即∠1 + ∠BOC = 180°，
已知∠1=46°，
∴∠BOC = 180° - ∠1 = 180° - 46° = 134°，
又
∵OD平分∠BOC，
∴∠2 = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×134° = 67°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平角的性质和角平分线的定义，先求出∠BOC的度数，再通过角平分线的性质计算目标角的度数，掌握相关基础概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
首先观察图形，O在直线AB上，可知∠AOB是平角，度数为180°，由此可先求出∠BOC的度数；再根据OD平分∠BOC的条件，利用角平分线的定义，可知∠2是∠BOC的一半，代入计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，即∠1 + ∠BOC = 180°，
已知∠1=46°，
∴∠BOC = 180° - ∠1 = 180° - 46° = 134°，
又
∵OD平分∠BOC，
∴∠2 = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×134° = 67°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平角的性质和角平分线的定义，先求出∠BOC的度数，再通过角平分线的性质计算目标角的度数，掌握相关基础概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
2 分类讨论思想 已知$∠ AOB = 70°$，$∠ BOC = 50°$，$OD$是$∠ AOC$的平分线，则$∠ BOD$的度数为
10°或 60°
.答案
2. 10°或 60°
解析
【分析】
题目未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论：①射线OC在∠AOB的内部；②射线OC在∠AOB的外部。先根据两种情况分别计算∠AOC的度数，再结合角平分线的定义求出相关角的度数，最后通过角的和差关系计算∠BOD的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当射线OC在∠AOB内部时，
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 70° - 50° = 20°$，
∵OD是$∠ AOC$的平分线，
∴$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 20° = 10°$，
∴$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 70° - 10° = 60°$；
情况2：当射线OC在∠AOB外部时，
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 70° + 50° = 120°$，
∵OD是$∠ AOC$的平分线，
∴$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，
∴$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 70° - 60° = 10°$；
综上，$∠ BOD$的度数为$10°$或$60°$。
【答案】
$10°$或$60°$
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OC位置的不确定性，漏算其中一种情况。解题时需先确定所有可能的射线位置，再结合角平分线的性质和角的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.7
题目未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论：①射线OC在∠AOB的内部；②射线OC在∠AOB的外部。先根据两种情况分别计算∠AOC的度数，再结合角平分线的定义求出相关角的度数，最后通过角的和差关系计算∠BOD的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当射线OC在∠AOB内部时，
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 70° - 50° = 20°$，
∵OD是$∠ AOC$的平分线，
∴$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 20° = 10°$，
∴$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 70° - 10° = 60°$；
情况2：当射线OC在∠AOB外部时，
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 70° + 50° = 120°$，
∵OD是$∠ AOC$的平分线，
∴$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，
∴$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 70° - 60° = 10°$；
综上，$∠ BOD$的度数为$10°$或$60°$。
【答案】
$10°$或$60°$
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OC位置的不确定性，漏算其中一种情况。解题时需先确定所有可能的射线位置，再结合角平分线的性质和角的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.7
3 如图，点A，O，B在同一条直线上，∠COE=20°12′，OD，OE分别是∠COA，∠COB的平分线.
（1）请分别计算出∠COB与∠COA的度数；
（2）请计算出∠DOE的度数.
（1）请分别计算出∠COB与∠COA的度数；
（2）请计算出∠DOE的度数.
答案
3.（1）因为 OE 是∠COB 的平分线，∠COE = 20°12′，所以∠COB = 2∠COE = 40°24′. 所以∠COA = 180°−∠COB = 139°36′. （2）因为 OD,OE 分别是∠COA,∠COB 的平分线，所以∠COD = 1/2∠COA，∠COE = 1/2∠COB. 因为∠COA + ∠COB=180°,所以∠COD+∠COE=1/2∠COA+1/2∠COB=1/2(∠COA+∠COB)=90°,即∠DOE=90°
解析
【分析】
（1）先梳理已知条件：点A、O、B共线可得∠AOB为平角，度数是180°；已知OE是∠COB的平分线，且给出∠COE的度数，根据角平分线的性质，角平分线将角分成两个相等的小角，因此∠COB是∠COE的2倍，先求出∠COB的度数，再用平角180°减去∠COB的度数即可得到∠COA的度数。
（2）已知OD、OE分别是∠COA、∠COB的平分线，可得∠COD是∠COA的一半，∠COE是∠COB的一半，∠DOE为∠COD与∠COE的和，将两个半角相加后提取公因式，可转化为∠AOB度数的一半，利用整体思想代入计算即可，无需单独计算两个半角的具体数值。
【解析】
（1）
∵OE是∠COB的平分线，∠COE=20°12′，
∴∠COB=2∠COE=2×20°12′=40°24′，
又
∵点A、O、B在同一条直线上，∠AOB=180°，
∴∠COA=180°−∠COB=180°−40°24′=139°36′。
（2）
∵OD是∠COA的平分线，OE是∠COB的平分线，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠COA，∠COE=$\frac{1}{2}$∠COB，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$∠COA+$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$(∠COA+∠COB)，
又
∵∠COA+∠COB=∠AOB=180°，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°。
【答案】
（1）∠COB=40°24′，∠COA=139°36′；（2）∠DOE=90°
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度运算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，核心考查角平分线的性质和角度和差关系的应用，第二问使用整体代入的思想可简化计算步骤，能帮助学生更好地理解角的和差运算规律。
【难度系数】
0.8
（1）先梳理已知条件：点A、O、B共线可得∠AOB为平角，度数是180°；已知OE是∠COB的平分线，且给出∠COE的度数，根据角平分线的性质，角平分线将角分成两个相等的小角，因此∠COB是∠COE的2倍，先求出∠COB的度数，再用平角180°减去∠COB的度数即可得到∠COA的度数。
（2）已知OD、OE分别是∠COA、∠COB的平分线，可得∠COD是∠COA的一半，∠COE是∠COB的一半，∠DOE为∠COD与∠COE的和，将两个半角相加后提取公因式，可转化为∠AOB度数的一半，利用整体思想代入计算即可，无需单独计算两个半角的具体数值。
【解析】
（1）
∵OE是∠COB的平分线，∠COE=20°12′，
∴∠COB=2∠COE=2×20°12′=40°24′，
又
∵点A、O、B在同一条直线上，∠AOB=180°，
∴∠COA=180°−∠COB=180°−40°24′=139°36′。
（2）
∵OD是∠COA的平分线，OE是∠COB的平分线，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠COA，∠COE=$\frac{1}{2}$∠COB，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$∠COA+$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$(∠COA+∠COB)，
又
∵∠COA+∠COB=∠AOB=180°，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°。
【答案】
（1）∠COB=40°24′，∠COA=139°36′；（2）∠DOE=90°
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度运算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，核心考查角平分线的性质和角度和差关系的应用，第二问使用整体代入的思想可简化计算步骤，能帮助学生更好地理解角的和差运算规律。
【难度系数】
0.8
4 如图，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC.若∠AOB=130°，∠BOE=40°，则∠AOD的度数为 （
A.25°
B.30°
C.24°
D.35°
A
）A.25°
B.30°
C.24°
D.35°
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先结合角平分线的性质推导相等的角：首先已知OE是∠BOC的平分线，且给出∠BOE的度数，可先求出∠BOC的总度数；再结合已知的∠AOB的度数，通过角的和差关系求出∠AOC的度数；最后根据OD是∠AOC的平分线，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵OE平分∠BOC，∠BOE=40°
∴∠BOC=2∠BOE=2×40°=80°
又
∵∠AOB=130°
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC=130° - 80°=50°
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=½∠AOC=½×50°=25°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角的运算基础题，解题核心是灵活运用角平分线的性质，理清图中各角的和差关系，按步骤推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先结合角平分线的性质推导相等的角：首先已知OE是∠BOC的平分线，且给出∠BOE的度数，可先求出∠BOC的总度数；再结合已知的∠AOB的度数，通过角的和差关系求出∠AOC的度数；最后根据OD是∠AOC的平分线，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵OE平分∠BOC，∠BOE=40°
∴∠BOC=2∠BOE=2×40°=80°
又
∵∠AOB=130°
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC=130° - 80°=50°
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=½∠AOC=½×50°=25°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角的运算基础题，解题核心是灵活运用角平分线的性质，理清图中各角的和差关系，按步骤推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
5 把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起，其中B，C，D三点在同一条直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN的度数为
127.5°
。答案
5. 127.5° 【解析】因为 CM 平分∠ACB，CN 平分∠DCE，∠ACB=45°,∠DCE=60°,所以∠MCB=1/2∠ACB=22.5°,∠DCN=1/2∠DCE=30°. 所以∠MCN=180°−∠MCB−∠DCN=180°−22.5°−30°=127.5°.
解析
【分析】
解题时首先回忆一副三角尺的固定角度：等腰直角三角尺的锐角为45°，另一个三角尺的两个锐角分别为30°和60°，可得∠ACB=45°，∠DCE=60°；再结合角平分线的定义，可算出CM、CN分角得到的两个小角∠MCB和∠DCN的度数；最后根据B、C、D共线，∠BCD是平角为180°，用平角减去两个小角的度数，即可求出∠MCN的度数。
【解析】
已知三角尺的角度特征：∠ACB=45°，∠DCE=60°。
∵CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，
∴∠MCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∠DCN=$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
又
∵B、C、D三点在同一条直线上，∠BCD=180°，
∴∠MCN=180°-∠MCB-∠DCN=180°-22.5°-30°=127.5°。
【答案】
127.5°
【知识点】
三角尺的角度特征；角平分线的定义；角度的计算
【点评】
本题是角度计算的基础题，结合常用三角尺的固定角度，考查角平分线定义的应用，解题关键是准确识别三角尺的对应角度，结合平角的性质计算即可，注意角度运算时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一副三角尺的固定角度：等腰直角三角尺的锐角为45°，另一个三角尺的两个锐角分别为30°和60°，可得∠ACB=45°，∠DCE=60°；再结合角平分线的定义，可算出CM、CN分角得到的两个小角∠MCB和∠DCN的度数；最后根据B、C、D共线，∠BCD是平角为180°，用平角减去两个小角的度数，即可求出∠MCN的度数。
【解析】
已知三角尺的角度特征：∠ACB=45°，∠DCE=60°。
∵CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，
∴∠MCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∠DCN=$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
又
∵B、C、D三点在同一条直线上，∠BCD=180°，
∴∠MCN=180°-∠MCB-∠DCN=180°-22.5°-30°=127.5°。
【答案】
127.5°
【知识点】
三角尺的角度特征；角平分线的定义；角度的计算
【点评】
本题是角度计算的基础题，结合常用三角尺的固定角度，考查角平分线定义的应用，解题关键是准确识别三角尺的对应角度，结合平角的性质计算即可，注意角度运算时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
6 计算:(1) $15°20'35'' × 6 = \_\_\_\_\_\_$； (2) $120°48'35'' ÷ 5 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
6. （1）92°3′30″ （2）24°9′43″
解析
【分析】
这两道题考查度分秒的乘除运算，首先要明确度、分、秒是60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$。（1）做乘法运算时，分别将度、分、秒与乘数相乘，再从最低单位（秒）开始，每满60就向上一级单位进1；（2）做除法运算时，从最高单位（度）开始除，若有余数就将余数转化为下一级单位，和原有的下一级单位相加后再继续除，直到除到秒为止。
【解析】
（1）计算$15°20'35'' × 6$：
①分别计算各单位乘6的结果：
$15°×6=90°$，$20'×6=120'$，$35''×6=210''$
②单位换算进位：
$210''=3'30''$，将3'加到分的结果中，得$120'+3'=123'$
$123'=2°3'$，将2°加到度的结果中，得$90°+2°=92°$
合并结果为$92°3'30''$。
（2）计算$120°48'35'' ÷ 5$：
①先算度的除法：$120°÷5=24°$，无余数。
②再算分的除法：$48'÷5=9'……3'$，商为9'，余数3'换算为秒：$3'=180''$
③最后算秒的除法：原有35''加180''得$215''$，$215''÷5=43''$
合并结果为$24°9'43''$。
【答案】
（1）$92°3'30''$；（2）$24°9'43''$
【知识点】
1.度分秒的换算 2.角的乘法运算 3.角的除法运算
【点评】
本题核心是掌握度分秒60进制的运算规则，乘法注意从低到高进位，除法注意从高到低将余数转化为下级单位运算，计算时需细心，避免进位、换算出错。
【难度系数】
0.8
这两道题考查度分秒的乘除运算，首先要明确度、分、秒是60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$。（1）做乘法运算时，分别将度、分、秒与乘数相乘，再从最低单位（秒）开始，每满60就向上一级单位进1；（2）做除法运算时，从最高单位（度）开始除，若有余数就将余数转化为下一级单位，和原有的下一级单位相加后再继续除，直到除到秒为止。
【解析】
（1）计算$15°20'35'' × 6$：
①分别计算各单位乘6的结果：
$15°×6=90°$，$20'×6=120'$，$35''×6=210''$
②单位换算进位：
$210''=3'30''$，将3'加到分的结果中，得$120'+3'=123'$
$123'=2°3'$，将2°加到度的结果中，得$90°+2°=92°$
合并结果为$92°3'30''$。
（2）计算$120°48'35'' ÷ 5$：
①先算度的除法：$120°÷5=24°$，无余数。
②再算分的除法：$48'÷5=9'……3'$，商为9'，余数3'换算为秒：$3'=180''$
③最后算秒的除法：原有35''加180''得$215''$，$215''÷5=43''$
合并结果为$24°9'43''$。
【答案】
（1）$92°3'30''$；（2）$24°9'43''$
【知识点】
1.度分秒的换算 2.角的乘法运算 3.角的除法运算
【点评】
本题核心是掌握度分秒60进制的运算规则，乘法注意从低到高进位，除法注意从高到低将余数转化为下级单位运算，计算时需细心，避免进位、换算出错。
【难度系数】
0.8
7 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠DOF＝90°。
（1）若∠BOC＝40°，求∠AOF的度数；
（2）若∠COD＝2∠EOF，则OE是图中哪个已知角的平分线？
（1）若∠BOC＝40°，求∠AOF的度数；
（2）若∠COD＝2∠EOF，则OE是图中哪个已知角的平分线？
答案
7.（1）因为 OD 平分∠BOC，所以∠BOD = 1/2∠BOC = 1/2 × 40°=20°. 因为∠DOF = 90°,所以∠AOF = 180°−∠DOF−∠BOD = 180°−90°−20°=70° （2）设∠EOF = α. 因为∠COD = 2∠EOF,OD 平分∠BOC,所以∠COD = ∠BOD = 2α. 因为∠DOF = 90°,所以∠EOD = ∠DOF−∠EOF = 90°−α. 因为∠AOF = 90°−∠BOD = 90°−2α,所以∠AOE = ∠AOF+∠EOF = 90°−2α + α = 90°−α. 所以∠AOE = ∠EOD. 所以 OE 是∠AOD 的平分线
解析
【分析】
（1）解题时先利用角平分线的性质求出∠BOD的度数，再结合平角∠AOB=180°、∠DOF=90°，用平角减去已知两个角的度数即可求出∠AOF的度数。
（2）要判断OE是哪个已知角的平分线，核心是找到被OE分成的两个相等的角，可通过设未知数表示角的度数，结合已知的角的数量关系推导对应角是否相等，进而得出结论。
【解析】
（1）因为OD平分∠BOC，所以$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ BOC=40°$，代入得：$∠ BOD=\frac{1}{2}×40°=20°$。
因为O在直线AB上，所以$∠ AOB=180°$，又已知$∠ DOF=90°$，因此：
$∠ AOF = 180° - ∠ DOF - ∠ BOD = 180° -90° -20°=70°$。
（2）设$∠ EOF=α$。
因为$∠ COD=2∠ EOF$，所以$∠ COD=2α$，又因为OD平分$∠ BOC$，因此$∠ COD=∠ BOD=2α$。
因为$∠ DOF=90°$，所以$∠ EOD=∠ DOF - ∠ EOF=90° - α$；
同时$∠ AOF=180° - ∠ DOF - ∠ BOD=180° -90° -2α=90° -2α$，因此$∠ AOE=∠ AOF + ∠ EOF=90° -2α +α=90° - α$。
可得$∠ AOE=∠ EOD$，所以OE是$∠ AOD$的平分线。
【答案】
（1）$\boxed{70°}$；（2）OE是$\boxed{∠ AOD}$的平分线
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，平角的性质
【点评】
本题是角运算的典型基础题，解题时要注意挖掘平角、直角这类隐含条件，第二问通过设参数表示未知角的方式，能更直观地推导角的等量关系，降低角平分线判定的难度。
【难度系数】
0.7
（1）解题时先利用角平分线的性质求出∠BOD的度数，再结合平角∠AOB=180°、∠DOF=90°，用平角减去已知两个角的度数即可求出∠AOF的度数。
（2）要判断OE是哪个已知角的平分线，核心是找到被OE分成的两个相等的角，可通过设未知数表示角的度数，结合已知的角的数量关系推导对应角是否相等，进而得出结论。
【解析】
（1）因为OD平分∠BOC，所以$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ BOC=40°$，代入得：$∠ BOD=\frac{1}{2}×40°=20°$。
因为O在直线AB上，所以$∠ AOB=180°$，又已知$∠ DOF=90°$，因此：
$∠ AOF = 180° - ∠ DOF - ∠ BOD = 180° -90° -20°=70°$。
（2）设$∠ EOF=α$。
因为$∠ COD=2∠ EOF$，所以$∠ COD=2α$，又因为OD平分$∠ BOC$，因此$∠ COD=∠ BOD=2α$。
因为$∠ DOF=90°$，所以$∠ EOD=∠ DOF - ∠ EOF=90° - α$；
同时$∠ AOF=180° - ∠ DOF - ∠ BOD=180° -90° -2α=90° -2α$，因此$∠ AOE=∠ AOF + ∠ EOF=90° -2α +α=90° - α$。
可得$∠ AOE=∠ EOD$，所以OE是$∠ AOD$的平分线。
【答案】
（1）$\boxed{70°}$；（2）OE是$\boxed{∠ AOD}$的平分线
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，平角的性质
【点评】
本题是角运算的典型基础题，解题时要注意挖掘平角、直角这类隐含条件，第二问通过设参数表示未知角的方式，能更直观地推导角的等量关系，降低角平分线判定的难度。
【难度系数】
0.7
