三、解答题
11. 计算：
（1）$|-1|+(2026 - 1)^{0}-(\frac{1}{3})^{-1}$；
（2）$(x + 2y)(x - 2y)-(2y - x)^{2}$。

11. (1)原式$= 1 + 1 - 3 = - 1$。(2)原式$= x^{2} - 4y^{2} - (4y^{2} - 4xy + x^{2}) = x^{2} - 4y^{2} - 4y^{2} + 4xy - x^{2} = - 8y^{2} + 4xy$。

12. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$。用直尺和圆规分别作边$AB$的垂直平分线$l$，$△ ABC$的中线$AD$，它们相交于点$O$。

12. 如图，直线$l$、线段$AD$即为所求。

13. （1）问题探究：已知$a$、$b$是实数，求证：$a^{2}+b^{2}≥ 2ab$。
（2）结论应用：已知$m$、$n$是有理数，且$mn = 2$，求$3m^{2}+3n^{2}-1$的最小值。

13. (1)证明：$\because(a - b)^{2}≥ 0$，$\therefore a^{2} - 2ab + b^{2}≥ 0$，$\therefore a^{2} + b^{2}≥ 2ab$。(2)$\because m$、$n$是实数，且$mn = 2$，$\therefore 3m^{2} + 3n^{2} - 1 = 3(m^{2} + n^{2}) - 1≥ 3× 2mn - 1 = 6mn - 1 = 12 - 1 = 11$，$\therefore 3m^{2} + 3n^{2} - 1$的最小值是11。

（1）证明：$\because (a - b)^2 ≥ 0$，$\therefore a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0$，$\therefore a^2 + b^2 ≥ 2ab$。
（2）$\because mn = 2$，$\therefore 3m^2 + 3n^2 - 1 = 3(m^2 + n^2) - 1$，由（1）知$m^2 + n^2 ≥ 2mn$，$\therefore 3(m^2 + n^2) - 1 ≥ 3× 2mn - 1 = 6mn - 1 = 6× 2 - 1 = 11$，$\therefore 3m^2 + 3n^2 - 1$的最小值是$11$。

14. 某校购买了$50$个足球和$25$个篮球，共花费$7500$元，已知购买一个足球比购买一个篮球少花$30$元。
（1）购买一个足球和一个篮球分别需要多少元？
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“球类特色学校”，学校计划用不超过$4800$元的经费再次购买足球和篮球共$50$个。若单价不变，则本次至少可以购买多少个足球？

14. (1)设购买一个足球需要$x$元，购买一个篮球需要$y$元。根据题意，得$\{\begin{array}{l}50x + 25y = 7500\\x = y - 30\end{array} $，解得$\{\begin{array}{l}x = 90\\y = 120\end{array} $。答：购买一个足球需要90元，购买一个篮球需要120元。(2)设购买$m$个足球，则购买$(50 - m)$个篮球。根据题意，得$90m + 120(50 - m)≤ 4800$，解得$m≥ 40$。答：本次至少可以购买40个足球。