登录
15. 如图$1$，$∠ 1$、$∠ 2$是四边形$ABCD$的两个不相邻的外角。
（1）猜想$∠ 1 + ∠ 2$与$∠ A$、$∠ C$的数量关系，并说明理由。
（2）如图$2$，在四边形$ABCD$中，$∠ ABC$与$∠ ADC$的平分线交于点$O$。若$∠ A = 50^{\circ}$，$∠ C = 150^{\circ}$，求$∠ BOD$的度数。
（3）如图$3$，$BO$、$DO$分别是四边形$ABCD$的外角$∠ CBE$、$∠ CDF$的平分线。猜想$∠ A$、$∠ C$与$∠ O$的数量关系，并说明理由。
（1）猜想$∠ 1 + ∠ 2$与$∠ A$、$∠ C$的数量关系，并说明理由。
（2）如图$2$，在四边形$ABCD$中，$∠ ABC$与$∠ ADC$的平分线交于点$O$。若$∠ A = 50^{\circ}$，$∠ C = 150^{\circ}$，求$∠ BOD$的度数。
（3）如图$3$，$BO$、$DO$分别是四边形$ABCD$的外角$∠ CBE$、$∠ CDF$的平分线。猜想$∠ A$、$∠ C$与$∠ O$的数量关系，并说明理由。
答案
15. (1)$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ A + ∠ C$。理由如下：$\because∠ 1 + ∠ ABC + ∠ 2 + ∠ ADC = 360^{\circ}$，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C + ∠ ADC = 360^{\circ}$，$\therefore∠ 1 + ∠ 2 = ∠ A + ∠ C$。(2)$\because∠ A = 50^{\circ}$，$∠ C = 150^{\circ}$，$\therefore∠ ABC + ∠ ADC = 360^{\circ} - ∠ A - ∠ C = 160^{\circ}$。又$\because BO$、$DO$分别平分$∠ ABC$、$∠ ADC$，$\therefore∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ODC = \frac{1}{2}∠ ADC$，$\therefore∠ OBC + ∠ ODC = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ADC) = 80^{\circ}$，$\therefore∠ BOD = 360^{\circ} - (∠ OBC + ∠ ODC + ∠ C) = 130^{\circ}$。(3)$∠ C - ∠ A = 2∠ O$。理由如下：$\because BO$、$DO$分别是四边形$ABCD$外角$∠ CBE$、$∠ CDF$的平分线，$\therefore∠ FDC = 2∠ FDO = 2∠ ODC$，$∠ EBC = 2∠ EBO = 2∠ CBO$，由(1)可知，$∠ FDO + ∠ EBO = ∠ A + ∠ O$，$2∠ FDO + 2∠ EBO = ∠ A + ∠ C$，$\therefore 2∠ A + 2∠ O = ∠ A + ∠ C$，$\therefore∠ C - ∠ A = 2∠ O$。
解析
（1）$∠1 + ∠2 = ∠A + ∠C$。理由如下：
$\because ∠1 + ∠ABC = 180^{\circ}$，$∠2 + ∠ADC = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠ADC = 360^{\circ}$。
$\because$ 四边形$ABCD$内角和为$360^{\circ}$，即$∠A + ∠ABC + ∠C + ∠ADC = 360^{\circ}$，
$\therefore ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠C$。
（2）$\because ∠A = 50^{\circ}$，$∠C = 150^{\circ}$，
$\therefore ∠ABC + ∠ADC = 360^{\circ} - ∠A - ∠C = 360^{\circ} - 50^{\circ} - 150^{\circ} = 160^{\circ}$。
$\because BO$、$DO$分别平分$∠ABC$、$∠ADC$，
$\therefore ∠OBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠ODC = \frac{1}{2}∠ADC$，
$\therefore ∠OBC + ∠ODC = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ADC) = \frac{1}{2}×160^{\circ} = 80^{\circ}$。
在四边形$OBCD$中，$∠BOD = 360^{\circ} - (∠OBC + ∠ODC + ∠C) = 360^{\circ} - (80^{\circ} + 150^{\circ}) = 130^{\circ}$。
（3）$∠C - ∠A = 2∠O$。理由如下：
$\because BO$、$DO$分别平分$∠CBE$、$∠CDF$，
$\therefore ∠CBE = 2∠CBO$，$∠CDF = 2∠CDO$。
由（1）知，在四边形$ABOD$中，$∠CBO + ∠CDO = ∠A + ∠O$，
$\therefore 2∠CBO + 2∠CDO = 2∠A + 2∠O$，即$∠CBE + ∠CDF = 2∠A + 2∠O$。
又由（1）知，$∠CBE + ∠CDF = ∠A + ∠C$，
$\therefore 2∠A + 2∠O = ∠A + ∠C$，
$\therefore ∠C - ∠A = 2∠O$。
$\because ∠1 + ∠ABC = 180^{\circ}$，$∠2 + ∠ADC = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠ADC = 360^{\circ}$。
$\because$ 四边形$ABCD$内角和为$360^{\circ}$，即$∠A + ∠ABC + ∠C + ∠ADC = 360^{\circ}$，
$\therefore ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠C$。
（2）$\because ∠A = 50^{\circ}$，$∠C = 150^{\circ}$，
$\therefore ∠ABC + ∠ADC = 360^{\circ} - ∠A - ∠C = 360^{\circ} - 50^{\circ} - 150^{\circ} = 160^{\circ}$。
$\because BO$、$DO$分别平分$∠ABC$、$∠ADC$，
$\therefore ∠OBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠ODC = \frac{1}{2}∠ADC$，
$\therefore ∠OBC + ∠ODC = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ADC) = \frac{1}{2}×160^{\circ} = 80^{\circ}$。
在四边形$OBCD$中，$∠BOD = 360^{\circ} - (∠OBC + ∠ODC + ∠C) = 360^{\circ} - (80^{\circ} + 150^{\circ}) = 130^{\circ}$。
（3）$∠C - ∠A = 2∠O$。理由如下：
$\because BO$、$DO$分别平分$∠CBE$、$∠CDF$，
$\therefore ∠CBE = 2∠CBO$，$∠CDF = 2∠CDO$。
由（1）知，在四边形$ABOD$中，$∠CBO + ∠CDO = ∠A + ∠O$，
$\therefore 2∠CBO + 2∠CDO = 2∠A + 2∠O$，即$∠CBE + ∠CDF = 2∠A + 2∠O$。
又由（1）知，$∠CBE + ∠CDF = ∠A + ∠C$，
$\therefore 2∠A + 2∠O = ∠A + ∠C$，
$\therefore ∠C - ∠A = 2∠O$。
