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13.实数$ a $在数轴上对应的点的位置如图所示，计算$|a - π| + |\sqrt{2} - a|$的结果为 （
A.$π + \sqrt{2} - 2a$
B.$π - \sqrt{2}$
C.$\sqrt{2} - π$
D.$2a - π - \sqrt{2}$
B
）A.$π + \sqrt{2} - 2a$
B.$π - \sqrt{2}$
C.$\sqrt{2} - π$
D.$2a - π - \sqrt{2}$
答案
13.B
解析
【分析】
首先观察数轴确定实数a的取值范围为2＜a＜3，接下来要根据绝对值的性质去掉绝对值符号：先判断绝对值内式子的正负，π≈3.14＞3，因此a＜π，可得a-π是负数；√2≈1.414＜2，因此√2＜a，可得√2-a是负数。根据负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值后化简即可得到结果。
【解析】
由数轴可得：$2 ＜ a ＜ 3$
1. 判断$a-π$的正负：
因为$π\approx3.14＞3$，所以$a ＜ π$，即$a-π＜0$，根据绝对值的性质：
$|a-π|=π - a$
2. 判断$\sqrt{2}-a$的正负：
因为$\sqrt{2}\approx1.414＜2$，所以$\sqrt{2}＜a$，即$\sqrt{2}-a＜0$，根据绝对值的性质：
$|\sqrt{2}-a|=a-\sqrt{2}$
3. 化简原式：
$|a - π| + |\sqrt{2} - a|=(π -a)+(a-\sqrt{2})=π -a +a -\sqrt{2}=π-\sqrt{2}$
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查绝对值的性质，解题的关键是结合数轴确定a的取值范围，准确判断绝对值内表达式的正负，再去绝对值符号化简计算。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定实数a的取值范围为2＜a＜3，接下来要根据绝对值的性质去掉绝对值符号：先判断绝对值内式子的正负，π≈3.14＞3，因此a＜π，可得a-π是负数；√2≈1.414＜2，因此√2＜a，可得√2-a是负数。根据负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值后化简即可得到结果。
【解析】
由数轴可得：$2 ＜ a ＜ 3$
1. 判断$a-π$的正负：
因为$π\approx3.14＞3$，所以$a ＜ π$，即$a-π＜0$，根据绝对值的性质：
$|a-π|=π - a$
2. 判断$\sqrt{2}-a$的正负：
因为$\sqrt{2}\approx1.414＜2$，所以$\sqrt{2}＜a$，即$\sqrt{2}-a＜0$，根据绝对值的性质：
$|\sqrt{2}-a|=a-\sqrt{2}$
3. 化简原式：
$|a - π| + |\sqrt{2} - a|=(π -a)+(a-\sqrt{2})=π -a +a -\sqrt{2}=π-\sqrt{2}$
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查绝对值的性质，解题的关键是结合数轴确定a的取值范围，准确判断绝对值内表达式的正负，再去绝对值符号化简计算。
【难度系数】
0.7
14. 借助计算器求出：$\sqrt{4^2 + 3^2} = \_\_\_\_\_\_$，$\sqrt{44^2 + 33^2} = \_\_\_\_\_\_$，$\sqrt{444^2 + 333^2} = \_\_\_\_\_\_$，…，试猜想$\sqrt{\underbrace{44···4}_{2025个}^2 + \underbrace{33···3}_{2025个}^2} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
14.5 55 555 $\underbrace{55···5}_{2\ 025个}$
解析
【分析】
解题时我们遵循从特殊到一般的思路，先计算前3个简单的算式找到规律，再推导2025个4、3对应的结果。首先计算第一个算式时，可直接计算根号内的加法再开根号；计算后两个算式时，观察发现被开方数的两项都含有公因式（11²、111²），可以先提取公因式简化运算，再对比计算结果中5的个数和原式中4、3的个数的关系，就能总结出通用规律。
【解析】
1. 计算第一个式子：
$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
2. 计算第二个式子：
$\sqrt{44^2 + 33^2} = \sqrt{(11×4)^2 + (11×3)^2} = \sqrt{11^2×(4^2 + 3^2)} = \sqrt{11^2×25} = 11×5 = 55$
3. 计算第三个式子：
$\sqrt{444^2 + 333^2} = \sqrt{(111×4)^2 + (111×3)^2} = \sqrt{111^2×(4^2 + 3^2)} = \sqrt{111^2×25} = 111×5 = 555$
4. 总结规律：观察可得，当根号下是n个4的平方加n个3的平方时，运算结果就是由n个5组成的数。当n=2025时，结果就是2025个5组成的数。
【答案】
$5$；$55$；$555$；$\underbrace{55···5}_{2025个}$
【知识点】
二次根式运算，因式分解应用，数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，既考查了二次根式计算、因式分解的基础应用能力，也考查了归纳总结的逻辑思维能力，掌握从特殊到一般的探究方法，是快速解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时我们遵循从特殊到一般的思路，先计算前3个简单的算式找到规律，再推导2025个4、3对应的结果。首先计算第一个算式时，可直接计算根号内的加法再开根号；计算后两个算式时，观察发现被开方数的两项都含有公因式（11²、111²），可以先提取公因式简化运算，再对比计算结果中5的个数和原式中4、3的个数的关系，就能总结出通用规律。
【解析】
1. 计算第一个式子：
$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
2. 计算第二个式子：
$\sqrt{44^2 + 33^2} = \sqrt{(11×4)^2 + (11×3)^2} = \sqrt{11^2×(4^2 + 3^2)} = \sqrt{11^2×25} = 11×5 = 55$
3. 计算第三个式子：
$\sqrt{444^2 + 333^2} = \sqrt{(111×4)^2 + (111×3)^2} = \sqrt{111^2×(4^2 + 3^2)} = \sqrt{111^2×25} = 111×5 = 555$
4. 总结规律：观察可得，当根号下是n个4的平方加n个3的平方时，运算结果就是由n个5组成的数。当n=2025时，结果就是2025个5组成的数。
【答案】
$5$；$55$；$555$；$\underbrace{55···5}_{2025个}$
【知识点】
二次根式运算，因式分解应用，数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，既考查了二次根式计算、因式分解的基础应用能力，也考查了归纳总结的逻辑思维能力，掌握从特殊到一般的探究方法，是快速解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
15. 请阅读材料:一般地,如果一个正数 $ x $ 的平方等于 $ a $,即 $ x^2 = a $,那么正数 $ x $ 就叫作 $ a $ 的算术平方根,记作 $ \sqrt{a} $ (即 $ \sqrt{a} = \sqrt{x^2} = x $),如 $ 3^2 = 9 $,3 叫作 9 的算术平方根.
(1)计算下列各式的值:$ \sqrt{4} = \_\_\_\_\_\_ $,$ \sqrt{25} = \_\_\_\_\_\_ $,$ \sqrt{100} = \_\_\_\_\_\_ $;
(2)观察(1)中的结果,$ \sqrt{4} $,$ \sqrt{25} $,$ \sqrt{100} $之间存在的关系为________;
(3)由(2)可猜想:$ \sqrt{a} · \sqrt{b} = \_\_\_\_\_\_ $ ($ a ≥ 0, b ≥ 0 $);
(4)根据(3)计算:$ \sqrt{2} × \sqrt{8} = \_\_\_\_\_\_ $,$ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{27}} = \_\_\_\_\_\_ $.
(1)计算下列各式的值:$ \sqrt{4} = \_\_\_\_\_\_ $,$ \sqrt{25} = \_\_\_\_\_\_ $,$ \sqrt{100} = \_\_\_\_\_\_ $;
(2)观察(1)中的结果,$ \sqrt{4} $,$ \sqrt{25} $,$ \sqrt{100} $之间存在的关系为________;
(3)由(2)可猜想:$ \sqrt{a} · \sqrt{b} = \_\_\_\_\_\_ $ ($ a ≥ 0, b ≥ 0 $);
(4)根据(3)计算:$ \sqrt{2} × \sqrt{8} = \_\_\_\_\_\_ $,$ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{4}{27}} = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
15.(1)2 5 10
(2)$\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$
(3)$\sqrt{ab}$
(4)4 $\dfrac{2}{3}$
(2)$\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$
(3)$\sqrt{ab}$
(4)4 $\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
本题是围绕算术平方根展开的规律探究题，解题思路如下：1. 第(1)问依据算术平方根的定义，找到平方后等于被开方数的正数，即可得到结果；2. 第(2)问观察第(1)问的三个计算结果，分析三个算术平方根之间的数量关系即可；3. 第(3)问从第(2)问的特殊例子出发，归纳推广到一般情况，得到两个非负数算术平方根相乘的规律；4. 第(4)问直接运用第(3)问猜想的规律，先将被开方数相乘，再计算算术平方根即可。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
∵ $2^2=4$，
∴ $\sqrt{4}=2$；
∵ $5^2=25$，
∴ $\sqrt{25}=5$；
∵ $10^2=100$，
∴ $\sqrt{100}=10$。
(2) 观察(1)的结果：$2×5=10$，对应可得 $\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$。
(3) 由特殊例子推广到一般情况，当$a≥0,b≥0$时，可得 $\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
(4) 运用上述规律计算：
① $\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$；
② $\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{27}}=\sqrt{3×\frac{4}{27}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)2；5；10
(2)$\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$
(3)$\sqrt{ab}$
(4)4；$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
算术平方根的概念；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，通过具体算术平方根的计算归纳出二次根式乘法的运算法则，再利用法则进行计算，主要考查对新概念的理解能力、归纳推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.85
本题是围绕算术平方根展开的规律探究题，解题思路如下：1. 第(1)问依据算术平方根的定义，找到平方后等于被开方数的正数，即可得到结果；2. 第(2)问观察第(1)问的三个计算结果，分析三个算术平方根之间的数量关系即可；3. 第(3)问从第(2)问的特殊例子出发，归纳推广到一般情况，得到两个非负数算术平方根相乘的规律；4. 第(4)问直接运用第(3)问猜想的规律，先将被开方数相乘，再计算算术平方根即可。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
∵ $2^2=4$，
∴ $\sqrt{4}=2$；
∵ $5^2=25$，
∴ $\sqrt{25}=5$；
∵ $10^2=100$，
∴ $\sqrt{100}=10$。
(2) 观察(1)的结果：$2×5=10$，对应可得 $\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$。
(3) 由特殊例子推广到一般情况，当$a≥0,b≥0$时，可得 $\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
(4) 运用上述规律计算：
① $\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$；
② $\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{27}}=\sqrt{3×\frac{4}{27}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)2；5；10
(2)$\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$
(3)$\sqrt{ab}$
(4)4；$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
算术平方根的概念；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，通过具体算术平方根的计算归纳出二次根式乘法的运算法则，再利用法则进行计算，主要考查对新概念的理解能力、归纳推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.85
16. 新定义:若无理数$\sqrt{T}$的被开方数($T$为正整数)满足$n^2＜T＜(n+1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$;同理,规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$,例如:因为$1^2＜2＜2^2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2)$,$-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$,据此回答下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为________,$-\sqrt{23}$的“青一区间”为________;
(2)若实数$x,y$满足关系式$\sqrt{x-3}+|2023+(y-4)^2|=2023$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为________,$-\sqrt{23}$的“青一区间”为________;
(2)若实数$x,y$满足关系式$\sqrt{x-3}+|2023+(y-4)^2|=2023$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
答案
16.(1)$(4,5)$ $(-5,-4)$
(2)解:$\because \sqrt{x-3}+|2023+(y-4)^2|=2023,$
$\therefore \sqrt{x-3}+2023+(y-4)^2=2023,$
即$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0.$
$\therefore x=3,y=4.$
$\therefore \sqrt{xy}=\sqrt{12}.$
$\because 3^2＜12＜4^2,$
$\therefore \sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4).$
(2)解:$\because \sqrt{x-3}+|2023+(y-4)^2|=2023,$
$\therefore \sqrt{x-3}+2023+(y-4)^2=2023,$
即$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0.$
$\therefore x=3,y=4.$
$\therefore \sqrt{xy}=\sqrt{12}.$
$\because 3^2＜12＜4^2,$
$\therefore \sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4).$
解析
【分析】
(1) 求解“青一区间”核心是先确定被开方数在哪两个相邻正整数的平方之间：找到满足$n^2＜T＜(n+1)^2$的正整数$n$后，正无理数$\sqrt{T}$的区间为$(n,n+1)$，负无理数$-\sqrt{T}$的区间为$(-n-1,-n)$。计算得$4^2=16$，$5^2=25$，17和23均介于16和25之间，代入规则即可得出结果。
(2) 先处理等式：$\sqrt{x-3}$和$(y-4)^2$都是非负数，因此$2023+(y-4)^2$一定是正数，绝对值可以直接去掉，整理后得到两个非负数相加为0，根据非负数的性质，每一项都为0，即可求出$x$、$y$的值，再计算$\sqrt{xy}$，最后按照定义估算其“青一区间”即可。
【解析】
(1) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，根据定义，$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；
又因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜23＜25$，即$n=4$，因此$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-4-1,-4)=(-5,-4)$。
(2) 解：$\because \sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，
$\therefore 2023+(y-4)^2≥2023＞0$，
$\therefore$ 原等式可化为$\sqrt{x-3}+2023+(y-4)^2=2023$，
移项得$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$，
$\because$ 非负数相加和为0时，每一项都为0，
$\therefore x-3=0$，$y-4=0$，
解得$x=3$，$y=4$，
$\therefore \sqrt{xy}=\sqrt{3×4}=\sqrt{12}$，
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$，
$\therefore \sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1) $(4,5)$；$(-5,-4)$
(2) $(3,4)$
【知识点】
新定义运算；非负数的性质；无理数的估算
【点评】
本题结合新定义考查基础代数知识的应用，解题关键是准确理解“青一区间”的规则，同时熟练掌握非负项和为0的性质以及估算无理数大小的方法，属于常规综合题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解“青一区间”核心是先确定被开方数在哪两个相邻正整数的平方之间：找到满足$n^2＜T＜(n+1)^2$的正整数$n$后，正无理数$\sqrt{T}$的区间为$(n,n+1)$，负无理数$-\sqrt{T}$的区间为$(-n-1,-n)$。计算得$4^2=16$，$5^2=25$，17和23均介于16和25之间，代入规则即可得出结果。
(2) 先处理等式：$\sqrt{x-3}$和$(y-4)^2$都是非负数，因此$2023+(y-4)^2$一定是正数，绝对值可以直接去掉，整理后得到两个非负数相加为0，根据非负数的性质，每一项都为0，即可求出$x$、$y$的值，再计算$\sqrt{xy}$，最后按照定义估算其“青一区间”即可。
【解析】
(1) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，根据定义，$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；
又因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜23＜25$，即$n=4$，因此$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-4-1,-4)=(-5,-4)$。
(2) 解：$\because \sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，
$\therefore 2023+(y-4)^2≥2023＞0$，
$\therefore$ 原等式可化为$\sqrt{x-3}+2023+(y-4)^2=2023$，
移项得$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$，
$\because$ 非负数相加和为0时，每一项都为0，
$\therefore x-3=0$，$y-4=0$，
解得$x=3$，$y=4$，
$\therefore \sqrt{xy}=\sqrt{3×4}=\sqrt{12}$，
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$，
$\therefore \sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1) $(4,5)$；$(-5,-4)$
(2) $(3,4)$
【知识点】
新定义运算；非负数的性质；无理数的估算
【点评】
本题结合新定义考查基础代数知识的应用，解题关键是准确理解“青一区间”的规则，同时熟练掌握非负项和为0的性质以及估算无理数大小的方法，属于常规综合题型。
【难度系数】
0.7
