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7. 计算：$|\sqrt{2} - 2| + \sqrt{2} - 1 = \underline{\hspace{5cm}}$.
答案
7.1
解析
【分析】
解题时首先要处理绝对值部分，先判断绝对值内的式子√2 - 2的正负性：因为√2≈1.414，小于2，所以√2 - 2是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，之后再合并同类项，计算最终结果即可。
【解析】
第一步：化简绝对值
∵√2 ＜ 2，
∴√2 - 2 ＜ 0
∴|√2 - 2| = -(√2 - 2) = 2 - √2
第二步：代入原式计算
原式 = 2 - √2 + √2 - 1
= (2 - 1) + (-√2 + √2)
= 1 + 0
= 1
【答案】
1
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，解题的核心是正确判断绝对值内代数式的正负，熟练掌握去绝对值的规则，运算过程中注意同类二次根式的合并即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要处理绝对值部分，先判断绝对值内的式子√2 - 2的正负性：因为√2≈1.414，小于2，所以√2 - 2是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值符号，之后再合并同类项，计算最终结果即可。
【解析】
第一步：化简绝对值
∵√2 ＜ 2，
∴√2 - 2 ＜ 0
∴|√2 - 2| = -(√2 - 2) = 2 - √2
第二步：代入原式计算
原式 = 2 - √2 + √2 - 1
= (2 - 1) + (-√2 + √2)
= 1 + 0
= 1
【答案】
1
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，解题的核心是正确判断绝对值内代数式的正负，熟练掌握去绝对值的规则，运算过程中注意同类二次根式的合并即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
8.若$\sqrt{x+2} + |y+8| = 0$，则$xy$的平方根为________.
答案
8.$\pm4$
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根和绝对值的非负性：算术平方根的结果大于等于0，绝对值的结果也大于等于0。两个非负数相加和为0，说明这两个非负数各自都等于0。据此我们可以分别列方程求出x、y的值，再计算xy的乘积，最后根据平方根的定义求出xy的平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏写负的。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+2} ≥ 0$，$|y+8| ≥ 0$，且$\sqrt{x+2} + |y+8| = 0$
∴ 可得：$\begin{cases} \sqrt{x+2}=0 \\ |y+8|=0 \end{cases}$
即：$\begin{cases} x+2=0 \\ y+8=0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=-2 \\ y=-8 \end{cases}$
∴ $xy = (-2) × (-8) = 16$
∵ $(\pm 4)^2 = 16$
∴ 16的平方根为$\pm 4$，即xy的平方根为$\pm 4$。
【答案】
$\pm 4$
【知识点】
1.非负数的性质
2.平方根的定义
3.绝对值的非负性
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用以及平方根的计算，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，只写出正的结果而遗漏负的平方根，解题时要注意区分二者的差异。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆算术平方根和绝对值的非负性：算术平方根的结果大于等于0，绝对值的结果也大于等于0。两个非负数相加和为0，说明这两个非负数各自都等于0。据此我们可以分别列方程求出x、y的值，再计算xy的乘积，最后根据平方根的定义求出xy的平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏写负的。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+2} ≥ 0$，$|y+8| ≥ 0$，且$\sqrt{x+2} + |y+8| = 0$
∴ 可得：$\begin{cases} \sqrt{x+2}=0 \\ |y+8|=0 \end{cases}$
即：$\begin{cases} x+2=0 \\ y+8=0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=-2 \\ y=-8 \end{cases}$
∴ $xy = (-2) × (-8) = 16$
∵ $(\pm 4)^2 = 16$
∴ 16的平方根为$\pm 4$，即xy的平方根为$\pm 4$。
【答案】
$\pm 4$
【知识点】
1.非负数的性质
2.平方根的定义
3.绝对值的非负性
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用以及平方根的计算，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，只写出正的结果而遗漏负的平方根，解题时要注意区分二者的差异。
【难度系数】
0.7
9. 若$\sqrt[3]{1.728}=1.2$，则：$\sqrt[3]{1728}=$
12
，$\sqrt[3]{-0.001728}=$-0.12
.答案
9.12 $-0.12$
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的相关规律：①被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就会向相同方向移动1位；②负数的立方根是负数。首先观察待求式的被开方数和已知的$\sqrt[3]{1.728}=1.2$中被开方数的小数点移动位数，对应移动立方根的小数点即可；遇到负数的立方根先提取负号再计算。
【解析】
已知$\sqrt[3]{1.728}=1.2$：
1. 计算$\sqrt[3]{1728}$：
1728是1.728的小数点向右移动3位得到的，根据规律，立方根的小数点对应向右移动1位，因此$\sqrt[3]{1728}=1.2×10=12$。
2. 计算$\sqrt[3]{-0.001728}$：
根据负数的立方根为负，可得$\sqrt[3]{-0.001728}=-\sqrt[3]{0.001728}$；0.001728是1.728的小数点向左移动3位得到的，对应立方根的小数点向左移动1位，即$\sqrt[3]{0.001728}=1.2÷10=0.12$，因此$\sqrt[3]{-0.001728}=-0.12$。
【答案】
12；$-0.12$
【知识点】
立方根的性质；立方根小数点移动规律
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查立方根的小数点移动规律的应用，解题时注意区分平方根和立方根的移动规律差异，同时不要遗漏负数立方根的负号。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆立方根的相关规律：①被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就会向相同方向移动1位；②负数的立方根是负数。首先观察待求式的被开方数和已知的$\sqrt[3]{1.728}=1.2$中被开方数的小数点移动位数，对应移动立方根的小数点即可；遇到负数的立方根先提取负号再计算。
【解析】
已知$\sqrt[3]{1.728}=1.2$：
1. 计算$\sqrt[3]{1728}$：
1728是1.728的小数点向右移动3位得到的，根据规律，立方根的小数点对应向右移动1位，因此$\sqrt[3]{1728}=1.2×10=12$。
2. 计算$\sqrt[3]{-0.001728}$：
根据负数的立方根为负，可得$\sqrt[3]{-0.001728}=-\sqrt[3]{0.001728}$；0.001728是1.728的小数点向左移动3位得到的，对应立方根的小数点向左移动1位，即$\sqrt[3]{0.001728}=1.2÷10=0.12$，因此$\sqrt[3]{-0.001728}=-0.12$。
【答案】
12；$-0.12$
【知识点】
立方根的性质；立方根小数点移动规律
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查立方根的小数点移动规律的应用，解题时注意区分平方根和立方根的移动规律差异，同时不要遗漏负数立方根的负号。
【难度系数】
0.8
10. 比较大小:(1)$-\sqrt{3}$ ______ $-\sqrt{2}$;(2)$6.5$ ______ $3\sqrt{5}$;(3)$\frac{1}{2}$ ______ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(选填“＞”“＜”或“=”).
答案
10.(1)＜ (2)＜ (3)＜
解析
【分析】
这是三道实数比较大小的题目，可根据数的特征选择对应方法解题：1. 两个负数比较大小，先计算两者的绝对值，绝对值大的负数反而更小；2. 两个正数比较大小，可通过同时平方的方式转化为有理数比较，正数平方越大原数越大；3. 分母相同的正分数比较大小，直接比较分子大小即可，也可通过估算无理数的近似值辅助判断。
【解析】
(1) 先求两个负数的绝对值：
$\vert -\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}$，$\vert -\sqrt{2}\vert=\sqrt{2}$
因为$3＞2$，所以$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$
根据负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的反而小，可得$-\sqrt{3}＜-\sqrt{2}$。
(2) 两个都是正数，分别平方后比较：
$6.5^2=42.25$，$(3\sqrt{5})^2=3^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$
因为$42.25＜45$，正数平方越大原数越大，所以$6.5＜3\sqrt{5}$。
(3) 两个分数分母相同且为正，比较分子即可：
估算得$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$\sqrt{5}-1\approx1.236$
因为$1＜1.236$，即$1＜\sqrt{5}-1$，同分母正分数分子越小数值越小，所以$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
(1)＜；(2)＜；(3)＜
【知识点】
实数大小比较、无理数估算、平方比较法
【点评】
本题考查实数比较大小的常用方法，需要根据数的类型灵活选择比较策略，掌握负数比较规则、正数平方比较法和基础的无理数估算技巧即可快速解题，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
这是三道实数比较大小的题目，可根据数的特征选择对应方法解题：1. 两个负数比较大小，先计算两者的绝对值，绝对值大的负数反而更小；2. 两个正数比较大小，可通过同时平方的方式转化为有理数比较，正数平方越大原数越大；3. 分母相同的正分数比较大小，直接比较分子大小即可，也可通过估算无理数的近似值辅助判断。
【解析】
(1) 先求两个负数的绝对值：
$\vert -\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}$，$\vert -\sqrt{2}\vert=\sqrt{2}$
因为$3＞2$，所以$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$
根据负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的反而小，可得$-\sqrt{3}＜-\sqrt{2}$。
(2) 两个都是正数，分别平方后比较：
$6.5^2=42.25$，$(3\sqrt{5})^2=3^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$
因为$42.25＜45$，正数平方越大原数越大，所以$6.5＜3\sqrt{5}$。
(3) 两个分数分母相同且为正，比较分子即可：
估算得$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$\sqrt{5}-1\approx1.236$
因为$1＜1.236$，即$1＜\sqrt{5}-1$，同分母正分数分子越小数值越小，所以$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
(1)＜；(2)＜；(3)＜
【知识点】
实数大小比较、无理数估算、平方比较法
【点评】
本题考查实数比较大小的常用方法，需要根据数的类型灵活选择比较策略，掌握负数比较规则、正数平方比较法和基础的无理数估算技巧即可快速解题，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
11. 求下列各式的值：
(1)$\sqrt[3]{-27} × \left| -\sqrt{\dfrac{1}{9}} \right|$；
(2)$\sqrt{(3 - π)^2}$；
(3)$\sqrt{1 - \dfrac{16}{25}} + \sqrt[3]{10^3}$；
(4)$2(\sqrt{6} - \sqrt{7}) - |2\sqrt{6} - \sqrt{7}|$。
(1)$\sqrt[3]{-27} × \left| -\sqrt{\dfrac{1}{9}} \right|$；
(2)$\sqrt{(3 - π)^2}$；
(3)$\sqrt{1 - \dfrac{16}{25}} + \sqrt[3]{10^3}$；
(4)$2(\sqrt{6} - \sqrt{7}) - |2\sqrt{6} - \sqrt{7}|$。
答案
11.解:(1)$\sqrt[3]{-27} × \left| -\sqrt{\dfrac{1}{9}} \right| =-3×\left| -\dfrac{1}{3} \right|=-3×\dfrac{1}{3}=-1.$
(2)$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3.$
(3)$\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}+\sqrt[3]{10^3}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}+10=\dfrac{3}{5}+10=\dfrac{53}{5}.$
(4)$2(\sqrt{6}-\sqrt{7})-|2\sqrt{6}-\sqrt{7}|=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-2\sqrt{6}+\sqrt{7}=-\sqrt{7}.$
(2)$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3.$
(3)$\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}+\sqrt[3]{10^3}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}+10=\dfrac{3}{5}+10=\dfrac{53}{5}.$
(4)$2(\sqrt{6}-\sqrt{7})-|2\sqrt{6}-\sqrt{7}|=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-2\sqrt{6}+\sqrt{7}=-\sqrt{7}.$
解析
【分析】
这组题目是实数的基础运算题，解题核心是熟练掌握立方根、算术平方根的化简规则，以及绝对值的去号方法，按“先算根式、再化简绝对值、最后做四则运算”的顺序逐步计算即可：(1)先分别计算立方根、算术平方根，再化简绝对值后做乘法；(2)利用“$\sqrt{a^2}=|a|$”的性质，先转化为绝对值，再根据3和$π$的大小关系去绝对值；(3)先计算根号内的减法，再分别化简算术平方根和立方根，最后求和；(4)先去括号，再比较绝对值内两个二次根式的大小判断正负，去绝对值后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算立方根：$\sqrt[3]{-27}=-3$，再计算算术平方根：$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$，化简绝对值：$\left| -\dfrac{1}{3} \right|=\dfrac{1}{3}$，最后相乘得：$-3×\dfrac{1}{3}=-1$。
(2) 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|$，因为$π＞3$，所以$3-π＜0$，负数的绝对值是它的相反数，即$|3-π|=π-3$。
(3) 先计算根号内的减法：$1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$，化简算术平方根：$\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}$，化简立方根：$\sqrt[3]{10^3}=10$，最后求和得：$\dfrac{3}{5}+10=\dfrac{53}{5}$。
(4) 先去括号：$2(\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}$，再判断绝对值内式子的正负：$(2\sqrt{6})^2=24$，$(\sqrt{7})^2=7$，$24＞7$，所以$2\sqrt{6}＞\sqrt{7}$，即$2\sqrt{6}-\sqrt{7}＞0$，去绝对值得$|2\sqrt{6}-\sqrt{7}|=2\sqrt{6}-\sqrt{7}$，代入原式计算：$2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-(2\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-2\sqrt{6}+\sqrt{7}=-\sqrt{7}$。
【答案】
(1)$-1$；(2)$π-3$；(3)$\dfrac{53}{5}$；(4)$-\sqrt{7}$
【知识点】
实数运算，根式化简，绝对值性质
【点评】
本题是实数运算的基础典型题，重点考查根式的化简规则和绝对值的去号方法，解题的关键是先准确判断绝对值内表达式的正负，再按运算顺序逐步计算，熟练掌握这类题型能为后续更复杂的实数运算打好基础。
【难度系数】
0.7
这组题目是实数的基础运算题，解题核心是熟练掌握立方根、算术平方根的化简规则，以及绝对值的去号方法，按“先算根式、再化简绝对值、最后做四则运算”的顺序逐步计算即可：(1)先分别计算立方根、算术平方根，再化简绝对值后做乘法；(2)利用“$\sqrt{a^2}=|a|$”的性质，先转化为绝对值，再根据3和$π$的大小关系去绝对值；(3)先计算根号内的减法，再分别化简算术平方根和立方根，最后求和；(4)先去括号，再比较绝对值内两个二次根式的大小判断正负，去绝对值后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算立方根：$\sqrt[3]{-27}=-3$，再计算算术平方根：$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$，化简绝对值：$\left| -\dfrac{1}{3} \right|=\dfrac{1}{3}$，最后相乘得：$-3×\dfrac{1}{3}=-1$。
(2) 根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|$，因为$π＞3$，所以$3-π＜0$，负数的绝对值是它的相反数，即$|3-π|=π-3$。
(3) 先计算根号内的减法：$1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$，化简算术平方根：$\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}$，化简立方根：$\sqrt[3]{10^3}=10$，最后求和得：$\dfrac{3}{5}+10=\dfrac{53}{5}$。
(4) 先去括号：$2(\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}$，再判断绝对值内式子的正负：$(2\sqrt{6})^2=24$，$(\sqrt{7})^2=7$，$24＞7$，所以$2\sqrt{6}＞\sqrt{7}$，即$2\sqrt{6}-\sqrt{7}＞0$，去绝对值得$|2\sqrt{6}-\sqrt{7}|=2\sqrt{6}-\sqrt{7}$，代入原式计算：$2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-(2\sqrt{6}-\sqrt{7})=2\sqrt{6}-2\sqrt{7}-2\sqrt{6}+\sqrt{7}=-\sqrt{7}$。
【答案】
(1)$-1$；(2)$π-3$；(3)$\dfrac{53}{5}$；(4)$-\sqrt{7}$
【知识点】
实数运算，根式化简，绝对值性质
【点评】
本题是实数运算的基础典型题，重点考查根式的化简规则和绝对值的去号方法，解题的关键是先准确判断绝对值内表达式的正负，再按运算顺序逐步计算，熟练掌握这类题型能为后续更复杂的实数运算打好基础。
【难度系数】
0.7
12. 我们都学过唐朝王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远. 若观测点的高度为 $ h \ \mathrm{km} $，则观测者能看到的最远距离 $ d \approx \sqrt{2hR} \ \mathrm{km} $（其中 $ R \approx 6\ 400 \ \mathrm{km} $）.
(1)当 $ h = 0.02 \ \mathrm{km} $ 时，求 $ d $ 的长.
(2)已知小明站在鹳雀楼上，当 $ h = 0.005 \ \mathrm{km} $ 时，小明能看到距离鹳雀楼 $ 1.2 \ \mathrm{km} $ 处的黄河吗？
(1)当 $ h = 0.02 \ \mathrm{km} $ 时，求 $ d $ 的长.
(2)已知小明站在鹳雀楼上，当 $ h = 0.005 \ \mathrm{km} $ 时，小明能看到距离鹳雀楼 $ 1.2 \ \mathrm{km} $ 处的黄河吗？
答案
12.解:(1)$d \approx \sqrt{2hR}=\sqrt{2×0.02×6400}=16(\mathrm{km}).$
(2)能看到,理由如下:
$d \approx \sqrt{2hR}=\sqrt{2×0.005×6400}=8(\mathrm{km}).$
$\because 8＞1.2,\therefore$小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河.
(2)能看到,理由如下:
$d \approx \sqrt{2hR}=\sqrt{2×0.005×6400}=8(\mathrm{km}).$
$\because 8＞1.2,\therefore$小明能看到距离鹳雀楼1.2 km处的黄河.
解析
【分析】
本题给出了观测最远距离$d$的计算公式，解题时结合已知条件代入公式计算即可。第(1)问直接把$h=0.02\ \mathrm{km}$、$R=6400\ \mathrm{km}$代入公式，计算算术平方根即可得到$d$的取值；第(2)问先把$h=0.005\ \mathrm{km}$代入公式算出能看到的最远距离$d$，再将计算结果和$1.2\ \mathrm{km}$比较大小，若$d$大于$1.2\ \mathrm{km}$则能看到黄河，反之则不能。
【解析】
(1) 将$h=0.02\ \mathrm{km}$，$R\approx 6400\ \mathrm{km}$代入公式$d \approx \sqrt{2hR}$，可得：
$d \approx \sqrt{2× 0.02× 6400}=\sqrt{256}=16(\mathrm{km})$
(2) 先计算$h=0.005\ \mathrm{km}$时的观测最远距离：
将$h=0.005\ \mathrm{km}$，$R\approx 6400\ \mathrm{km}$代入公式可得：
$d \approx \sqrt{2× 0.005× 6400}=\sqrt{64}=8(\mathrm{km})$
$\because 8＞1.2$，$\therefore$小明能看到距离鹳雀楼$1.2\ \mathrm{km}$处的黄河。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16\ \mathrm{km}}$
(2) $\boldsymbol{能看到}$
【知识点】
代数式求值；算术平方根计算；实数大小比较
【点评】
本题结合古诗文场景考查数学知识的实际应用，解题核心是准确代入数值计算，难度较低，计算时需注意根号内的运算顺序，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.85
本题给出了观测最远距离$d$的计算公式，解题时结合已知条件代入公式计算即可。第(1)问直接把$h=0.02\ \mathrm{km}$、$R=6400\ \mathrm{km}$代入公式，计算算术平方根即可得到$d$的取值；第(2)问先把$h=0.005\ \mathrm{km}$代入公式算出能看到的最远距离$d$，再将计算结果和$1.2\ \mathrm{km}$比较大小，若$d$大于$1.2\ \mathrm{km}$则能看到黄河，反之则不能。
【解析】
(1) 将$h=0.02\ \mathrm{km}$，$R\approx 6400\ \mathrm{km}$代入公式$d \approx \sqrt{2hR}$，可得：
$d \approx \sqrt{2× 0.02× 6400}=\sqrt{256}=16(\mathrm{km})$
(2) 先计算$h=0.005\ \mathrm{km}$时的观测最远距离：
将$h=0.005\ \mathrm{km}$，$R\approx 6400\ \mathrm{km}$代入公式可得：
$d \approx \sqrt{2× 0.005× 6400}=\sqrt{64}=8(\mathrm{km})$
$\because 8＞1.2$，$\therefore$小明能看到距离鹳雀楼$1.2\ \mathrm{km}$处的黄河。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16\ \mathrm{km}}$
(2) $\boldsymbol{能看到}$
【知识点】
代数式求值；算术平方根计算；实数大小比较
【点评】
本题结合古诗文场景考查数学知识的实际应用，解题核心是准确代入数值计算，难度较低，计算时需注意根号内的运算顺序，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.85
