数学活动
下面是小李同学探索$\sqrt{107}$的近似值的过程：
∵面积为107的正方形边长是$\sqrt{107}$，且$10＜\sqrt{107}＜11$，
∴设$\sqrt{107}=10+x$，其中$0＜x＜1$，画出如图所示的示意图.
∵图中$S_{正方形}=10^2+2×10x+x^2$，$S_{正方形}=107$，
∴$10^2+2×10x+x^2=107$.
当$x^2$较小时，省略$x^2$，得$20x+100≈107$，得到$x≈0.35$，即$\sqrt{107}≈10.35$.
(1)$\sqrt{76}$的整数部分是________；
(2)仿照上述方法，探究$\sqrt{76}$的近似值(画出示意图，标明数据，并写出求解过程).

(1)8
(2)解:$\because$面积为76的正方形边长是$\sqrt{76}$,且$8＜\sqrt{76}＜9,$
$\therefore$设$\sqrt{76}=8+x$,其中$0＜x＜1$,如图.
$\because$图中$S_{正方形}=8^2+2×8x+x^2,S_{正方形}=76,$
$\therefore 8^2+2×8x+x^2=76.$
当$x^2$较小时,省略$x^2$,得$16x+64≈76$,解得$x≈0.75$,即$\sqrt{76}≈8.75.$

【分析】
(1) 求一个数的算术平方根的整数部分，只需找到两个连续的正整数n和n+1，满足$n^2 ＜ 被开方数 ＜ (n+1)^2$，则该算术平方根的整数部分就是n。计算得$8^2=64$，$9^2=81$，$64＜76＜81$，因此可直接得出$\sqrt{76}$的整数部分。
(2) 仿照题干估算$\sqrt{107}$的方法，首先确定$\sqrt{76}$介于8和9之间，设$\sqrt{76}=8+x$（$0＜x＜1$），再利用正方形总面积等于四个小部分面积之和列方程，因为x很小，$x^2$可以忽略不计，解一元一次方程得到x的近似值，即可得到$\sqrt{76}$的近似值，示意图只需将题干示例中的10替换为8即可。
【解析】
(1) 计算相邻正整数的平方：
$\because 8^2=64$，$9^2=81$，且$64＜76＜81$，
$\therefore 8＜\sqrt{76}＜9$，因此$\sqrt{76}$的整数部分是8。
(2) 探究$\sqrt{76}$的近似值：
$\because$面积为76的正方形边长是$\sqrt{76}$，且$8＜\sqrt{76}＜9$，
$\therefore$设$\sqrt{76}=8+x$，其中$0＜x＜1$，对应示意图为。
$\because$正方形总面积等于四个小图形的面积和，即$S_{正方形}=8^2+2×8x+x^2$，且$S_{正方形}=76$，
$\therefore 8^2+2×8x+x^2=76$。
由于$0＜x＜1$，$x^2$的值非常小，可以省略，得$16x+64≈76$，
解得$x≈(76-64)÷16=0.75$，即$\sqrt{76}≈8+0.75=8.75$。
【答案】
(1) 8
(2) 解:$\because$面积为76的正方形边长是$\sqrt{76}$,且$8＜\sqrt{76}＜9,$
$\therefore$设$\sqrt{76}=8+x$,其中$0＜x＜1$,如图.
$\because$图中$S_{正方形}=8^2+2×8x+x^2,S_{正方形}=76,$
$\therefore 8^2+2×8x+x^2=76.$
当$x^2$较小时,省略$x^2$,得$16x+64≈76$,解得$x≈0.75$,即$\sqrt{76}≈8.75.$
【知识点】
算术平方根估算；完全平方公式应用；正方形面积计算
【点评】
本题采用类比探究的形式，将无理数估算和正方形面积的几何意义结合，既考查了算术平方根大小判断的基础能力，也考查了知识迁移、方法套用的能力，解题的核心是读懂题干给出的估算逻辑，类比推导即可。
【难度系数】
0.7