1. 有下列命题:①两条直线相交所成的角是对顶角;②有公共顶点的角是对顶角;③一个角的两个邻补角是对顶角;④有一边互为反向延长线且相等的两个角是对顶角. 其中是真命题的是(填序号).

1. ③

【分析】
要解决这道题，首先需要明确对顶角、邻补角的核心定义，再逐一验证每个命题是否符合概念要求，从而判断命题真假。对顶角的核心要素是：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线；邻补角的核心要素是：有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，两角和为180°。结合这两个概念逐个分析4个命题即可得出结论。
【解析】
我们逐个判断每个命题的真假：
① 两条直线相交所成的角包含对顶角和邻补角，相邻的两个角是邻补角，不属于对顶角，因此①是假命题；
② 仅满足有公共顶点的角不一定符合对顶角的要求，比如邻补角也有公共顶点，但不属于对顶角，因此②是假命题；
③ 一个角的两个邻补角，都和该角共公共顶点，且分别以该角的两条边为公共边，这两个邻补角的另一边恰好互为反向延长线，完全符合对顶角的定义，因此③是真命题；
④ 命题仅说明有一边互为反向延长线且两角相等，未说明另一边也互为反向延长线，例如两个相等的角共顶点，一边互为反向延长线，另一边都在该直线的同侧时，就不属于对顶角，因此④是假命题。
综上，只有③是真命题。
【答案】
③
【知识点】
对顶角的定义；邻补角的定义；真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查相交线相关核心概念的掌握程度，解题关键是牢牢抓住对顶角、邻补角的构成要素，避免因遗漏概念的限定条件出现判断错误。
【难度系数】
0.7

2. 如图 7-30, 若 $AO ⊥ OC, DO ⊥ OB$, $∠ AOB: ∠ BOC = 32:13$, 则 $∠ COD$ 的度数为________。

2. 64°

【分析】
首先根据AO⊥OC可知∠AOC为90°，它由∠AOB和∠BOC组成，结合已知的∠AOB与∠BOC的比例关系，可先计算出∠BOC的度数；再根据DO⊥OB可知∠DOB为90°，它由∠COD和∠BOC组成，用90°减去∠BOC的度数即可求出∠COD的度数。
【解析】
解：
∵AO⊥OC，
∴∠AOC = 90°，即∠AOB + ∠BOC = 90°。
∵∠AOB:∠BOC = 32:13，总份数为32+13=45，
∴每份对应的角度为90°÷45 = 2°，
∴∠BOC = 13×2° = 26°。
又
∵DO⊥OB，
∴∠DOB = 90°，即∠COD + ∠BOC = 90°，
∴∠COD = 90° - ∠BOC = 90° - 26° = 64°。
【答案】
64°
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算，按比分配求角度
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题的关键是利用垂直关系得到直角，再结合角的比例关系和和差关系求解，明确公共角∠BOC的桥梁作用可快速理清解题思路。
【难度系数】
0.8

3. 如图 7-31,已知直线 $a// b$, $∠ BAC = 90°$, $∠ 1 = 50°$, 则 $∠ 2 = \_\_\_\_\_\_$.

3. 40°

【分析】
解题时先利用平行线的性质找到与∠1相等的同位角，再结合平角为180°、∠BAC是90°的已知条件，通过角度的和差关系就能求出∠2的度数。具体思考步骤：第一步，根据a//b，找到AB截两条平行线形成的同位角，可知∠1和它在直线a上的同位角相等；第二步，观察点A处的角，∠2、∠BAC、刚得到的等于∠1的角三个角组成平角，和为180°，代入已知角度计算即可得到∠2的大小。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b$，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1的同位角 = $∠ 1 = 50°$。
∵ 点A在直线a上，构成的平角为$180°$，且已知$∠ BAC=90°$，
∴ $∠ 2 + ∠ BAC + 50° = 180°$，
代入$∠ BAC=90°$计算得：
$∠ 2 = 180° - 90° - 50° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算，平角的定义
【点评】
本题属于相交线与平行线模块的基础题型，核心考查平行线性质的应用，解题的关键是准确识别平行线被截线形成的同位角，结合已知的直角条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图 7-32,已知直线 AB 与 CD 相交于点 O,∠AOC=70°,OE 把∠BOD 分成两部分,且∠BOE : ∠EOD = 2 : 3,则∠AOE 的度数为.

4. 152° 提示:$\because ∠ AOC=70°$,
$\therefore ∠ BOD=∠ AOC=70°$.
$\because ∠ BOE: ∠ EOD=2:3$,
$\therefore ∠ BOE=\frac{2}{3+2}×70°=28°$.
$\therefore ∠ AOE=180°-28°=152°$.

【分析】
解题时先观察图形特征：直线AB与CD相交于点O，首先联想到对顶角相等，可由已知的∠AOC求出∠BOD的度数；接下来已知∠BOE和∠EOD的比例关系，按比例分配即可求出∠BOE的度数；最后∠AOE与∠BOE是邻补角，二者之和为180°，用180°减去∠BOE的度数就能得到∠AOE的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB与CD相交于点O，∠AOC=70°，
∴ 根据对顶角相等，可得∠BOD=∠AOC=70°，
∵ ∠BOE : ∠EOD = 2 : 3，
∴ ∠BOE = $\frac{2}{2+3}$×70° = 28°，
又
∵ ∠AOE和∠BOE互为邻补角，即∠AOE + ∠BOE = 180°，
∴ ∠AOE = 180° - 28° = 152°。
【答案】
152°
【知识点】
对顶角相等，邻补角互补，按比例求角度
【点评】
本题是相交线角度计算的常规题型，将相交线中角的性质和比例计算结合考察，掌握对顶角、邻补角的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

5. 如图7-33,已知$AB// CD$,BC是$∠ ABD$的平分线,若$∠ 2=64°$,则$∠ 3$的度数为.

5. 58°

【分析】
解题时我们可以按照以下思路推导：首先观察∠2的位置，它和∠BDC是对顶角，可先求出∠BDC的度数；再结合AB平行CD的条件，利用平行线同旁内角互补的性质求出∠ABD的总度数；最后根据BC是∠ABD的角平分线，可知∠3等于∠ABD的一半，计算即可得到结果。
【解析】
1. 由对顶角相等可得：$∠ BDC = ∠ 2 = 64°$；
2. 已知$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得$∠ ABD + ∠ BDC = 180°$，代入数值计算：$∠ ABD = 180° - 64° = 116°$；
3. 已知BC是$∠ ABD$的平分线，根据角平分线的定义，得$∠ 3 = \frac{1}{2}∠ ABD$，代入数值计算：$∠ 3 = \frac{1}{2}×116° = 58°$。
【答案】
$58°$
【知识点】
对顶角相等；平行线的性质；角平分线定义
【点评】
本题是相交线与平行线的基础综合题，解题核心是熟练掌握对顶角、平行线、角平分线的相关性质，逐步推导对应角度即可，计算量小，逻辑推导链条清晰。
【难度系数】
0.7

6. 在同一平面内,过直线$ l $外一点$ P $作$ l $的垂线$ m $,再过$ P $作$ m $的垂线$ n $,则直线$ l $与$ n $的位置关系是 ()

A.相交
B.相交且垂直
C.平行
D.不能确定

6. C

【分析】
解题时首先把题目中的作图描述转化为几何位置关系：首先由“过P作l的垂线m”可得直线m与l垂直，由“过P作m的垂线n”可得直线n与m垂直；再结合所学的平行线判定规则，判断同一平面内两条都垂直于同一条直线的直线的位置关系即可。
【解析】
解：根据题意可得：
∵ 在同一平面内，$m ⊥ l$，$n ⊥ m$，
根据平行线的判定定理：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，
∴ $l // n$，
因此直线l与n的位置关系是平行，故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂直的概念；平行线的判定
【点评】
本题是相交线与平行线的基础应用题，解题关键是将作图条件准确转化为几何垂直关系，再对应相关判定定理即可得出结论，难度较低。
【难度系数】
0.9

7. 如图 7-34，$l// AB$，$∠ A=2∠ B$。若$∠ 1=108°$，则$∠ 2$的度数为 （）


A.$36°$
B.$46°$
C.$72°$
D.$82°$

7. A

【分析】
解题时先从已知条件$l// AB$入手，首先结合$∠1$的度数，利用邻补角的性质和平行线同位角相等的性质求出$∠A$的度数；再根据$∠A$与$∠B$的倍数关系求出$∠B$的度数；最后利用平行线内错角相等的性质，得出$∠2$与$∠B$相等，即可求出$∠2$的度数。
【解析】
1. 求$∠A$的度数：
$∠1$与它的邻补角组成平角，和为$180°$，因此$∠1$的邻补角$=180°-∠1=180°-108°=72°$。
因为$l// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠A=∠1$的邻补角$=72°$。
2. 求$∠B$的度数：
已知$∠A=2∠B$，因此$∠B=∠A÷2=72°÷2=36°$。
3. 求$∠2$的度数：
因为$l// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠2=∠B=36°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，邻补角定义，角度计算
【点评】
本题是相交线与平行线的基础应用题，需要结合平行线的性质逐步推导角度之间的关系，解题的关键是找准同位角、内错角的对应位置，理清角度的数量关系。
【难度系数】
0.8

8. 如图7-35,木工师傅在一块木板上画两条平行线,方法是:用角尺画木板边缘的两条垂线,这样画的理由有下列四种说法:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平面内垂直于同一直线的两条直线平行.其中正确的是 ()

图7-35

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①③

8. C

【分析】
要解决这道题，首先明确判定的是画出的两条垂线互相平行，两条直线都垂直于木板的同一条边缘，和边缘的夹角均为90°，再逐一对应平行线的判定规则分析4种说法：
1. 两个90°角是位置相同的同位角，符合“同位角相等，两直线平行”，故①正确；
2. 该画法只用到了木板边缘同侧的角，没有用到截线两侧的内错角，故②不是该画法的依据；
3. 夹在两条垂线之间、位于木板边缘同侧的两个90°角和为180°，是同旁内角，符合“同旁内角互补，两直线平行”，故③正确；
4. 两条线都垂直于同一条木板边缘，符合“平面内垂直于同一直线的两条直线平行”的推论，故④正确。
综上即可选出正确选项。
【解析】
设木板边缘为直线$ l $，画出的两条垂线为直线$ a $、$ b $，由画法可知$ a ⊥ l $，$ b ⊥ l $，即$ a $、$ b $与$ l $的夹角均为$ 90° $。
对①：$ a $与$ l $的夹角、$ b $与$ l $的夹角是同位角，都为$ 90° $，根据“同位角相等，两直线平行”可判定$ a // b $，①正确；
对②：该画法仅用到直线$ l $同侧的直角，没有利用截线$ l $两侧的内错角判定平行，②不是该画法的理由，错误；
对③：$ a $、$ b $与$ l $相交形成的、夹在$ a $和$ b $之间的两个角均为$ 90° $，和为$ 180° $，属于同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定$ a // b $，③正确；
对④：根据平行线的推论，平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，已知$ a ⊥ l $、$ b ⊥ l $，可得$ a // b $，④正确。
因此正确的是①③④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定，垂直的性质
【点评】
本题结合木工画平行线的实际操作，考查平行线判定定理的应用，需要准确区分同位角、内错角、同旁内角的定义，结合操作场景选择对应的判定依据，避免混淆不同判定定理的适用条件。
【难度系数】
0.7