10. 如图7-27,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'的位置.若∠EFB=60°,则∠AED'的度数为
()

图7-27

A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$

10. C

【分析】
解题时可按以下步骤思考：①首先利用长方形对边平行的性质，结合平行线内错角相等的规律，求出∠DEF的度数；②再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，得到∠D'EF与∠DEF相等；③最后利用平角为180°的定义，用180°减去两个相等的角的度数，即可求出∠AED'的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可知，∠D'EF=∠DEF=60°，
又
∵∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°（平角的定义），
∴∠AED'=180°-60°-60°=60°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题是相交线与平行线板块的常见题型，将平行线性质与折叠变换结合考查，解题核心是准确抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角度规律进行推导即可。
【难度系数】
0.8

11. 如果$∠α$与$∠β$的两边分别平行，$∠α$比$∠β$的3倍少$36°$，那么$∠α$的度数是（）

A.$18°$
B.$126°$
C.$18°$或$126°$
D.以上都不对

11. C 提示:$\because ∠ α$与$∠ β$的两边分别平行,
$\therefore ∠ α$与$∠ β$相等或互补. 设$∠ α=x°$.
$\because ∠ α$比$∠ β$的3倍少$36°$,
$\therefore$ 若$∠ α$与$∠ β$相等,则$x=3x-36$,解得$x=18$;
若$∠ α$与$∠ β$互补,则$x=3(180-x)-36$,解得$x=126$.
$\therefore ∠ α$的度数是$18°$或$126°$.

【分析】
首先回忆两角两边分别平行的性质：若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。题目给出了∠α和∠β的数量关系，因此我们可以分两种情况讨论，结合数量关系列一元一次方程求解，注意不要遗漏两角互补的情况，避免漏解。
【解析】
∵∠α与∠β的两边分别平行，
∴∠α与∠β相等或互补。
设∠α的度数为$x°$，根据“∠α比∠β的3倍少36°”分两种情况计算：
① 当∠α与∠β相等时，∠β=$x°$，列方程得：
$x=3x-36$
移项合并得$2x=36$，解得$x=18$，即∠α=18°；
② 当∠α与∠β互补时，∠β=$(180-x)°$，列方程得：
$x=3(180-x)-36$
去括号得$x=540-3x-36$，移项合并得$4x=504$，解得$x=126$，即∠α=126°。
综上，∠α的度数是18°或126°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想；一元一次方程的应用
【点评】
本题核心考查两边分别平行的两角的数量关系，解题需运用分类讨论思想，易错点是容易忽略两角互补的情况，导致只算出一个解。
【难度系数】
0.7

三、解答题
12. 完成下面的证明:
如图 7-28, $AB // CD // HG, EG$ 平分 $∠ BEF, FG$ 平分 $∠ EFD$. 求证: $∠ EGF=90°$.

图7-28
证明:∵ HG//AB(已知),
∴ ∠1=∠3().
又∵ HG//CD(已知),
∴ ∠2=∠4().
∵ AB//CD(已知),
∴ ∠BEF+=180°().
又∵ EG平分∠BEF(已知),
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$∠().
又∵ FG平分∠EFD(已知),
∴ ∠2=$\frac{1}{2}$∠().
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$( + ).
∴ ∠1+∠2=90°.
∴ ∠3+∠4=90°(),

12. 两直线平行,内错角相等 两直线平行,内错角相等 $∠ EFD$ 两直线平行,同旁内角互补 $BEF$ 角平分线的定义 $EFD$ 角平分线的定义 $∠ BEF$ $∠ EFD$ 等量代换

【分析】
解题时结合已知条件和平行线、角平分线的相关性质逐步推导：
1. 当两条平行线被第三条直线所截时，形成的内错角相等，因此HG与AB平行时，内错角∠1和∠3相等；HG与CD平行时，内错角∠2和∠4相等，二者依据相同。
2. AB与CD平行时，被EF所截形成的同旁内角∠BEF和∠EFD互补，和为180°，依据是平行线的同旁内角互补性质。
3. 根据角平分线的定义，角平分线会将角平均分成两个相等的小角，因此EG平分∠BEF时∠1是∠BEF的一半，FG平分∠EFD时∠2是∠EFD的一半。
4. 将∠1+∠2合并提取公因式后，代入∠BEF+∠EFD=180°可算出∠1+∠2=90°，再结合之前得到的∠1=∠3、∠2=∠4，将∠1、∠2替换为∠3、∠4即可得到∠3+∠4=90°，替换依据为等量代换。
【解析】
证明:
∵ HG//AB(已知),
∴ ∠1=∠3(两直线平行,内错角相等).
又
∵ HG//CD(已知),
∴ ∠2=∠4(两直线平行,内错角相等).
∵ AB//CD(已知),
∴ ∠BEF+ $\boldsymbol{∠EFD}$ =180°(两直线平行,同旁内角互补).
又
∵ EG平分∠BEF(已知),
∴ ∠1=$\frac{1}{2}$$\boldsymbol{∠BEF}$(角平分线的定义).
又
∵ FG平分∠EFD(已知),
∴ ∠2=$\frac{1}{2}$$\boldsymbol{∠EFD}$(角平分线的定义).
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$( $\boldsymbol{∠BEF}$ + $\boldsymbol{∠EFD}$ ).
∴ ∠1+∠2=90°.
∴ ∠3+∠4=90°(等量代换).
【答案】
两直线平行,内错角相等；两直线平行,内错角相等；$∠EFD$；两直线平行,同旁内角互补；$BEF$；角平分线的定义；$EFD$；角平分线的定义；$∠BEF$；$∠EFD$；等量代换
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题是相交线与平行线部分的基础题型，重点考查对平行线性质和角平分线定义的理解与应用，解题时需准确识别内错角、同旁内角的位置，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.8

13. 如图 7-29, 已知 $∠1+∠2=180°$, $∠A=∠C$, BC 平分 $∠DBE$.
(1)AE 与 FC 平行吗? 请说明理由.
(2)AD 与 BC 的位置关系如何? 为什么?
(3)DA 平分 $∠BDF$ 吗? 为什么?

图 7-29

13. (1)$AE$ 与 $FC$ 平行. 理由如下:
$\because ∠ 1+∠ 2=180°, ∠ 2+∠ BDC=180°$,
$\therefore ∠ BDC=∠ 1. \therefore AE// FC$.
(2)$AD$ 与 $BC$ 平行.
$\because AE// FC, \therefore ∠ C+∠ ABC=180°$.
$\because ∠ A=∠ C, \therefore ∠ A+∠ ABC=180°$.
$\therefore AD// BC$.
(3)$DA$ 平分 $∠ BDF$. 如图所示,
$\because BC$ 平分 $∠ DBE, \therefore ∠ 3=∠ 4$.
$\because AD// BC, AE// FC$,
$\therefore ∠ 4=∠ 6, ∠ A=∠ 5, ∠ 3=∠ C$.
又$\because ∠ A=∠ C, \therefore ∠ 5=∠ 6$.
$\therefore DA$ 平分 $∠ BDF$.

【分析】
(1)要判断AE与FC是否平行，可依据平行线的判定定理寻找角的关系。已知∠1+∠2=180°，而∠2与∠BDC是邻补角，和也为180°，根据同角的补角相等可得∠BDC=∠1，同位角相等即可推出两直线平行。
(2)判断AD与BC的位置关系，在已证AE//FC的基础上，利用平行线的性质可得∠C与∠ABC互补，再结合∠A=∠C等量代换，得到∠A与∠ABC互补，满足同旁内角互补即可推出AD//BC。
(3)要判断DA是否平分∠BDF，只需证明∠5=∠6。首先由角平分线定义得∠3=∠4，再结合AD//BC、AE//FC的性质进行角的代换，结合已知∠A=∠C，即可推导出∠5=∠6，从而证明DA平分∠BDF。
【解析】
(1) AE与FC平行. 理由如下:
$\because ∠1+∠2=180°, ∠2+∠BDC=180°$,
$\therefore ∠BDC=∠1. \therefore AE//FC$.
(2) AD与BC平行.
$\because AE//FC, \therefore ∠C+∠ABC=180°$.
$\because ∠A=∠C, \therefore ∠A+∠ABC=180°$.
$\therefore AD//BC$.
(3) DA平分$∠BDF$. 如图所示,
$\because BC$平分$∠DBE, \therefore ∠3=∠4$.
$\because AD//BC, AE//FC$,
$\therefore ∠4=∠6, ∠A=∠5, ∠3=∠C$.
又$\because ∠A=∠C, \therefore ∠5=∠6$.
$\therefore DA$平分$∠BDF$.
【答案】
(1)$AE$ 与 $FC$ 平行. 理由如下:
$\because ∠ 1+∠ 2=180°, ∠ 2+∠ BDC=180°$,
$\therefore ∠ BDC=∠ 1. \therefore AE// FC$.
(2)$AD$ 与 $BC$ 平行.
$\because AE// FC, \therefore ∠ C+∠ ABC=180°$.
$\because ∠ A=∠ C, \therefore ∠ A+∠ ABC=180°$.
$\therefore AD// BC$.
(3)$DA$ 平分 $∠ BDF$. 如图所示,
$\because BC$ 平分 $∠ DBE, \therefore ∠ 3=∠ 4$.
$\because AD// BC, AE// FC$,
$\therefore ∠ 4=∠ 6, ∠ A=∠ 5, ∠ 3=∠ C$.
又$\because ∠ A=∠ C, \therefore ∠ 5=∠ 6$.
$\therefore DA$ 平分 $∠ BDF$.
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线与平行线模块的典型综合题，设问层层递进，核心考查平行线判定与性质的灵活应用，解题关键是熟练掌握角的等量代换方法，能结合已知条件选择对应定理推导，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7