2. 一杆古秤在称物时的状态如图7-22所示,已知$∠1=102°$,则$∠2$的度数为.

图7-22

2. 78°

【分析】
首先观察图形，提秤的绳子和挂秤砣的绳子都沿竖直方向，因此这两条直线互相平行，秤杆是截这两条平行线的截线。已知∠1的度数，我们可以利用平行线中同旁内角互补的性质，直接计算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 提绳与挂秤砣的绳均为竖直方向，
∴ 两条直线互相平行。
秤杆为截两条平行线的截线，∠1与∠2是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 1=102°$，代入得：
$∠ 2 = 180° - 102° = 78°$
【答案】
$78°$
【知识点】
平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题结合生活中常见的杆秤场景考查平行线的相关性质，需要学生结合生活常识判断出两条竖直绳平行，再利用角的数量关系求解，贴近生活，能较好地考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.8

3. 如图 7-23,直线 a,b 与直线 c 相交,有下列条件:①$∠1=∠2$;②$∠5=∠6$;③$∠4=∠2$;④$∠5+∠3=180^{\circ }$.其中能判断$a// b$的是(填序号).

3. ①③④

【分析】
要判断直线$a// b$，需结合平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，逐一分析每个条件对应的角的位置和关系，判断是否满足判定定理即可。
解题时先回忆角的相关性质：对顶角相等、同角的补角相等，再结合截线$c$截$a$、$b$形成的三类角（同位角、内错角、同旁内角）的定义，逐个验证4个条件。
【解析】
①$∠ 1$和$∠ 2$是直线$a$、$b$被直线$c$所截形成的同位角，若$∠ 1=∠ 2$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$a// b$，故①符合要求；
②$∠ 5$和$∠ 6$是直线$a$与直线$c$相交形成的对顶角，对顶角恒相等，和直线$a$、$b$是否平行无关，无法判定$a// b$，故②不符合要求；
③$∠ 4$和$∠ 2$是直线$a$、$b$被直线$c$所截形成的内错角，若$∠ 4=∠ 2$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$a// b$，故③符合要求；
④已知$∠ 5+∠ 3=180°$，又因为$∠ 3$和$∠ 2$是邻补角，即$∠ 3+∠ 2=180°$，根据同角的补角相等，可得$∠ 5=∠ 2$，$∠ 5$和$∠ 2$是同位角，同位角相等则两直线平行，可判定$a// b$，故④符合要求。
综上，能判断$a// b$的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
平行线的判定；对顶角的性质；补角的性质
【点评】
本题核心考查平行线判定定理的应用，解题关键是准确识别两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角，注意区分相交线自身形成的对顶角等固定相等的角，不要和判定平行所需的角的关系混淆。
【难度系数】
0.7

4. 设 $a,b,c$ 为平面内三条不同的直线.
(1)若 $a// b,l⊥ a$,则 $l$ 与 $b$ 的位置关系是 ______;
(2)若 $l⊥ a,l⊥ b$,则 $a$ 与 $b$ 的位置关系是 ______;
(3)若 $a// b,l// a$,则 $l$ 与 $b$ 的位置关系是 ______.

4. (1)$l⊥ b$ (2)$a// b$ (3)$l// b$

【分析】
本题考查平面内直线平行、垂直的相关性质与判定，解题时结合已知条件对应相关结论推导即可：首先题目明确是同一平面内的三条不同直线，无需考虑异面情况。(1)已知$a//b$且$l⊥a$，回忆平行线的性质：一条直线垂直于两条平行线中的一条，必然垂直于另一条，即可推导$l$与$b$的位置关系；(2)已知$l$同时垂直于$a$和$b$，回忆平行线判定规则：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可推导$a$与$b$的位置关系；(3)已知$l$和$b$都平行于$a$，回忆平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，即可推导$l$与$b$的位置关系。
【解析】
(1)
∵ 平面内$a//b$，$l⊥a$，根据“如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线”，可得$l⊥b$；
(2)
∵ 平面内$l⊥a$，$l⊥b$，根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$a//b$；
(3)
∵ 平面内$a//b$，$l//a$，根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$l//b$。
【答案】
(1)$l⊥ b$ (2)$a// b$ (3)$l// b$
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、平行公理
【点评】
本题是相交线与平行线模块的基础常考题，主要考察平面内平行、垂直相关的基本结论，熟练掌握基础性质和判定就能快速解答。
【难度系数】
0.9

5. 把命题“有理数一定是自然数”改写成“如果……那么……”的形式是

5. 如果一个数是有理数,那么这个数一定是自然数

【分析】
要将命题改写为“如果……那么……”的形式，核心是先拆分命题的两个组成部分：题设（已知条件）和结论（由条件推导得到的结果），其中“如果”后面接题设，“那么”后面接结论。本题原命题中，已知条件是“一个数是有理数”，推导结果是“这个数一定是自然数”，梳理通顺语句即可完成改写。
【解析】
第一步：拆分原命题的题设和结论，可得题设为“一个数是有理数”，结论为“这个数一定是自然数”；
第二步：按照“如果+题设，那么+结论”的格式组合，保证语句通顺完整，即可得到改写后的命题。
【答案】
如果一个数是有理数,那么这个数一定是自然数
【知识点】
命题的结构、命题的改写
【点评】
本题是基础题型，考查命题改写的基本方法，解题的关键是准确区分命题的题设和结论，改写时注意语句表述通顺、没有歧义即可。
【难度系数】
0.9

6. 如图7-24,将一块含有$30°$角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上.若$∠α=135°$,则$∠β$的度数为________.

图7-24

6. 75°

【分析】
解题时首先从已知条件出发：1. 直尺对边平行，可应用平行线的性质得到等角关系；2. 已知∠α=135°，可先求其邻补角的度数；3. 含30°的直角三角板的两个锐角分别为30°和60°，直尺的边为平角（180°）。首先计算∠α的邻补角为180°-135°=45°，再根据平行线的内错角相等，可知这个45°的角与下方直尺处的对应角相等，最后结合平角180°，减去45°和三角板的60°锐角，即可求出∠β的度数。
【解析】
解：
∵直尺的上下两条对边互相平行，∠α=135°，
∴∠α的邻补角为 $180° - 135° = 45°$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得下方直尺边处与上述45°角对应的内错角也为45°，
∵直角三角板含30°角，因此另一个锐角为 $90° - 30° = 60°$，
又
∵下方直尺的边为平角，度数为180°，
∴$∠β = 180° - 45° - 60° = 75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
平行线的性质，邻补角的性质，直角三角板角度特征
【点评】
本题是相交线与平行线的典型应用题型，结合了生活中常见的三角板、直尺的几何特征，解题的核心是准确找到平行线的截线，利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合平角的性质求解，能够有效考查学生对平行线性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

7. 已知 $ OA ⊥ OC $，$ ∠ AOB : ∠ AOC = 2 : 3 $，则$ ∠ BOC $的度数为\underline{\hspace{5cm}}。

7. 30°或150°

【分析】
首先根据垂直的定义可得出∠AOC的度数，再结合∠AOB与∠AOC的比例关系求出∠AOB的度数。由于题目未明确OB的位置，需分类讨论两种情况：OB在∠AOC内部、OB在∠AOC外部，分别根据角的和差关系计算∠BOC的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵ OA⊥OC，
∴ ∠AOC = 90°，
∵ ∠AOB:∠AOC = 2:3，
∴ ∠AOB = $\frac{2}{3}$×90° = 60°，
分两种情况讨论：
① 当OB在∠AOC内部时，
∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 90° - 60° = 30°；
② 当OB在∠AOC外部时，
∠BOC = ∠AOC + ∠AOB = 90° + 60° = 150°；
综上，∠BOC的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
垂直的定义，角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略OB位置的两种可能性，仅考虑OB在角内部的情况导致漏解，解题时需结合题意全面分析图形的所有可能情况，养成严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6

8. 如图7-25,直线AB,CD相交于点O.若$∠1=40°,∠2=120°$,则$∠COM$的度数为 （）

图7-25

A.$70°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$

8. B

【分析】
解题时先观察图形特征，直线AB与CD相交于点O，首先想到对顶角相等的性质，找到与∠2是对顶角的∠BOC，先求出∠BOC的度数；再观察发现∠BOC由∠COM和∠1组成，利用角的和差关系，用∠BOC的度数减去∠1的度数即可求出∠COM的度数。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOC与∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质可得：
$∠ BOC = ∠ 2 = 120°$，
又
∵$∠ BOC = ∠ COM + ∠ 1$，已知$∠ 1=40°$，
∴$∠ COM = ∠ BOC - ∠ 1 = 120° - 40° = 80°$。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等，角的和差计算
【点评】
本题是相交线相关的基础计算题，解题的核心是准确识别对顶角，再结合角的和差关系列式计算，难度较低，熟练掌握对顶角的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

9. 如图 7-26, 有以下四个条件:
①$∠ B+∠ BCD=180°$;②$∠ 1=∠ 2$;③$∠ 3=∠ 4$;④$∠ B=∠ 5$. 其中能判定 $AB// CD$ 的条件的个数为 ()

图 7-26

A.1
B.2
C.3
D.4

9. C

【分析】
要判断各条件能否判定AB//CD，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行），先确定每个条件中两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的角，再逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析4个条件：
1. 条件①：∠B与∠BCD是直线AB、CD被直线BE所截的同旁内角，若∠B+∠BCD=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定AB//CD，符合要求；
2. 条件②：∠1与∠2是直线AD、BC被直线AC所截的内错角，若∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定AD//BC，无法推出AB//CD，不符合要求；
3. 条件③：∠3与∠4是直线AB、CD被直线AC所截的内错角，若∠3=∠4，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定AB//CD，符合要求；
4. 条件④：∠B与∠5是直线AB、CD被直线BE所截的同位角，若∠B=∠5，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定AB//CD，符合要求。
综上，能判定AB//CD的条件有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；三线八角识别
【点评】
本题是平行线判定的基础题，解题的核心是准确区分截线和被截线，正确识别角的类型（同位角、内错角、同旁内角），再对应判定定理判断即可，要注意不要混淆不同组平行线的判定条件。
【难度系数】
0.7