9. 如图7-36,直线$a// b$,一个三角板的直角顶点在直线$a$上,两直角边均与直线$b$相交,$∠ 1=40°$,则$∠ 2$等于 （）


A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$

9. B

【分析】
解题思路如下：首先，直线a上的∠1、三角板的直角、∠3三个角共同构成平角，总和为180°，结合已知∠1的度数，可先求出∠3的大小；再根据直线a//b的条件，利用平行线的性质得到∠2与∠3的等量关系，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 平角的度数为180°，三角板的直角为90°
∴ ∠1 + 90° + ∠3 = 180°
将∠1=40°代入上式，得：
∠3 = 180° - 90° - 40° = 50°
又
∵ 直线a//b，根据“两直线平行，同位角相等”
∴ ∠2 = ∠3 = 50°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；直角的特征
【点评】
本题是相交线与平行线的基础常考题，结合三角板的特征考察平行线性质的应用，解题关键是通过平角求出与∠2相等的角的度数，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

10. 如果两个角的一边在同一直线上,而另一边互相平行,那么这两个角
()

A.相等
B.互补
C.相等或互余
D.相等或互补

10. D 提示:如下图,分两种情况.
①$∠ A$与$∠ 1$的一边在直线$AC$上,另一边$AB// DE$,
$\therefore ∠ 1=∠ A$.
②$∠ A$与$∠ 2$的一边在直线$AC$上,另一边$AB// DF$,
$\because ∠ 1+∠ 2=180°, ∠ 1=∠ A$,
$\therefore ∠ 2+∠ A=180°$.
综上可知,这两个角的关系是相等或互补.

【分析】
解决本题需结合平行线的性质分情况讨论：首先明确题目的条件是两个角的一边共线，另一边互相平行，我们要考虑两种位置情况：第一种是两个角在公共直线的同侧，此时符合平行线同位角相等的特征，两角相等；第二种是两个角在公共直线的两侧，此时其中一个角的同位角是另一个角的邻补角，两角互补，综合两种情况就能得到正确结论。
【解析】
我们结合图形分两种情况分析：
① $∠ A$与$∠ 1$的一边在直线$AC$上，另一边$AB// DE$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ 1=∠ A$；
② $∠ A$与$∠ 2$的一边在直线$AC$上，另一边$AB// DF$，首先$∠ 1$和$∠ 2$是邻补角，因此$∠ 1+∠ 2=180°$，结合①的结论$∠ 1=∠ A$，等量代换可得$∠ 2+∠ A=180°$，即两角互补。
综上可知，这两个角的关系是相等或互补，因此选D。
【答案】
10. D 提示:如下图,分两种情况.
①$∠ A$与$∠ 1$的一边在直线$AC$上,另一边$AB// DE$,
$\therefore ∠ 1=∠ A$.
②$∠ A$与$∠ 2$的一边在直线$AC$上,另一边$AB// DF$,
$\because ∠ 1+∠ 2=180°, ∠ 1=∠ A$,
$\therefore ∠ 2+∠ A=180°$.
综上可知,这两个角的关系是相等或互补.
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义，分类讨论
【点评】
本题易错点是仅考虑到两角相等的情况，忽略互补的可能性，解题时要结合图形梳理所有可能的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7

三、解答题
11. 如图 7-37, $AB // CD$, $EF$ 分别交$AB,CD$ 于点 $E,F,EG$ 平分 $∠ AEF,FH$ 平分$∠ EFD$. 求证:$EG // FH$.

证明:$\because\quad AB// CD$(已知),
$\therefore\quad ∠ AEF = ∠ EFD(\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad})$.
$\because\quad EG$ 平分 $∠ AEF,FH$ 平分 $∠ EFD$(已知),
$\therefore\quad ∠\underline{\qquad\qquad} = \dfrac{1}{2}∠ AEF$,
$∠\underline{\qquad\qquad} = \dfrac{1}{2}∠ EFD$(角平分线定义).
$\therefore\quad ∠ \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad} = ∠ \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$
$\therefore\quad EG// FH(\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad})$.

11. 两直线平行,内错角相等 $GEF$ $EFH$ $GEF$ $EFH$ 内错角相等,两直线平行

【分析】
要证明$EG// FH$，可根据平行线的判定定理，证明两条直线被$EF$所截形成的内错角相等即可。首先由已知$AB// CD$，利用平行线的性质得到$∠ AEF=∠ EFD$，再结合角平分线的定义，可推出两个内错角$∠ GEF$和$∠ EFH$相等，最后利用平行线的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明:$\because\quad AB// CD$(已知),
$\therefore\quad ∠ AEF = ∠ EFD(\underline{两直线平行,内错角相等})$.
$\because\quad EG$ 平分 $∠ AEF,FH$ 平分$∠ EFD$(已知),
$\therefore\quad ∠\underline{GEF} = \dfrac{1}{2}∠ AEF$,
$∠\underline{EFH} = \dfrac{1}{2}∠ EFD$(角平分线定义).
$\therefore\quad ∠ \underline{GEF} = ∠ \underline{EFH}.$
$\therefore\quad EG// FH(\underline{内错角相等,两直线平行})$.
【答案】
两直线平行,内错角相等；$GEF$；$EFH$；$GEF$；$EFH$；内错角相等,两直线平行
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合题，解题核心是理清角之间的等量代换关系，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9

12. 如图 7-38,$AF ⊥ BC$ 于点 $E$,$BD ⊥ BC$ 于点 $B$,$∠ 1 = ∠ 2$. 求证: $∠ BAF$ 与 $∠ AFD$ 互补.

图 7-38

12. $\because AF⊥ BC$于点$E, BD⊥ BC$于点$B$,
$\therefore ∠ CEF=90°, ∠ CBD=90°$.
$\therefore ∠ CEF=∠ CBD. \therefore AF// BD$.
$\therefore ∠ 1=∠ BDC$.
$\because ∠ 1=∠ 2, \therefore ∠ BDC=∠ 2$.
$\therefore AB// CD. \therefore ∠ BAF+∠ AFD=180°$,
即$∠ BAF$与$∠ AFD$互补.

【分析】
要证明∠BAF与∠AFD互补，根据平行线的性质，只需先证明AB//CD即可。首先从已知的两组垂直关系入手，利用垂直的定义得到相等的同位角，先判定AF//BD，得到角的等量关系；再结合∠1=∠2的条件，通过等量代换得到相等的内错角，从而判定AB//CD，最后利用“两直线平行，同旁内角互补”即可推出结论。
【解析】
证明：
$\because AF⊥ BC$于点$E, BD⊥ BC$于点$B$,
$\therefore ∠ CEF=90°, ∠ CBD=90°$（垂直的定义）,
$\therefore ∠ CEF=∠ CBD$（等量代换）,
$\therefore AF// BD$（同位角相等，两直线平行）,
$\therefore ∠ 1=∠ BDC$（两直线平行，同位角相等）,
$\because ∠ 1=∠ 2$（已知）,
$\therefore ∠ BDC=∠ 2$（等量代换）,
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）,
$\therefore ∠ BAF+∠ AFD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）,
即$∠ BAF$与$∠ AFD$互补。
【答案】
∠BAF与∠AFD互补，得证。
【知识点】
垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题是相交线与平行线模块的典型基础题，解题的关键是理清平行线判定和性质的应用逻辑，结合已知的垂直、等角条件逐步推导平行线关系，最终得到角的互补结论，能够很好地考查学生对平行线相关定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7