13. 如图7-39,在三角形ABC中,
$DE// BC,∠EDF=∠C.$
(1)求证:$∠BDF=∠A;$
(2)若$∠A=45^{\circ },DF$平分$∠BDE$,求$∠B$的度数.

图7-39

13. (1)$\because DE// BC, \therefore ∠ C=∠ AED$.
$\because ∠ EDF=∠ C, \therefore ∠ AED=∠ EDF$.
$\therefore DF// AC. \therefore ∠ BDF=∠ A$.
(2)$\because ∠ A=45°, \therefore ∠ BDF=45°$.
$\because DF$ 平分 $∠ BDE$,
$\therefore ∠ BDE=2∠ BDF=90°$.
$\because DE// BC, \therefore ∠ B=90°$.

【分析】
(1) 要证明∠BDF=∠A，可通过推导DF平行于AC，利用平行线同位角相等的性质得到结论。首先由DE//BC可得∠C与∠AED相等，结合已知∠EDF=∠C，等量代换得到内错角∠AED=∠EDF，即可推出DF//AC，进而得到∠BDF=∠A。
(2) 先借助第一问的结论得到∠BDF的度数，再根据角平分线的定义求出∠BDE的度数，最后利用DE//BC时同旁内角互补的性质，即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// BC$（已知），
$\therefore ∠C=∠AED$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠EDF=∠C$（已知），
$\therefore ∠AED=∠EDF$（等量代换），
$\therefore DF// AC$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠BDF=∠A$（两直线平行，同位角相等）。
(2) 解：
$\because ∠A=45°$，由(1)得$∠BDF=∠A$，
$\therefore ∠BDF=45°$。
$\because DF$平分$∠BDE$（已知），
$\therefore ∠BDE=2∠BDF=2×45°=90°$（角平分线的定义）。
$\because DE// BC$（已知），
$\therefore ∠B+∠BDE=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠B=180°-90°=90°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{∠B=90°}$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线相关的基础综合题，解题核心是灵活运用平行线的判定定理和性质定理完成角的等量转换，结合角平分线的定义计算角度，属于常规考查题型，熟练掌握平行线的相关性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7

14. 已知$AB// CD$，点$E$在$AB$上，点$F$在$DC$上，$G$为射线$EF$上一点.
(1)【基础问题】如图7-40①，求证：$∠ AGD=∠ A+∠ D$.
证明:过点$G$作直线$MN// AB$.
$\because AB// CD$,
$\therefore$ $\_\_\_\_\_\_// CD$.
$\because MN// AB$,
$\therefore$ $\_\_\_\_\_\_=∠ AGM$.
$\because MN// CD$,
$\therefore$ $∠ D=\_\_\_\_\_\_$( ).
$\therefore ∠ AGD=∠ AGM+∠ DGM=∠ A+∠ D$.
(2)【类比探究】如图7-40②，当点$G$在线段$EF$的延长线上时,请写出$∠ AGD$，$∠ A$，$∠ D$三者之间的数量关系,并说明理由.

图7-40
(3)【应用拓展】如图7-40③，$AH$平分$∠ GAE$，$DH$交$AH$于点$H$，且$∠ GDH=2∠ HDF$，$∠ HDF=22°$，$∠ H=32°$，直接写出$∠ DGA$的度数:________.

14. (1)$MN$ $∠ A$ $∠ DGM$ 两直线平行,内错角相等
(2)$∠ AGD=∠ A-∠ D$. 理由如下:
如图所示,过点$G$作直线$MN// AB$.
$\because AB// CD, \therefore MN// CD$.
$\because MN// AB, \therefore ∠ A=∠ AGM$.
$\because MN// CD, \therefore ∠ D=∠ DGM$.
$\therefore ∠ AGD=∠ AGM-∠ DGM=∠ A-∠ D$.
(3)$42°$ 提示:如图所示,过点$G$作直线$MN// AB$,过点$H$作直线$PQ// AB$.
$\because AB// CD, \therefore MN// CD, PQ// CD$.
$\because MN// AB, PQ// AB$,
$\therefore ∠ BAG=∠ AGM, ∠ BAH=∠ AHP$.
$\because MN// CD, PQ// CD$,
$\therefore ∠ CDG=∠ DGM, ∠ CDH=∠ DHP$.
$\because ∠ GDH=2∠ HDF, ∠ HDF=22°$,
$\therefore ∠ GDH=44°, ∠ DHP=22°$.
$\therefore ∠ CDG=66°$.
$\because ∠ AHD=32°, \therefore ∠ AHP=54°$.
$\therefore ∠ DGM=66°, ∠ BAH=54°$.
$\because AH$ 平分 $∠ GAE$,
$\therefore ∠ BAG=2∠ BAH=108°$.
$\therefore ∠ AGM=108°$.
$\therefore ∠ DGA=∠ AGM-∠ DGM=42°$.

【分析】
本题是平行线背景下的角的数量关系探究题，核心解题方法是过拐点作已知平行线的辅助线，结合平行线性质推导角的关系：
(1) 第一问为基础填空，已知$AB// CD$，过$G$作$MN// AB$，根据平行公理的推论可得$MN$也平行于$CD$，再利用两直线平行内错角相等，可将$∠ AGD$拆分为分别与$∠ A$、$∠ D$相等的两个角的和，即可完成证明。
(2) 第二问类比第一问的辅助线作法，过$G$作$MN// AB$，先证$MN// CD$，再结合平行线内错角相等得到$∠ A$、$∠ D$与拆分角的关系，此时$∠ AGD$为两个拆分角的差，即可得出三者数量关系。
(3) 第三问需同时过$G$、$H$两个拐点作平行于$AB$的辅助线，结合平行线内错角相等、已知角的倍数关系、角平分线定义，先求出相关角的度数，再利用第二问得到的角的差的关系计算$∠ DGA$即可。
【解析】
(1) 证明:过点$G$作直线$MN// AB$.
$\because AB// CD$,
$\therefore \underline{MN}// CD$.
$\because MN// AB$,
$\therefore \underline{∠ A}=∠ AGM$.
$\because MN// CD$,
$\therefore ∠ D=\underline{∠ DGM}$(两直线平行,内错角相等).
$\therefore ∠ AGD=∠ AGM+∠ DGM=∠ A+∠ D$.
(2) $∠ AGD=∠ A-∠ D$，理由如下:
过点$G$作直线$MN// AB$，如图所示:
$\because AB// CD, \therefore MN// CD$.
$\because MN// AB, \therefore ∠ A=∠ AGM$.
$\because MN// CD, \therefore ∠ D=∠ DGM$.
$\therefore ∠ AGD=∠ AGM-∠ DGM=∠ A-∠ D$.
(3) 过点$G$作直线$MN// AB$,过点$H$作直线$PQ// AB$，如图所示:
$\because AB// CD, \therefore MN// CD, PQ// CD$.
$\because MN// AB, PQ// AB$,
$\therefore ∠ BAG=∠ AGM, ∠ BAH=∠ AHP$.
$\because MN// CD, PQ// CD$,
$\therefore ∠ CDG=∠ DGM, ∠ CDH=∠ DHP$.
$\because ∠ GDH=2∠ HDF, ∠ HDF=22°$,
$\therefore ∠ GDH=44°, ∠ DHP=22°, ∠ CDG=44°+22°=66°$.
$\because ∠ AHD=32°, \therefore ∠ AHP=∠ AHD+∠ DHP=32°+22°=54°$.
$\therefore ∠ DGM=66°, ∠ BAH=54°$.
$\because AH$ 平分 $∠ GAE$,
$\therefore ∠ BAG=2∠ BAH=2×54°=108°$,即$∠AGM=108°$.
$\therefore ∠ DGA=∠ AGM-∠ DGM=108°-66°=42°$.
【答案】
(1) $MN$；$∠ A$；$∠ DGM$；两直线平行，内错角相等
(2) $∠ AGD=∠ A-∠ D$，理由见解析
(3) $42°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线拐点问题的典型考法，从基础填空到类比探究再到拓展应用层层递进，核心技巧是过拐点作已知直线的平行线，将未知角转化为可通过平行线性质推导的角的和或差，结合角的和差计算、角平分线定义即可求解，需熟练掌握该类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6