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12. 阅读下面的文字：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
请解答下列问题：
(1)$\sqrt{15}$的整数部分是________，小数部分是________；
(2)已知$8-\sqrt{15}$的小数部分是$m$，$8+\sqrt{15}$的小数部分是$n$，且$(x-1)^2=m+n$，请求出满足条件的$x$的值。
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
请解答下列问题：
(1)$\sqrt{15}$的整数部分是________，小数部分是________；
(2)已知$8-\sqrt{15}$的小数部分是$m$，$8+\sqrt{15}$的小数部分是$n$，且$(x-1)^2=m+n$，请求出满足条件的$x$的值。
答案
12.解:(1)$3\quad \sqrt{15}-3$
(2)因为$3＜\sqrt{15}＜4$,所以$8-\sqrt{15}$的小数部分$m=4-\sqrt{15}$,$8+\sqrt{15}$的小数部分$n=\sqrt{15}-3$,所以$m+n=(4-\sqrt{15})+(\sqrt{15}-3)=1$,即$(x-1)^2=1$,所以$x-1=\pm1$,解得$x=0$或$x=2$,所以满足条件的$x$的值是0或2.
(2)因为$3＜\sqrt{15}＜4$,所以$8-\sqrt{15}$的小数部分$m=4-\sqrt{15}$,$8+\sqrt{15}$的小数部分$n=\sqrt{15}-3$,所以$m+n=(4-\sqrt{15})+(\sqrt{15}-3)=1$,即$(x-1)^2=1$,所以$x-1=\pm1$,解得$x=0$或$x=2$,所以满足条件的$x$的值是0或2.
解析
【分析】
解决本题的核心是先估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分，最后结合平方根的性质求解方程。
第(1)问：先找到与15相邻的两个完全平方数，确定√15的取值范围，即可得到它的整数部分，小数部分为√15减去整数部分。
第(2)问：先根据√15的范围分别求出8-√15和8+√15的取值范围，得到两者的整数部分，进而算出m、n的值，代入方程后利用平方根的性质求解x即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$，所以$\sqrt{15}$的整数部分是3，小数部分是$\sqrt{15}-3$。
(2) 由$3＜\sqrt{15}＜4$可得：
① 计算$8-\sqrt{15}$的范围：$8-4＜8-\sqrt{15}＜8-3$，即$4＜8-\sqrt{15}＜5$，因此$8-\sqrt{15}$的整数部分是4，小数部分$m=(8-\sqrt{15})-4=4-\sqrt{15}$；
② 计算$8+\sqrt{15}$的范围：$8+3＜8+\sqrt{15}＜8+4$，即$11＜8+\sqrt{15}＜12$，因此$8+\sqrt{15}$的整数部分是11，小数部分$n=(8+\sqrt{15})-11=\sqrt{15}-3$；
将m、n代入得：$m+n=(4-\sqrt{15})+(\sqrt{15}-3)=1$，即$(x-1)^2=1$。
根据平方根的性质，得$x-1=\pm1$，
当$x-1=1$时，$x=2$；当$x-1=-1$时，$x=0$。
【答案】
(1) $3$；$\sqrt{15}-3$
(2) $x$的值为0或2
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 平方根的运算
3. 实数的加减运算
【点评】
本题重点考查无理数的估算方法，解题的关键是先确定无理数的整数部分，进而得到对应的小数部分，求解平方根方程时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分，最后结合平方根的性质求解方程。
第(1)问：先找到与15相邻的两个完全平方数，确定√15的取值范围，即可得到它的整数部分，小数部分为√15减去整数部分。
第(2)问：先根据√15的范围分别求出8-√15和8+√15的取值范围，得到两者的整数部分，进而算出m、n的值，代入方程后利用平方根的性质求解x即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$，所以$\sqrt{15}$的整数部分是3，小数部分是$\sqrt{15}-3$。
(2) 由$3＜\sqrt{15}＜4$可得：
① 计算$8-\sqrt{15}$的范围：$8-4＜8-\sqrt{15}＜8-3$，即$4＜8-\sqrt{15}＜5$，因此$8-\sqrt{15}$的整数部分是4，小数部分$m=(8-\sqrt{15})-4=4-\sqrt{15}$；
② 计算$8+\sqrt{15}$的范围：$8+3＜8+\sqrt{15}＜8+4$，即$11＜8+\sqrt{15}＜12$，因此$8+\sqrt{15}$的整数部分是11，小数部分$n=(8+\sqrt{15})-11=\sqrt{15}-3$；
将m、n代入得：$m+n=(4-\sqrt{15})+(\sqrt{15}-3)=1$，即$(x-1)^2=1$。
根据平方根的性质，得$x-1=\pm1$，
当$x-1=1$时，$x=2$；当$x-1=-1$时，$x=0$。
【答案】
(1) $3$；$\sqrt{15}-3$
(2) $x$的值为0或2
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 平方根的运算
3. 实数的加减运算
【点评】
本题重点考查无理数的估算方法，解题的关键是先确定无理数的整数部分，进而得到对应的小数部分，求解平方根方程时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. 已知 $ x - y = 2 $，且 $ x ＞ 1, y ＜ 0 $，试确定 $ x + y $ 的取值范围. 有如下解法：
解: 因为 $ x - y = 2 $，且 $ x ＞ 1 $，所以 $ y + 2 ＞ 1 $，所以 $ y ＞ -1 $.
又因为 $ y ＜ 0 $，所以 $ -1 ＜ y ＜ 0 $， ①
同理得 $ 1 ＜ x ＜ 2 $. ②
由①+②，得 $ -1 + 1 ＜ x + y ＜ 0 + 2 $，
所以 $ x + y $ 的取值范围是 $ 0 ＜ x + y ＜ 2 $.
按上述方法完成下列问题：
已知关于 $ x, y $ 的方程组 $ \begin{cases} 3x - y = 2a - 5, \\ x + 2y = 3a + 3 \end{cases} $ 的解都为正数.
(1)求 $ a $ 的取值范围；
(2)已知 $ a - b = 4 $，且 $ b ＜ 2 $，求 $ a + b $ 的取值范围.
解: 因为 $ x - y = 2 $，且 $ x ＞ 1 $，所以 $ y + 2 ＞ 1 $，所以 $ y ＞ -1 $.
又因为 $ y ＜ 0 $，所以 $ -1 ＜ y ＜ 0 $， ①
同理得 $ 1 ＜ x ＜ 2 $. ②
由①+②，得 $ -1 + 1 ＜ x + y ＜ 0 + 2 $，
所以 $ x + y $ 的取值范围是 $ 0 ＜ x + y ＜ 2 $.
按上述方法完成下列问题：
已知关于 $ x, y $ 的方程组 $ \begin{cases} 3x - y = 2a - 5, \\ x + 2y = 3a + 3 \end{cases} $ 的解都为正数.
(1)求 $ a $ 的取值范围；
(2)已知 $ a - b = 4 $，且 $ b ＜ 2 $，求 $ a + b $ 的取值范围.
答案
13.解:(1)解方程组$\begin{cases}3x-y=2a-5,\\x+2y=3a+3,\end{cases}$得$\begin{cases}x=a-1,\\y=a+2.\end{cases}$因为方程组$\begin{cases}3x-y=2a-5,\\x+2y=3a+3\end{cases}$的解都为正数,所以$\begin{cases}a-1＞0,\\a+2＞0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a＞1,\\a＞-2,\end{cases}$所以$a$的取值范围为$a＞1$.
(2)因为$a-b=4$,$b＜2$,$a＞1$,所以$b=a-4＜2$,$a=b+4＞1$,所以$a＜6$,$b＞-3$,所以$1＜a＜6$,$-3＜b＜2$,所以$-2＜a+b＜8$.
(2)因为$a-b=4$,$b＜2$,$a＞1$,所以$b=a-4＜2$,$a=b+4＞1$,所以$a＜6$,$b＞-3$,所以$1＜a＜6$,$-3＜b＜2$,所以$-2＜a+b＜8$.
解析
【分析】
(1) 先通过消元法求解二元一次方程组，用含参数a的代数式表示出x和y，再根据“方程组的解都是正数”即x＞0、y＞0，列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围。
(2) 参考题目给出的例题思路，结合已知条件a-b=4，将b用a表示（或a用b表示），结合b＜2和第(1)问求出的a的范围，分别求出a、b的取值范围，再将两个范围相加即可得到a+b的取值范围。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}3x - y = 2a - 5\\x + 2y = 3a + 3\end{cases}$：
将第一个方程乘2得$6x - 2y = 4a - 10$，与第二个方程相加得：
$7x=7a-7$，解得$x=a-1$。
把$x=a-1$代入$3x - y = 2a - 5$，得$3(a-1)-y=2a-5$，解得$y=a+2$。
因为方程组的解都为正数，所以$\begin{cases}a-1＞0\\a+2＞0\end{cases}$，
解不等式组得$\begin{cases}a＞1\\a＞-2\end{cases}$，取公共解集得$a＞1$。
(2) 由$a-b=4$得$b=a-4$，$a=b+4$。
因为$b＜2$，所以$a-4＜2$，解得$a＜6$，结合(1)中$a＞1$，得$1＜a＜6$。
因为$a＞1$，所以$b+4＞1$，解得$b＞-3$，结合$b＜2$，得$-3＜b＜2$。
将两个范围相加得：$1+(-3)＜a+b＜6+2$，即$-2＜a+b＜8$。
【答案】
(1) $a＞1$；(2) $-2 ＜ a + b ＜ 8$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的应用，不等式的性质
【点评】
本题是方程组与不等式的综合题型，解题关键是先通过消元法用参数表示方程组的解，再结合题意列不等式求解参数范围，第二问按照给出的推导方法，通过参数代换得到两个变量的范围后相加即可，计算时注意准确求解不等式。
【难度系数】
0.7
(1) 先通过消元法求解二元一次方程组，用含参数a的代数式表示出x和y，再根据“方程组的解都是正数”即x＞0、y＞0，列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围。
(2) 参考题目给出的例题思路，结合已知条件a-b=4，将b用a表示（或a用b表示），结合b＜2和第(1)问求出的a的范围，分别求出a、b的取值范围，再将两个范围相加即可得到a+b的取值范围。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}3x - y = 2a - 5\\x + 2y = 3a + 3\end{cases}$：
将第一个方程乘2得$6x - 2y = 4a - 10$，与第二个方程相加得：
$7x=7a-7$，解得$x=a-1$。
把$x=a-1$代入$3x - y = 2a - 5$，得$3(a-1)-y=2a-5$，解得$y=a+2$。
因为方程组的解都为正数，所以$\begin{cases}a-1＞0\\a+2＞0\end{cases}$，
解不等式组得$\begin{cases}a＞1\\a＞-2\end{cases}$，取公共解集得$a＞1$。
(2) 由$a-b=4$得$b=a-4$，$a=b+4$。
因为$b＜2$，所以$a-4＜2$，解得$a＜6$，结合(1)中$a＞1$，得$1＜a＜6$。
因为$a＞1$，所以$b+4＞1$，解得$b＞-3$，结合$b＜2$，得$-3＜b＜2$。
将两个范围相加得：$1+(-3)＜a+b＜6+2$，即$-2＜a+b＜8$。
【答案】
(1) $a＞1$；(2) $-2 ＜ a + b ＜ 8$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的应用，不等式的性质
【点评】
本题是方程组与不等式的综合题型，解题关键是先通过消元法用参数表示方程组的解，再结合题意列不等式求解参数范围，第二问按照给出的推导方法，通过参数代换得到两个变量的范围后相加即可，计算时注意准确求解不等式。
【难度系数】
0.7
