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8. 设面积为7的正方形的边长为$ m $.下列关于$ m $的说法:①$ m $是无理数;②$ m $可用数轴上的一个点来表示;③$ 3＜m＜4 $;④$ m $是49的算术平方根.其中正确的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积公式求出边长$m$的值为$\sqrt{7}$，再结合实数的相关知识点逐个判断4个说法的正误，最终统计正确说法的个数即可。思考步骤：第一步利用面积公式列等式求出$m$；第二步分别回忆无理数定义、实数与数轴的对应关系、无理数大小估算方法、算术平方根的定义，逐一验证每个说法。
【解析】
已知正方形面积为7，边长为$m$，根据正方形面积公式得：$m^2=7$，因为边长为正数，所以$m=\sqrt{7}$。
逐个分析说法：
① 无理数是无限不循环小数，$\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无理数，故①正确；
② 所有实数都与数轴上的点一一对应，$m=\sqrt{7}$是实数，因此可以用数轴上的一个点表示，故②正确；
③ 因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜m＜3$，故③错误；
④ 49的算术平方根是$\sqrt{49}=7$，而$m$是7的算术平方根，故④错误。
综上，正确的说法有①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的概念；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题综合考查实数的基础概念，需要学生对每个相关定义掌握牢固，易错点在于估算无理数范围时易算错平方数，以及混淆算术平方根对应的被开方数。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正方形面积公式求出边长$m$的值为$\sqrt{7}$，再结合实数的相关知识点逐个判断4个说法的正误，最终统计正确说法的个数即可。思考步骤：第一步利用面积公式列等式求出$m$；第二步分别回忆无理数定义、实数与数轴的对应关系、无理数大小估算方法、算术平方根的定义，逐一验证每个说法。
【解析】
已知正方形面积为7，边长为$m$，根据正方形面积公式得：$m^2=7$，因为边长为正数，所以$m=\sqrt{7}$。
逐个分析说法：
① 无理数是无限不循环小数，$\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无理数，故①正确；
② 所有实数都与数轴上的点一一对应，$m=\sqrt{7}$是实数，因此可以用数轴上的一个点表示，故②正确；
③ 因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜m＜3$，故③错误；
④ 49的算术平方根是$\sqrt{49}=7$，而$m$是7的算术平方根，故④错误。
综上，正确的说法有①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的概念；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题综合考查实数的基础概念，需要学生对每个相关定义掌握牢固，易错点在于估算无理数范围时易算错平方数，以及混淆算术平方根对应的被开方数。
【难度系数】
0.7
9. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
B
）A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
答案
9.B
解析
【分析】
这是一元一次不等式的实际应用问题，解题思路如下：首先根据购买总个数设出未知数，用未知数表示出两种垃圾桶的购买数量；再结合“总费用不超过3100元”的限制条件列出不等式；最后结合垃圾桶个数为非负整数的实际意义，求出符合条件的未知数的整数解，整数解的个数就是不同购买方式的数量。
【解析】
设购买A型分类垃圾桶$x$个，则购买B型分类垃圾桶$(6-x)$个，根据题意可得：
1. 垃圾桶个数为非负整数，即$x≥0$，$6-x≥0$，因此$0≤ x≤6$且$x$为整数；
2. 总费用不超过3100元，列不等式：
$500x + 550(6 - x) ≤ 3100$
展开并整理不等式：
$500x + 3300 - 550x ≤ 3100$
$-50x ≤ -200$
两边同时除以$-50$，不等号方向改变，得：
$x ≥ 4$
结合$0≤ x≤6$且$x$为整数，可得$x$的取值为4、5、6，共3种取值，对应3种不同的购买方式。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的应用；不等式整数解求解
【点评】
本题属于不等式方案设计类基础题，解题的关键是准确抓住题干中的不等关系列出不等式，同时要注意未知数的实际意义，不能忽略其为非负整数的限制条件，否则容易出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.7
这是一元一次不等式的实际应用问题，解题思路如下：首先根据购买总个数设出未知数，用未知数表示出两种垃圾桶的购买数量；再结合“总费用不超过3100元”的限制条件列出不等式；最后结合垃圾桶个数为非负整数的实际意义，求出符合条件的未知数的整数解，整数解的个数就是不同购买方式的数量。
【解析】
设购买A型分类垃圾桶$x$个，则购买B型分类垃圾桶$(6-x)$个，根据题意可得：
1. 垃圾桶个数为非负整数，即$x≥0$，$6-x≥0$，因此$0≤ x≤6$且$x$为整数；
2. 总费用不超过3100元，列不等式：
$500x + 550(6 - x) ≤ 3100$
展开并整理不等式：
$500x + 3300 - 550x ≤ 3100$
$-50x ≤ -200$
两边同时除以$-50$，不等号方向改变，得：
$x ≥ 4$
结合$0≤ x≤6$且$x$为整数，可得$x$的取值为4、5、6，共3种取值，对应3种不同的购买方式。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的应用；不等式整数解求解
【点评】
本题属于不等式方案设计类基础题，解题的关键是准确抓住题干中的不等关系列出不等式，同时要注意未知数的实际意义，不能忽略其为非负整数的限制条件，否则容易出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.7
10. 对于实数 $ p $，我们规定：用 $ \{\sqrt{p}\} $ 表示不小于 $ \sqrt{p} $ 的最小整数. 例如，$ \{\sqrt{4}\} = 2 $，$ \{\sqrt{3}\} = 2 $. 现在对 72 进行如下操作：
$ 72 \xrightarrow{\mathrm{第一次}} \{\sqrt{72}\} = 9 \xrightarrow{\mathrm{第二次}} \{\sqrt{9}\} = 3 \xrightarrow{\mathrm{第三次}} \{\sqrt{3}\} = 2 $，即只需对 72 进行 3 次操作就能使其变为 2.
(1) 类比上述操作，只需对 36 进行 ______ 次操作就能使其变为 2；
(2) 在只需进行 3 次操作就能使其变为 2 的所有正整数中，最大的数为 ______.
$ 72 \xrightarrow{\mathrm{第一次}} \{\sqrt{72}\} = 9 \xrightarrow{\mathrm{第二次}} \{\sqrt{9}\} = 3 \xrightarrow{\mathrm{第三次}} \{\sqrt{3}\} = 2 $，即只需对 72 进行 3 次操作就能使其变为 2.
(1) 类比上述操作，只需对 36 进行 ______ 次操作就能使其变为 2；
(2) 在只需进行 3 次操作就能使其变为 2 的所有正整数中，最大的数为 ______.
答案
10.(1)3 (2)256
解析
【分析】
首先明确新定义：$\{\sqrt{p}\}$表示不小于$\sqrt{p}$的最小整数，即对$\sqrt{p}$向上取整。
(1) 求36的操作次数，只需按照操作规则正向逐步计算，直到结果为2，统计操作次数即可。
(2) 找仅需3次操作变为2的最大正整数，采用反向推导的思路：从最后一次操作的结果2出发，依次推导第三次操作的最大输入、第二次操作的最大输入、第一次操作的最大输入，每一步根据新定义列出对应的取值范围，找到每一步的最大取值即可。
【解析】
(1) 对36按规则操作：
第一次：$\{\sqrt{36}\}=6$；
第二次：$\because 2＜\sqrt{6}＜3$，$\therefore$ 不小于$\sqrt{6}$的最小整数是3，即$\{\sqrt{6}\}=3$；
第三次：$\because 1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore$ 不小于$\sqrt{3}$的最小整数是2，即$\{\sqrt{3}\}=2$。
共需要3次操作。
(2) 先明确规律：若$\{\sqrt{p}\}=k$，则满足$k-1＜\sqrt{p}≤ k$，两边平方可得$(k-1)^2 ＜ p ≤ k^2$。
① 第三次操作后结果为2，即第三次输入$x_3$满足$\{\sqrt{x_3}\}=2$，则$1＜x_3≤4$，要使原数最大，取第三次输入的最大值$x_3=4$，即第二次操作的输出为4；
② 第二次操作输出为4，即第二次输入$x_2$满足$\{\sqrt{x_2}\}=4$，则$9＜x_2≤16$，取最大值$x_2=16$，即第一次操作的输出为16；
③ 第一次操作输出为16，即第一次输入$x_1$满足$\{\sqrt{x_1}\}=16$，则$15^2 ＜x_1≤16^2$，即$225＜x_1≤256$，所以符合要求的最大正整数为256。
【答案】
(1)3；(2)256
【知识点】
新定义运算，算术平方根，不等式应用
【点评】
本题解题核心是准确理解新定义的运算规则，正向计算操作次数时按规则逐步计算即可，反向求最大数时要结合取值范围的推导，逐步递推得到最大值，考查了逻辑推理能力和新定义的迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
首先明确新定义：$\{\sqrt{p}\}$表示不小于$\sqrt{p}$的最小整数，即对$\sqrt{p}$向上取整。
(1) 求36的操作次数，只需按照操作规则正向逐步计算，直到结果为2，统计操作次数即可。
(2) 找仅需3次操作变为2的最大正整数，采用反向推导的思路：从最后一次操作的结果2出发，依次推导第三次操作的最大输入、第二次操作的最大输入、第一次操作的最大输入，每一步根据新定义列出对应的取值范围，找到每一步的最大取值即可。
【解析】
(1) 对36按规则操作：
第一次：$\{\sqrt{36}\}=6$；
第二次：$\because 2＜\sqrt{6}＜3$，$\therefore$ 不小于$\sqrt{6}$的最小整数是3，即$\{\sqrt{6}\}=3$；
第三次：$\because 1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore$ 不小于$\sqrt{3}$的最小整数是2，即$\{\sqrt{3}\}=2$。
共需要3次操作。
(2) 先明确规律：若$\{\sqrt{p}\}=k$，则满足$k-1＜\sqrt{p}≤ k$，两边平方可得$(k-1)^2 ＜ p ≤ k^2$。
① 第三次操作后结果为2，即第三次输入$x_3$满足$\{\sqrt{x_3}\}=2$，则$1＜x_3≤4$，要使原数最大，取第三次输入的最大值$x_3=4$，即第二次操作的输出为4；
② 第二次操作输出为4，即第二次输入$x_2$满足$\{\sqrt{x_2}\}=4$，则$9＜x_2≤16$，取最大值$x_2=16$，即第一次操作的输出为16；
③ 第一次操作输出为16，即第一次输入$x_1$满足$\{\sqrt{x_1}\}=16$，则$15^2 ＜x_1≤16^2$，即$225＜x_1≤256$，所以符合要求的最大正整数为256。
【答案】
(1)3；(2)256
【知识点】
新定义运算，算术平方根，不等式应用
【点评】
本题解题核心是准确理解新定义的运算规则，正向计算操作次数时按规则逐步计算即可，反向求最大数时要结合取值范围的推导，逐步递推得到最大值，考查了逻辑推理能力和新定义的迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
11. [新课标·情境题]生活常识告诉我们:糖水里再添加糖,在糖完全溶解的情况下,糖水会变得更甜.我们把糖的质量与糖水质量的比值称为甜度,甜度越大糖水越甜.小观现在有一杯质量为100 g的糖水,其中含有$a\ \mathrm{g}$糖($0＜a＜100$),他尝了一下感觉不够甜,又向其中添加了10 g糖,并搅拌至完全溶解.
(1)糖水原来的甜度为________,加糖后的甜度为________.
(2)根据加糖前后的甜度,请你利用不等式的基本性质证明加糖后糖水确实变甜了.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,甜度应不低于10%,但不超过15%.如果上述操作后糖水的甜度符合要求,那么$a$应该在什么范围?
(1)糖水原来的甜度为________,加糖后的甜度为________.
(2)根据加糖前后的甜度,请你利用不等式的基本性质证明加糖后糖水确实变甜了.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,甜度应不低于10%,但不超过15%.如果上述操作后糖水的甜度符合要求,那么$a$应该在什么范围?
答案
11.解:(1)$\dfrac{a}{100}\quad \dfrac{a+10}{110}$
(2)因为$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}=\dfrac{10a+100}{1100}-\dfrac{11a}{1100}=\dfrac{100-a}{1100}$,$0＜a＜100$,所以$\dfrac{100-a}{1100}＞0$,即$\dfrac{a+10}{110}＞\dfrac{a}{100}$,所以加糖后糖水确实变甜了.
(3)根据题意,得$\begin{cases}\dfrac{a+10}{110}≥10\%,\\\dfrac{a+10}{110}≤15\%,\end{cases}$解得$1≤ a≤6.5$.
(2)因为$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}=\dfrac{10a+100}{1100}-\dfrac{11a}{1100}=\dfrac{100-a}{1100}$,$0＜a＜100$,所以$\dfrac{100-a}{1100}＞0$,即$\dfrac{a+10}{110}＞\dfrac{a}{100}$,所以加糖后糖水确实变甜了.
(3)根据题意,得$\begin{cases}\dfrac{a+10}{110}≥10\%,\\\dfrac{a+10}{110}≤15\%,\end{cases}$解得$1≤ a≤6.5$.
解析
【分析】
本题结合糖水加糖变甜的生活情境考查分式与不等式的相关应用，解题思路如下：
(1) 根据题干给出的“甜度=糖的质量÷糖水质量”的定义，直接代入对应质量即可求出两个甜度；
(2) 要证明加糖后更甜，只需证明加糖后的甜度大于原来的甜度，可采用作差法比较两个分式的大小，结合已知条件$0＜a＜100$判断差的正负即可得证；
(3) 甜度不低于10%即甜度≥10%，不超过15%即甜度≤15%，据此列出关于$a$的一元一次不等式组，解不等式组即可求出$a$的取值范围。
【解析】
(1) 原来糖水质量为100g，含糖$a\ \mathrm{g}$，根据甜度定义，原来的甜度为$\dfrac{a}{100}$；添加10g糖完全溶解后，糖的质量变为$(a+10)\mathrm{g}$，糖水总质量变为$100+10=110\mathrm{g}$，所以加糖后的甜度为$\dfrac{a+10}{110}$。
(2) 证明：将加糖后的甜度与原来的甜度作差，得
$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}=\dfrac{10(a+10)}{1100}-\dfrac{11a}{1100}=\dfrac{10a+100-11a}{1100}=\dfrac{100-a}{1100}$
已知$0＜a＜100$，所以$100-a＞0$，分母$1100＞0$，因此$\dfrac{100-a}{1100}＞0$，即$\dfrac{a+10}{110}＞\dfrac{a}{100}$，说明加糖后甜度变大，糖水确实变甜了。
(3) 根据题意，甜度不低于10%且不超过15%，可列不等式组：
$\begin{cases}\dfrac{a+10}{110}≥10\%\\\dfrac{a+10}{110}≤15\%\end{cases}$
解第一个不等式：两边同时乘110，得$a+10≥11$，解得$a≥1$；
解第二个不等式：两边同时乘110，得$a+10≤16.5$，解得$a≤6.5$；
所以不等式组的解集为$1≤ a≤6.5$。
【答案】
(1) $\dfrac{a}{100}$；$\dfrac{a+10}{110}$
(2) 证明见解析
(3) $1≤ a≤6.5$
【知识点】
1. 分式的意义
2. 不等式的基本性质
3. 一元一次不等式组的应用
【点评】
本题以生活中常见的糖水甜度问题为载体，将抽象的数学知识与实际生活紧密结合，既考查了分式、不等式基础知识点的掌握情况，又引导学生学会用数学思维解决实际问题，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题结合糖水加糖变甜的生活情境考查分式与不等式的相关应用，解题思路如下：
(1) 根据题干给出的“甜度=糖的质量÷糖水质量”的定义，直接代入对应质量即可求出两个甜度；
(2) 要证明加糖后更甜，只需证明加糖后的甜度大于原来的甜度，可采用作差法比较两个分式的大小，结合已知条件$0＜a＜100$判断差的正负即可得证；
(3) 甜度不低于10%即甜度≥10%，不超过15%即甜度≤15%，据此列出关于$a$的一元一次不等式组，解不等式组即可求出$a$的取值范围。
【解析】
(1) 原来糖水质量为100g，含糖$a\ \mathrm{g}$，根据甜度定义，原来的甜度为$\dfrac{a}{100}$；添加10g糖完全溶解后，糖的质量变为$(a+10)\mathrm{g}$，糖水总质量变为$100+10=110\mathrm{g}$，所以加糖后的甜度为$\dfrac{a+10}{110}$。
(2) 证明：将加糖后的甜度与原来的甜度作差，得
$\dfrac{a+10}{110}-\dfrac{a}{100}=\dfrac{10(a+10)}{1100}-\dfrac{11a}{1100}=\dfrac{10a+100-11a}{1100}=\dfrac{100-a}{1100}$
已知$0＜a＜100$，所以$100-a＞0$，分母$1100＞0$，因此$\dfrac{100-a}{1100}＞0$，即$\dfrac{a+10}{110}＞\dfrac{a}{100}$，说明加糖后甜度变大，糖水确实变甜了。
(3) 根据题意，甜度不低于10%且不超过15%，可列不等式组：
$\begin{cases}\dfrac{a+10}{110}≥10\%\\\dfrac{a+10}{110}≤15\%\end{cases}$
解第一个不等式：两边同时乘110，得$a+10≥11$，解得$a≥1$；
解第二个不等式：两边同时乘110，得$a+10≤16.5$，解得$a≤6.5$；
所以不等式组的解集为$1≤ a≤6.5$。
【答案】
(1) $\dfrac{a}{100}$；$\dfrac{a+10}{110}$
(2) 证明见解析
(3) $1≤ a≤6.5$
【知识点】
1. 分式的意义
2. 不等式的基本性质
3. 一元一次不等式组的应用
【点评】
本题以生活中常见的糖水甜度问题为载体，将抽象的数学知识与实际生活紧密结合，既考查了分式、不等式基础知识点的掌握情况，又引导学生学会用数学思维解决实际问题，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
