1. 计算$(-x)^{4} · x^{5}$的结果是 （）

A.$x^{9}$
B.$-x^{9}$
C.$x^{20}$
D.$-x^{20}$

A

【分析】
解题时先处理带负号的幂的运算：首先观察到(-x)的指数是4，为偶数，根据负数偶次幂的性质先化简(-x)⁴，再根据同底数幂的乘法法则计算化简后的式子与x⁵的乘积即可得到结果。
【解析】
第一步：化简$(-x)^4$
根据负数的偶次幂为正的性质，可得$(-x)^4=(-1× x)^4=(-1)^4· x^4=x^4$；
第二步：计算同底数幂的乘法
根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则：
$x^4· x^5=x^{4+5}=x^9$。
因此计算结果为$x^9$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 乘方符号法则
2. 同底数幂乘法
【点评】
本题是幂运算的基础考题，易错点是容易误判$(-x)^4$的符号，错算成$-x^4$进而错选B，只要熟练掌握幂的相关运算性质就能准确求解。
【难度系数】
0.8

2. 下列计算错误的是
（）

A.$[(a+b)^2]^3=(a+b)^6$
B.$[(a+b)^2]^5=(a+b)^7$
C.$[(b-a)^3]^n=(b-a)^{3n}$
D.$[(b-a)^3]^2=(a-b)^6$

B

【分析】
本题考查幂的乘方运算的正误判断，解题思路如下：首先回忆幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；其次要注意互为相反数的两个数的偶次幂相等。我们只需逐个验证四个选项的运算是否符合法则，即可找到计算错误的选项。
【解析】
我们依据幂的乘方运算法则逐个分析选项：
A选项：$[(a+b)^2]^3$底数为$(a+b)$，指数相乘得$2×3=6$，因此结果为$(a+b)^6$，计算正确，不符合题意。
B选项：$[(a+b)^2]^5$指数应计算为$2×5=10$，结果应为$(a+b)^{10}$，而非$(a+b)^7$，计算错误，符合题意。
C选项：$[(b-a)^3]^n$底数为$(b-a)$，指数相乘得$3× n=3n$，因此结果为$(b-a)^{3n}$，计算正确，不符合题意。
D选项：先计算$[(b-a)^3]^2=(b-a)^{3×2}=(b-a)^6$，由于6是偶数，$(b-a)^6=(a-b)^6$，计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算、偶次幂的性质
【点评】
本题重点考查幂的乘方的基本运算规则，做题时要注意幂的乘方是指数相乘而非相加，同时要留意互为相反数的两个数的偶次幂相等的特性，避免因细节疏忽出错。
【难度系数】
0.85

3. 下列计算正确的是（）

A.$(ab^2)^2 = ab^4$
B.$(3xy)^3 = 9x^3y^3$
C.$(-2a^2)^2 = -4a^4$
D.$(-3a^2bc^2)^2 = 9a^4b^2c^4$

D

【分析】
本题考查幂的相关运算法则，解题思路是先明确积的乘方、幂的乘方的运算规则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们只需逐一计算每个选项的结果，和选项给出的式子对比，即可选出正确答案。
【解析】
我们根据幂的运算法则逐个分析选项：
A选项：$(ab^2)^2=a^2·(b^2)^2=a^2b^4$，与选项中的$ab^4$不符，故A错误；
B选项：$(3xy)^3=3^3· x^3· y^3=27x^3y^3$，与选项中的$9x^3y^3$不符，故B错误；
C选项：$(-2a^2)^2=(-2)^2·(a^2)^2=4a^4$，与选项中的$-4a^4$不符，故C错误；
D选项：$(-3a^2bc^2)^2=(-3)^2·(a^2)^2· b^2·(c^2)^2=9a^4b^2c^4$，与选项表述一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对运算法则的记忆和应用，易错点是容易忽略系数的乘方、或者弄错负数乘方的符号，做题时要严格按照法则分步计算，避免跳步出错。
【难度系数】
0.8

4.若$ a^x = 5, a^{x+y} = 25 $，则$ a^y = \_\_\_\_\_\_ $.

5

【分析】
解题时先观察已知条件中幂的指数特征，发现$a^{x+y}$的指数是x与y的和，符合同底数幂乘法法则的结构特征，因此可以逆用同底数幂的乘法公式，将$a^{x+y}$转化为$a^x$与$a^y$的乘积，再代入已知的$a^x$和$a^{x+y}$的数值，就能求出$a^y$的结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n均为正整数），逆用该法则可得：
$a^{x+y}=a^x · a^y$
已知$a^x=5$，$a^{x+y}=25$，代入上式得：
$25 = 5 × a^y$
计算得$a^y = 25 ÷ 5 = 5$
【答案】
5
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂乘法的逆应用
【点评】
本题侧重考查对同底数幂乘法运算法则的灵活运用能力，熟练掌握运算规则并能正确逆用公式是解决这类问题的核心，解题时注意观察已知和所求之间的关联，对应公式变形即可快速求解。
【难度系数】
0.9

5. 若$ a^{2}b^{n}=5 $，则$ a^{6}b^{3n} $的值为.

125

【分析】
解题时首先观察已知条件$a^2b^n=5$和待求式$a^6b^{3n}$的结构：待求式中$a$的指数6是已知式中$a$的指数2的3倍，$b$的指数$3n$是已知式中$b$的指数$n$的3倍，因此可以逆用幂的乘方和积的乘方的运算性质，将待求式变形为含$a^2b^n$的形式，再整体代入已知数值计算即可。
【解析】
根据幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，积的乘方运算性质：$(ab)^n=a^nb^n$，逆用上述性质对待求式变形：
$a^6b^{3n}=(a^2)^3· (b^n)^3=(a^2b^n)^3$
将$a^2b^n=5$代入上式得：
原式$=5^3=125$
【答案】
125
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题核心考察幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是准确识别已知式和待求式的指数关联，通过逆用幂的运算公式实现整体代入，降低计算难度，是幂的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.9

6. 已知$(a^m)^n=5$，则$(a^n)^m=\underline{\hspace{5em}}$，$a^{2mn}=\underline{\hspace{5em}}$。

5 25

【分析】
解题时首先回忆幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^x)^y=a^{xy}$（x、y为正整数）。第一步看第一个待求式$(a^n)^m$，根据法则计算可得到$a^{mn}$，而已知条件$(a^m)^n$计算后也等于$a^{mn}=5$，因此第一个空可直接得出结果。第二步看第二个待求式$a^{2mn}$，逆用幂的乘方法则，将其变形为$(a^{mn})^2$，再代入$a^{mn}=5$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^x)^y=a^{xy}$（x、y均为正整数）
1. 计算$(a^n)^m$：
由法则得：$(a^n)^m=a^{n· m}=a^{mn}$
已知$(a^m)^n=a^{m· n}=a^{mn}=5$，因此$(a^n)^m=5$
2. 计算$a^{2mn}$：
逆用幂的乘方法则，可得$a^{2mn}=a^{mn×2}=(a^{mn})^2$
将$a^{mn}=5$代入得：$(a^{mn})^2=5^2=25$
【答案】
5；25
【知识点】
幂的乘方运算，幂的乘方逆用，代数式代入求值
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对幂的乘方法则的掌握程度，只要能熟练对法则进行正用和逆用，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8

7. 计算：
(1)$(-a^{3})· (-a)^{2}-(-a)^{4}· a$；
(2)$(2x^{2})^{3}+x^{4}· x^{2}+(-2x^{3})^{2}$；
(3)$2^{100}×4^{100}×0.125^{99}$.

(1)原式$=-a^{5}-a^{5}=-2a^{5}$.
(2)原式$=8x^{6}+x^{6}+4x^{6}=13x^{6}$.
(3)原式$=2×2^{99}×4×4^{99}×0.125^{99}=2×4×(2×4×0.125)^{99}=8×1=8$.

【分析】
这三道题均属于幂的运算类计算题，解题思路如下：
1. 运算顺序遵循先算乘方，再算乘法，最后合并同类项的规则；
2. 处理带负号的幂时，先根据负数的偶次幂为正、奇次幂为负确定符号，再结合同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）计算乘法；
3. 第(3)题中指数不同时，可将高次幂拆成低次幂乘底数的形式，逆用积的乘方法则$a^n·b^n=(ab)^n$简化计算，避免分别计算高次幂导致运算量过大。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-a)^2=a^2$，$(-a)^4=a^4$，
原式$=(-a^3)·a^2 - a^4·a$，
根据同底数幂乘法法则计算：$-a^{3+2} - a^{4+1}=-a^5 - a^5$，
合并同类项得：$-2a^5$。
(2) 先分别计算积的乘方和同底数幂乘法：
$(2x^2)^3=2^3·(x^2)^3=8x^6$，
$x^4·x^2=x^{4+2}=x^6$，
$(-2x^3)^2=(-2)^2·(x^3)^2=4x^6$，
原式$=8x^6 + x^6 + 4x^6$，
合并同类项得：$13x^6$。
(3) 先将高次幂拆分：$2^{100}=2×2^{99}$，$4^{100}=4×4^{99}$，
原式$=2×2^{99}×4×4^{99}×0.125^{99}$，
调整运算顺序，逆用积的乘方法则：
$=2×4×(2×4×0.125)^{99}$，
计算得括号内$2×4×0.125=1$，$1^{99}=1$，
所以原式$=8×1=8$。
【答案】
(1)$-2a^5$；(2)$13x^6$；(3)$8$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项
【点评】
本题重点考察幂的运算法则的掌握与灵活应用，解题时需注意运算顺序，处理负号时要格外细心，逆用积的乘方公式可以大幅简化高次幂的运算，是简便计算中常用的技巧。
【难度系数】
0.7