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三、计算左下图中涂色部分的周长和右下图中涂色部分的面积。
1.
2.
1.
2.
答案
1. $3.14×3÷2+3.14×4÷2+3.14×5÷2=18.84(\mathrm{m})$
2. $3.14×(18÷2)^2 ÷2=127.17(\mathrm{cm}^2)$
2. $3.14×(18÷2)^2 ÷2=127.17(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
1. 求左图涂色周长：先观察周长构成，涂色部分周长是直径分别为3m、4m、5m的三个半圆弧的长度之和，半圆弧长公式为$C_{半弧}=π d÷2$，分别计算三个半圆弧长再相加即可。
2. 求右图涂色面积：采用割补转化思想，将零散的涂色部分拼接后可得到一个直径为18cm的半圆，直接计算该半圆的面积就是涂色部分总面积，避免计算零散不规则图形的繁琐。
【解析】
1. 左图涂色周长计算：
半圆弧长公式：$\mathrm{半圆弧长}=π×\mathrm{直径}÷2$
分别计算三个半圆弧长再求和：
$\begin{split}&3.14×3÷2+3.14×4÷2+3.14×5÷2\\=&4.71+6.28+7.85\\=&18.84(\mathrm{m})\end{split}$
2. 右图涂色面积计算：
通过割补，涂色部分可转化为直径18cm的半圆，半径$r=18÷2=9(\mathrm{cm})$
半圆面积公式：$S_{半圆}=π r^2÷2$
代入计算：
$\begin{split}&3.14×(18÷2)^2÷2\\=&3.14×81÷2\\=&127.17(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
【答案】
1. $18.84\mathrm{m}$
2. $127.17\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、割补法求面积
【点评】
本题侧重考察圆相关公式的灵活运用与转化思想，第一题需准确识别周长的组成，避免错误添加直边长度；第二题通过割补将不规则图形转化为规则的半圆，可大幅简化计算，这类转化方法是求解不规则图形周长、面积的常用技巧。
【难度系数】
0.7
1. 求左图涂色周长：先观察周长构成，涂色部分周长是直径分别为3m、4m、5m的三个半圆弧的长度之和，半圆弧长公式为$C_{半弧}=π d÷2$，分别计算三个半圆弧长再相加即可。
2. 求右图涂色面积：采用割补转化思想，将零散的涂色部分拼接后可得到一个直径为18cm的半圆，直接计算该半圆的面积就是涂色部分总面积，避免计算零散不规则图形的繁琐。
【解析】
1. 左图涂色周长计算：
半圆弧长公式：$\mathrm{半圆弧长}=π×\mathrm{直径}÷2$
分别计算三个半圆弧长再求和：
$\begin{split}&3.14×3÷2+3.14×4÷2+3.14×5÷2\\=&4.71+6.28+7.85\\=&18.84(\mathrm{m})\end{split}$
2. 右图涂色面积计算：
通过割补，涂色部分可转化为直径18cm的半圆，半径$r=18÷2=9(\mathrm{cm})$
半圆面积公式：$S_{半圆}=π r^2÷2$
代入计算：
$\begin{split}&3.14×(18÷2)^2÷2\\=&3.14×81÷2\\=&127.17(\mathrm{cm}^2)\end{split}$
【答案】
1. $18.84\mathrm{m}$
2. $127.17\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、割补法求面积
【点评】
本题侧重考察圆相关公式的灵活运用与转化思想，第一题需准确识别周长的组成，避免错误添加直边长度；第二题通过割补将不规则图形转化为规则的半圆，可大幅简化计算，这类转化方法是求解不规则图形周长、面积的常用技巧。
【难度系数】
0.7
跟我学 计算：$\frac{1×2×4+2×4×8+3×6×12}{1×3×9+2×6×18+3×9×27}$。
这样想 将算式中的分子和分母进行拆分，并提取出相同的部分，如分子：$1×2×4+2×4×8+3×6×12=1×2×4+1×2×2×2×4×2+1×3×2×3×4×3=1×2×4×(1+2^3+3^3)$；同理，分母可转化为$1×3×9×(1+2^3+3^3)$；最后整体约分即可得出结果。
自己写
这样想 将算式中的分子和分母进行拆分，并提取出相同的部分，如分子：$1×2×4+2×4×8+3×6×12=1×2×4+1×2×2×2×4×2+1×3×2×3×4×3=1×2×4×(1+2^3+3^3)$；同理，分母可转化为$1×3×9×(1+2^3+3^3)$；最后整体约分即可得出结果。
自己写
答案
$\frac{8}{27}$
解析
【分析】
本题是分数简便计算类题目，解题思路为：第一步观察分子和分母的各项规律，发现分子的每一组乘积都是首项$1×2×4$分别乘1的三次方、2的三次方、3的三次方，分母的每一组乘积都是首项$1×3×9$分别乘1的三次方、2的三次方、3的三次方；第二步分别给分子、分母提取公共的因数，将复杂的多组加法转化为公共因数乘相同的和的形式；第三步将分子分母中相同的和约掉，计算剩余的乘积即可得到结果，不需要直接计算大数的乘积，避免计算错误。
【解析】
解：先拆分化简分子：
$\begin{split}分子&=1×2×4 + 2×4×8 + 3×6×12\\&=1×2×4×1 + (1×2)×(2×2)×(4×2) + (1×3)×(2×3)×(4×3)\\&=1×2×4×1 + 1×2×4×2^3 + 1×2×4×3^3\\&=1×2×4×(1+2^3+3^3)\end{split}$
再拆分化简分母：
$\begin{split}分母&=1×3×9 + 2×6×18 + 3×9×27\\&=1×3×9×1 + (1×2)×(3×2)×(9×2) + (1×3)×(3×3)×(9×3)\\&=1×3×9×1 + 1×3×9×2^3 + 1×3×9×3^3\\&=1×3×9×(1+2^3+3^3)\end{split}$
代入原式约分计算：
$\begin{split}原式&=\frac{1×2×4×(1+2^3+3^3)}{1×3×9×(1+2^3+3^3)}\\&=\frac{1×2×4}{1×3×9}\\&=\frac{8}{27}\end{split}$
【答案】
$\frac{8}{27}$
【知识点】
提取公因数，分数约分，简便计算
【点评】
本题是分数巧算的典型题型，核心考查对算式结构的观察能力，只要找准分子、分母各项的共同规律，提取公共因数后约分，就能快速得出结果，能很好地锻炼简便计算的思维。
【难度系数】
0.7
本题是分数简便计算类题目，解题思路为：第一步观察分子和分母的各项规律，发现分子的每一组乘积都是首项$1×2×4$分别乘1的三次方、2的三次方、3的三次方，分母的每一组乘积都是首项$1×3×9$分别乘1的三次方、2的三次方、3的三次方；第二步分别给分子、分母提取公共的因数，将复杂的多组加法转化为公共因数乘相同的和的形式；第三步将分子分母中相同的和约掉，计算剩余的乘积即可得到结果，不需要直接计算大数的乘积，避免计算错误。
【解析】
解：先拆分化简分子：
$\begin{split}分子&=1×2×4 + 2×4×8 + 3×6×12\\&=1×2×4×1 + (1×2)×(2×2)×(4×2) + (1×3)×(2×3)×(4×3)\\&=1×2×4×1 + 1×2×4×2^3 + 1×2×4×3^3\\&=1×2×4×(1+2^3+3^3)\end{split}$
再拆分化简分母：
$\begin{split}分母&=1×3×9 + 2×6×18 + 3×9×27\\&=1×3×9×1 + (1×2)×(3×2)×(9×2) + (1×3)×(3×3)×(9×3)\\&=1×3×9×1 + 1×3×9×2^3 + 1×3×9×3^3\\&=1×3×9×(1+2^3+3^3)\end{split}$
代入原式约分计算：
$\begin{split}原式&=\frac{1×2×4×(1+2^3+3^3)}{1×3×9×(1+2^3+3^3)}\\&=\frac{1×2×4}{1×3×9}\\&=\frac{8}{27}\end{split}$
【答案】
$\frac{8}{27}$
【知识点】
提取公因数，分数约分，简便计算
【点评】
本题是分数巧算的典型题型，核心考查对算式结构的观察能力，只要找准分子、分母各项的共同规律，提取公共因数后约分，就能快速得出结果，能很好地锻炼简便计算的思维。
【难度系数】
0.7
你来练 计算：$\dfrac{1× 2 + 2× 4 + 3× 6 + 4× 8 + 5× 10}{2× 3 + 4× 6 + 6× 9 + 8× 12 + 10× 15}$。
答案
$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题时先观察分子、分母的对应项特征，避免硬算：首先逐一对比分子和分母位置对应的每一组乘法算式，可发现分母的每一项都是对应分子项的3倍；再根据乘法分配律的逆运算，可得出分母的总和是分子总和的3倍；最后通过约分即可快速算出结果。
【解析】
我们先验证对应项的倍数关系：
分母第1项：$2×3 = 3×(1×2)$，是分子第1项的3倍
分母第2项：$4×6 = 3×(2×4)$，是分子第2项的3倍
分母第3项：$6×9 = 3×(3×6)$，是分子第3项的3倍
分母第4项：$8×12 = 3×(4×8)$，是分子第4项的3倍
分母第5项：$10×15 = 3×(5×10)$，是分子第5项的3倍
因此分母的总和可以改写为：
$2×3 + 4×6 + 6×9 + 8×12 + 10×15 = 3×(1×2 + 2×4 + 3×6 + 4×8 + 5×10)$
代入原式可得：
$\mathrm{原式}=\dfrac{1× 2 + 2× 4 + 3× 6 + 4× 8 + 5× 10}{3×(1× 2 + 2× 4 + 3× 6 + 4× 8 + 5× 10)}$
分子分母的相同部分不为0，可直接约分，得到结果为$\dfrac{1}{3}$。
（也可通过逐项求和验证：分子总和为$2+8+18+32+50=110$，分母总和为$6+24+54+96+150=330$，$110÷330=\dfrac{1}{3}$）
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分数约分、乘法分配律、简便运算
【点评】
本题属于分数简便运算类题型，核心是通过观察算式规律简化计算，避免了逐项硬算的繁琐，能有效锻炼学生的观察能力和简便运算思维。
【难度系数】
0.7
解题时先观察分子、分母的对应项特征，避免硬算：首先逐一对比分子和分母位置对应的每一组乘法算式，可发现分母的每一项都是对应分子项的3倍；再根据乘法分配律的逆运算，可得出分母的总和是分子总和的3倍；最后通过约分即可快速算出结果。
【解析】
我们先验证对应项的倍数关系：
分母第1项：$2×3 = 3×(1×2)$，是分子第1项的3倍
分母第2项：$4×6 = 3×(2×4)$，是分子第2项的3倍
分母第3项：$6×9 = 3×(3×6)$，是分子第3项的3倍
分母第4项：$8×12 = 3×(4×8)$，是分子第4项的3倍
分母第5项：$10×15 = 3×(5×10)$，是分子第5项的3倍
因此分母的总和可以改写为：
$2×3 + 4×6 + 6×9 + 8×12 + 10×15 = 3×(1×2 + 2×4 + 3×6 + 4×8 + 5×10)$
代入原式可得：
$\mathrm{原式}=\dfrac{1× 2 + 2× 4 + 3× 6 + 4× 8 + 5× 10}{3×(1× 2 + 2× 4 + 3× 6 + 4× 8 + 5× 10)}$
分子分母的相同部分不为0，可直接约分，得到结果为$\dfrac{1}{3}$。
（也可通过逐项求和验证：分子总和为$2+8+18+32+50=110$，分母总和为$6+24+54+96+150=330$，$110÷330=\dfrac{1}{3}$）
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分数约分、乘法分配律、简便运算
【点评】
本题属于分数简便运算类题型，核心是通过观察算式规律简化计算，避免了逐项硬算的繁琐，能有效锻炼学生的观察能力和简便运算思维。
【难度系数】
0.7
