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1. 估计 $\sqrt{40}$ 的值在(
A.4 和 5 之间
B.5 和 6 之间
C.6 和 7 之间
D.7 和 8 之间
C
)。A.4 和 5 之间
B.5 和 6 之间
C.6 和 7 之间
D.7 和 8 之间
答案
C
解析
因为 $6^2 = 36$，$7^2 = 49$，且 $36 ＜ 40 ＜ 49$，所以 $\sqrt{36} ＜ \sqrt{40} ＜ \sqrt{49}$，即 $6 ＜ \sqrt{40} ＜ 7$。
C
C
2. 估计 $\sqrt{7}+1$ 的值(
A.在 1 和 2 之间
B.在 2 和 3 之间
C.在 3 和 4 之间
D.在 4 和 5 之间
C
)。A.在 1 和 2 之间
B.在 2 和 3 之间
C.在 3 和 4 之间
D.在 4 和 5 之间
答案
C
解析
因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，则$2 + 1＜\sqrt{7}+1＜3 + 1$，$3＜\sqrt{7}+1＜4$，所以$\sqrt{7}+1$的值在3和4之间。
C
C
3. 估计 $\sqrt{41}-2$ 的值(
A.在 4 和 5 之间
B.在 3 和 4 之间
C.在 2 和 3 之间
D.在 1 和 2 之间
A
)。A.在 4 和 5 之间
B.在 3 和 4 之间
C.在 2 和 3 之间
D.在 1 和 2 之间
答案
A
解析
因为 $36 ＜ 41 ＜ 49$，所以 $\sqrt{36} ＜ \sqrt{41} ＜ \sqrt{49}$，即 $6 ＜ \sqrt{41} ＜ 7$。
不等式两边同时减 2，得 $6 - 2 ＜ \sqrt{41} - 2 ＜ 7 - 2$，即 $4 ＜ \sqrt{41} - 2 ＜ 5$。
所以 $\sqrt{41} - 2$ 的值在 4 和 5 之间。
A
不等式两边同时减 2，得 $6 - 2 ＜ \sqrt{41} - 2 ＜ 7 - 2$，即 $4 ＜ \sqrt{41} - 2 ＜ 5$。
所以 $\sqrt{41} - 2$ 的值在 4 和 5 之间。
A
4. 已知 $a= \sqrt{(-1.4)^{2}}$,$b= \sqrt{2}$,$c= \sqrt[3]{3}$,则 $a$,$b$,$c$ 的大小关系是(
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＞ c ＞ a$
C.$a ＞ c ＞ b$
D.$c ＞ a ＞ b$
A
)。A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＞ c ＞ a$
C.$a ＞ c ＞ b$
D.$c ＞ a ＞ b$
答案
A
解析
$a=\sqrt{(-1.4)^2}=1.4$，$b=\sqrt{2}\approx1.414$，$c=\sqrt[3]{3}\approx1.442$，因为$1.4＜1.414＜1.442$，所以$a＜b＜c$。A
5. 比较大小：3
＜
$2\sqrt{3}$。答案
＜
解析
$3 = \sqrt{9}$，$2\sqrt{3} = \sqrt{12}$，因为$\sqrt{9} ＜ \sqrt{12}$，所以$3 ＜ 2\sqrt{3}$。
＜
＜
6. 比较大小：$-2\sqrt{3}$
＞
$-3\sqrt{2}$。答案
＞
解析
比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值。
$\vert -2\sqrt{3}\vert = 2\sqrt{3}$，$\vert -3\sqrt{2}\vert = 3\sqrt{2}$。
$(2\sqrt{3})^2 = 4×3 = 12$，$(3\sqrt{2})^2 = 9×2 = 18$。
因为$12 ＜ 18$，所以$2\sqrt{3} ＜ 3\sqrt{2}$。
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-2\sqrt{3} ＞ -3\sqrt{2}$。
＞
$\vert -2\sqrt{3}\vert = 2\sqrt{3}$，$\vert -3\sqrt{2}\vert = 3\sqrt{2}$。
$(2\sqrt{3})^2 = 4×3 = 12$，$(3\sqrt{2})^2 = 9×2 = 18$。
因为$12 ＜ 18$，所以$2\sqrt{3} ＜ 3\sqrt{2}$。
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-2\sqrt{3} ＞ -3\sqrt{2}$。
＞
7. 比较大小：$-\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
＜
$-\frac{1}{2}$。答案
＜
解析
$\because \sqrt{5} ＞ 2$，$\therefore \sqrt{5} - 1 ＞ 1$，$\therefore \frac{\sqrt{5} - 1}{2} ＞ \frac{1}{2}$，$\therefore -\frac{\sqrt{5} - 1}{2} ＜ -\frac{1}{2}$
＜
＜
8. 已知 $m$,$n$ 为两个连续的整数,且 $m＜\sqrt{13}＜n$,则 $\sqrt[3]{mn}=$
$\sqrt[3]{12}$
。答案
$\sqrt[3]{12}$
解析
因为 $9 ＜ 13 ＜ 16$，所以 $\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即 $3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$。
因为 $m$，$n$ 为两个连续的整数，且 $m ＜ \sqrt{13} ＜ n$，所以 $m = 3$，$n = 4$。
则 $mn = 3×4 = 12$，所以 $\sqrt[3]{mn} = \sqrt[3]{12}$。
$\sqrt[3]{12}$
因为 $m$，$n$ 为两个连续的整数，且 $m ＜ \sqrt{13} ＜ n$，所以 $m = 3$，$n = 4$。
则 $mn = 3×4 = 12$，所以 $\sqrt[3]{mn} = \sqrt[3]{12}$。
$\sqrt[3]{12}$
9. 若将三个数 $-\sqrt{3}$,$\sqrt{8}$,$\sqrt{10}$ 表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是
$\sqrt{8}$
。答案
$\sqrt{8}$
10. 分别比较下列两个数的大小：
(1) $\frac{\sqrt{10}-1}{5}$ 与 $\frac{2}{5}$；
(2) $\sqrt{15}$ 和 3.8。
(1) $\frac{\sqrt{10}-1}{5}$ 与 $\frac{2}{5}$；
(2) $\sqrt{15}$ 和 3.8。
答案
解：（1）因为$\sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，所以$\sqrt{10}-1＞3-1=2$，所以$\frac{\sqrt{10}-1}{5}＞\frac{2}{5}$。（2）因为$(\sqrt{15})^2=15$，$3.8^2=14.44$，$15＞14.44$，所以$\sqrt{15}＞3.8$。
11. 分别写出所有符合下列条件的数：
(1) 大于 $-\sqrt{17}$ 小于 $\sqrt{11}$ 的所有整数；
(2) 绝对值小于 $\sqrt{19}$ 的所有整数。
(1) 大于 $-\sqrt{17}$ 小于 $\sqrt{11}$ 的所有整数；
(2) 绝对值小于 $\sqrt{19}$ 的所有整数。
答案
解：（1）因为$-5＜-\sqrt{17}＜-4$，$3＜\sqrt{11}＜4$，所以大于$-\sqrt{17}$小于$\sqrt{11}$的整数有$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，0，1，2，3。（2）因为$4＜\sqrt{19}＜5$，所以绝对值小于$\sqrt{19}$的整数有$\pm4$，$\pm3$，$\pm2$，$\pm1$，0。
12. 先阅读理解,再回答问题：
因为 $\sqrt{1^{2}+1}= \sqrt{2}$,且 $1＜\sqrt{2}＜2$,所以 $\sqrt{1^{2}+1}$ 的整数部分是 1；
因为 $\sqrt{2^{2}+2}= \sqrt{6}$,且 $2＜\sqrt{6}＜3$,所以 $\sqrt{2^{2}+2}$ 的整数部分是 2；
因为 $\sqrt{3^{2}+3}= \sqrt{12}$,且 $3＜\sqrt{12}＜4$,所以 $\sqrt{3^{2}+3}$ 的整数部分是 3；
……
以此类推,发现 $\sqrt{n^{2}+n}$($n$ 为正整数)的整数部分是
因为 $\sqrt{1^{2}+1}= \sqrt{2}$,且 $1＜\sqrt{2}＜2$,所以 $\sqrt{1^{2}+1}$ 的整数部分是 1；
因为 $\sqrt{2^{2}+2}= \sqrt{6}$,且 $2＜\sqrt{6}＜3$,所以 $\sqrt{2^{2}+2}$ 的整数部分是 2；
因为 $\sqrt{3^{2}+3}= \sqrt{12}$,且 $3＜\sqrt{12}＜4$,所以 $\sqrt{3^{2}+3}$ 的整数部分是 3；
……
以此类推,发现 $\sqrt{n^{2}+n}$($n$ 为正整数)的整数部分是
$n$
,请说明理由。解：$n$。理由如下：因为$n^2＜n^2+n＜n^2+2n+1$，即$n^2＜n^2+n＜(n+1)^2$，所以$\sqrt{n^2}＜\sqrt{n^2+n}＜\sqrt{(n+1)^2}$，即$n＜\sqrt{n^2+n}＜n+1$。所以$\sqrt{n^2+n}$的整数部分是$n$。
答案
解：$n$。理由如下：因为$n^2＜n^2+n＜n^2+2n+1$，即$n^2＜n^2+n＜(n+1)^2$，所以$\sqrt{n^2}＜\sqrt{n^2+n}＜\sqrt{(n+1)^2}$，即$n＜\sqrt{n^2+n}＜n+1$。所以$\sqrt{n^2+n}$的整数部分是$n$。
