登录
13. 阅读与探究：我们学习了平方根和立方根,下表是平方根和立方根的部分内容。
| | 平方根 | 立方根 |
| 定义 | 一般地,如果一个数的平方等于 $ a $,那么这个数叫作 $ a $ 的平方根或二次方根。这就是说,如果 $ x^{2}= a $,那么 $ x $ 叫作 $ a $ 的平方根 | 一般地,如果一个数的立方等于 $ a $,那么这个数叫作 $ a $ 的立方根或三次方根。这就是说,如果 $ x^{3}= a $,那么 $ x $ 叫作 $ a $ 的立方根 |
| 运算 | 求一个数 $ a $ 的平方根的运算,叫作开平方。开平方与平方互为逆运算 | 求一个数 $ a $ 的立方根的运算,叫作开立方。开立方与立方互为逆运算 |
| 特征 | 正数有两个平方根,它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根 | 正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数 |
| 表示与读法 | 正数 $ a $ 的平方根可以用“$\pm\sqrt{a}$”表示,读作“正、负根号 $ a $” | 一个数 $ a $ 的立方根可以用“$\sqrt[3]{a}$”表示,读作“三次根号 $ a $” |
我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根。
(1) 填表与定义
① 填表：
| $ x^{4} $ | 1 | 16 |
| $ x $ | $\pm1$ |
② 结合上述①中表格情况,类比平方根和立方根的定义,给四次方根下定义：
(2) 思考与归纳
求一个数 $ a $ 的四次方根的运算叫作开四次方。开四次方和四次方互为逆运算。
① 探究：
81 的四次方根是
② 归纳：
根据上述①中的情况,类比平方根和立方根的特征,归纳四次方根的特征：
| | 平方根 | 立方根 |
| 定义 | 一般地,如果一个数的平方等于 $ a $,那么这个数叫作 $ a $ 的平方根或二次方根。这就是说,如果 $ x^{2}= a $,那么 $ x $ 叫作 $ a $ 的平方根 | 一般地,如果一个数的立方等于 $ a $,那么这个数叫作 $ a $ 的立方根或三次方根。这就是说,如果 $ x^{3}= a $,那么 $ x $ 叫作 $ a $ 的立方根 |
| 运算 | 求一个数 $ a $ 的平方根的运算,叫作开平方。开平方与平方互为逆运算 | 求一个数 $ a $ 的立方根的运算,叫作开立方。开立方与立方互为逆运算 |
| 特征 | 正数有两个平方根,它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根 | 正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数 |
| 表示与读法 | 正数 $ a $ 的平方根可以用“$\pm\sqrt{a}$”表示,读作“正、负根号 $ a $” | 一个数 $ a $ 的立方根可以用“$\sqrt[3]{a}$”表示,读作“三次根号 $ a $” |
我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根。
(1) 填表与定义
① 填表：
| $ x^{4} $ | 1 | 16 |
| $ x $ | $\pm1$ |
±2
|② 结合上述①中表格情况,类比平方根和立方根的定义,给四次方根下定义：
一般地，如果一个数的四次方等于$a$，那么这个数叫作$a$的四次方根。这就是说，如果$x^4=a$，那么$x$叫作$a$的四次方根
。(2) 思考与归纳
求一个数 $ a $ 的四次方根的运算叫作开四次方。开四次方和四次方互为逆运算。
① 探究：
81 的四次方根是
±3
；$\frac{16}{81}$的四次方根是 ±$\dfrac{2}{3}$
；0 的四次方根是 0
；-4 没有
(填“有”或“没有”)四次方根。② 归纳：
根据上述①中的情况,类比平方根和立方根的特征,归纳四次方根的特征：
正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根
。答案
解：（1）① ±2② 一般地，如果一个数的四次方等于$a$，那么这个数叫作$a$的四次方根。这就是说，如果$x^4=a$，那么$x$叫作$a$的四次方根（2）① ±3 ±$\dfrac{2}{3}$ 0 没有② 正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根
