登录
【例2】已知抛物线$y = a(x - h)^{2}$的对称轴为直线$x = -2$，且过点$(1,-3)$.
（1）求该抛物线对应的函数解析式.
（2）该抛物线是由抛物线$y = ax^{2}$经过怎样的平移得到的？
（3）当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？当$x$取何值时，函数取得最大（或最小）值？
解：
（1）求该抛物线对应的函数解析式.
（2）该抛物线是由抛物线$y = ax^{2}$经过怎样的平移得到的？
（3）当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？当$x$取何值时，函数取得最大（或最小）值？
解：
答案
（1）$y=-\frac {1}{3}(x + 2)^{2}.$
（2）根据抛物线的平移规律，得抛物线$y=-\frac {1}{3}(x + 2)^{2}$是由抛物线$y=-\frac {1}{3}x^{2}$向左平移2个单位长度得到的.
（3）因为$a＜0$，所以抛物线的开口向下，在对称轴的右侧，图象从左到右下降，即当$x＞-2$时，y随x的增大而减小.当$x=-2$时，函数取得最大值.
（2）根据抛物线的平移规律，得抛物线$y=-\frac {1}{3}(x + 2)^{2}$是由抛物线$y=-\frac {1}{3}x^{2}$向左平移2个单位长度得到的.
（3）因为$a＜0$，所以抛物线的开口向下，在对称轴的右侧，图象从左到右下降，即当$x＞-2$时，y随x的增大而减小.当$x=-2$时，函数取得最大值.
3. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为$x = -2$的是(
A.$y = (x + 2)^{2}$
B.$y = 2x^{2}-2$
C.$y = -2x^{2}-2$
D.$y = 2(x - 2)^{2}$
A
)A.$y = (x + 2)^{2}$
B.$y = 2x^{2}-2$
C.$y = -2x^{2}-2$
D.$y = 2(x - 2)^{2}$
答案
3.A
4. 抛物线$y = 3(x - 1)^{2}$不经过的象限是(
A.第一、第二象限
B.第二、第四象限
C.第三、第四象限
D.第二、第三象限
C
)A.第一、第二象限
B.第二、第四象限
C.第三、第四象限
D.第二、第三象限
答案
4.C
解析
抛物线$y = 3(x - 1)^{2}$的顶点坐标为$(1,0)$，开口向上。当$x ＞ 1$时，$y ＞ 0$，抛物线在第一象限；当$x = 1$时，$y = 0$；当$x ＜ 1$时，$y ＞ 0$，抛物线在第二象限。所以抛物线不经过第三、第四象限。
C
C
5. 已知抛物线$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^{2}$的图象上有三个点$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，$(x_{3},y_{3})$，且$x_{1}＞x_{2}＞x_{3}＞1$，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是
y₁＜y₂＜y₃
.答案
5.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
1. 在平面直角坐标系中，二次函数$y = a(x - h)^{2}(a\neq0)$的图象可能是(
A.
B.
C.
D.
D
)A.
B.
C.
D.
答案
1.D
解析
解：二次函数$y = a(x - h)^{2}(a\neq0)$的顶点坐标为$(h,0)$，其图象为抛物线，顶点在$x$轴上。
当$a＞0$时，抛物线开口向上；
当$a＜0$时，抛物线开口向下。
选项中只有D的图象顶点在$x$轴上且开口向上，符合条件。
D
当$a＞0$时，抛物线开口向上；
当$a＜0$时，抛物线开口向下。
选项中只有D的图象顶点在$x$轴上且开口向上，符合条件。
D
2. 把抛物线$y = ax^{2}+c$向上平移2个单位长度，得到抛物线$y = x^{2}$，则$a$，$c$的值分别为(
A.$1$，$2$
B.$1$，$-2$
C.$-1$，$2$
D.$-1$，$-2$
B
)A.$1$，$2$
B.$1$，$-2$
C.$-1$，$2$
D.$-1$，$-2$
答案
2.B
解析
抛物线平移规律：上加下减常数项。
原抛物线$y=ax^{2}+c$向上平移2个单位后为$y=ax^{2}+c+2$。
已知平移后抛物线为$y=x^{2}$，则$\begin{cases}a=1\\c+2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\c=-2\end{cases}$。
答案：B
原抛物线$y=ax^{2}+c$向上平移2个单位后为$y=ax^{2}+c+2$。
已知平移后抛物线为$y=x^{2}$，则$\begin{cases}a=1\\c+2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\c=-2\end{cases}$。
答案：B
3. (上海中考)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-1)$，那么这个二次函数的解析式可以是
y=x²-1
(只需写一个).答案
3.$y=x^{2}-1$(答案不唯一)
4. 已知抛物线$y = 3(x + 3)^{2}$与$y = 3(x - 3)^{2}$，下列说法正确的是
①形状相同，开口方向相反；
②对称轴关于$y$轴对称；
③顶点关于$y$轴对称；
④两个抛物线关于$y$轴对称.
②③④
.①形状相同，开口方向相反；
②对称轴关于$y$轴对称；
③顶点关于$y$轴对称；
④两个抛物线关于$y$轴对称.
答案
4.②③④
1. (广西崇左中考)对于函数$y = -2(x - m)^{2}$的图象，下列说法不正确的是(
A.开口向下
B.对称轴是直线$x = m$
C.最大值为0
D.与$y$轴不相交
D
)A.开口向下
B.对称轴是直线$x = m$
C.最大值为0
D.与$y$轴不相交
答案
1.D
解析
A. 因为二次项系数为$-2\lt0$，所以开口向下，正确；
B. 函数$y = -2(x - m)^{2}$的对称轴是直线$x = m$，正确；
C. 因为开口向下，所以函数有最大值，当$x = m$时，$y = 0$，最大值为$0$，正确；
D. 当$x = 0$时，$y=-2(0 - m)^{2}=-2m^{2}$，所以与$y$轴交于点$(0,-2m^{2})$，相交，不正确。
D
B. 函数$y = -2(x - m)^{2}$的对称轴是直线$x = m$，正确；
C. 因为开口向下，所以函数有最大值，当$x = m$时，$y = 0$，最大值为$0$，正确；
D. 当$x = 0$时，$y=-2(0 - m)^{2}=-2m^{2}$，所以与$y$轴交于点$(0,-2m^{2})$，相交，不正确。
D
2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y = -mx + n^{2}$与二次函数$y = x^{2}+m$的图象可能是(
A.
B.
C.
D.
D
)A.
B.
C.
D.
答案
2.D
解析
解：二次函数$y = x^{2}+m$，开口向上，排除B；
抛物线顶点为$(0,m)$，当$m ＜ 0$时，顶点在$y$轴负半轴；当$m ＞ 0$时，顶点在$y$轴正半轴。
一次函数$y=-mx + n^{2}$，$n^{2}\geq0$，与$y$轴交点$(0,n^{2})$在$y$轴非负半轴，排除A。
若$m ＜ 0$，抛物线顶点在$y$轴负半轴，一次函数$y=-mx + n^{2}$中$-m ＞ 0$，斜率为正，排除C；
若$m ＞ 0$，抛物线顶点在$y$轴正半轴，一次函数$y=-mx + n^{2}$中$-m ＜ 0$，斜率为负，D符合。
结论：D
抛物线顶点为$(0,m)$，当$m ＜ 0$时，顶点在$y$轴负半轴；当$m ＞ 0$时，顶点在$y$轴正半轴。
一次函数$y=-mx + n^{2}$，$n^{2}\geq0$，与$y$轴交点$(0,n^{2})$在$y$轴非负半轴，排除A。
若$m ＜ 0$，抛物线顶点在$y$轴负半轴，一次函数$y=-mx + n^{2}$中$-m ＞ 0$，斜率为正，排除C；
若$m ＞ 0$，抛物线顶点在$y$轴正半轴，一次函数$y=-mx + n^{2}$中$-m ＜ 0$，斜率为负，D符合。
结论：D
