3. 如果二次函数$y = (a - 1)(x + a)^{a^{2}-1}$有最大值，那么当$x = $$$时，函数取得最大值，最大值是.

3.$\sqrt {3}$ 0

要使函数$y = (a - 1)(x + a)^{a^{2}-1}$为二次函数，则需满足：
1. 指数$a^{2}-1 = 2$，解得$a = \pm\sqrt{3}$；
2. 二次项系数$a - 1 \neq 0$，即$a \neq 1$，$a = \pm\sqrt{3}$均满足。
因为函数有最大值，所以二次项系数$a - 1 ＜ 0$，即$a ＜ 1$。
当$a = \sqrt{3}$时，$\sqrt{3} \approx 1.732 ＞ 1$，不满足；
当$a = -\sqrt{3}$时，$-\sqrt{3} \approx -1.732 ＜ 1$，满足。
此时函数为$y = (-\sqrt{3} - 1)(x - \sqrt{3})^{2}$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(\sqrt{3}, 0)$，所以当$x = \sqrt{3}$时，函数取得最大值，最大值是$0$。
$\sqrt{3}$；$0$

4. (湖南衡阳中考)已知函数$y = -(x - 1)^{2}$的图象上两点$A(2,y_{1})$，$B(a,y_{2})$，其中$a＞2$，则$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系是$y_{1}$$y_{2}$(填“$＜$”“$＞$”或“$=$”).

4.＞

5. 已知抛物线$y = a(x - h)^{2}$向左平移2个单位长度后，所得抛物线对应的函数解析式为$y = -2(x + 5)^{2}$，则$a = $$$，$h = $$$.

5.-2 -3

抛物线$y = a(x - h)^{2}$向左平移2个单位长度后，根据平移规律“左加右减”，所得抛物线的解析式为$y = a(x - h + 2)^{2}$。已知平移后抛物线为$y = -2(x + 5)^{2}$，所以$a = -2$，且$-h + 2 = 5$，解得$h = -3$。
$a = -2$，$h = -3$

6. 若二次函数$y = ax^{2}+c$，当$x$取$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$时，函数值相等，则当$x$取$x_{1}+x_{2}$时，函数值为()

A.$a + c$
B.$a - c$
C.$-c$
D.$c$

6.D

解：因为二次函数$y = ax^{2}+c$的对称轴为$x=0$，当$x$取$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$时函数值相等，所以$x_{1}$，$x_{2}$关于对称轴对称，即$x_{1}=-x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=0$。当$x=0$时，$y=a×0^{2}+c = c$。
D

7. (浙江丽水中考)将函数$y = x^{2}$的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点$A(1,4)$的方法是()

A.向左平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移1个单位长度

7.D

A.向左平移1个单位长度，得$y=(x+1)^{2}$.当$x=1$时，$y=(1+1)^{2}=4$，经过点$A$.
B.向右平移3个单位长度，得$y=(x-3)^{2}$.当$x=1$时，$y=(1-3)^{2}=4$，经过点$A$.
C.向上平移3个单位长度，得$y=x^{2}+3$.当$x=1$时，$y=1+3=4$，经过点$A$.
D.向下平移1个单位长度，得$y=x^{2}-1$.当$x=1$时，$y=1-1=0≠4$，不经过点$A$.
D

8. 在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+3$与$y$轴交于点$A$，过点$A$与$x$轴平行的直线交抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}$于点$B$，$C$，则$BC$的长为.

8.6

解：对于抛物线$y = ax^{2}+3$，令$x=0$，得$y=3$，所以点$A(0,3)$。
过点$A$与$x$轴平行的直线为$y=3$。
联立$\begin{cases}y=3\\y = \frac{1}{3}x^{2}\end{cases}$，得$\frac{1}{3}x^{2}=3$，即$x^{2}=9$，解得$x=\pm3$。
所以点$B(-3,3)$，$C(3,3)$，则$BC=|3 - (-3)|=6$。
6

9. 已知抛物线$y = 2x^{2}+n$与直线$y = 2x - 1$交于点$(m,3)$.
（1）求$m$和$n$的值.
（2）求抛物线$y = 2x^{2}+n$的顶点坐标和对称轴.
（3）对于二次函数$y = 2x^{2}+n$，当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？
（4）抛物线$y = 2x^{2}+n$与直线$y = 2x - 1$还有其他交点吗？若有，请求出来；若没有，说明理由.

9.（1）$m=2,n=-5.$
（2）因为$n=-5$，所以抛物线$y=2x^{2}-5$的顶点坐标是$(0,-5)$，对称轴是y轴.
（3）当$x＜0$时，y随x的增大而减小.
（4）抛物线$y=2x^{2}+n$与直线$y=2x-1$还有其他交点，为$(-1,-3).$

10. 如图22.1.3-1所示，已知二次函数图象的顶点在原点$O$，且经过点$(1,\frac{1}{4})$，点$F$的坐标为$(0,1)$.
（1）直接写出二次函数的解析式；
（2）点$P$是（1）中图象上的点，过点$P$作$x$轴的垂线与直线$y = -1$交于点$M$，求证：$FM$平分$\angle OFP$；
（3）当$\triangle FPM$是等边三角形时，请直接写出点$P$的坐标.

10.（1）$y=\frac {1}{4}x^{2}.$
（2）证明：如答图22.1.3 - 1所示，过点P作$PB⊥y$轴于点B.
因为点P在抛物线$y=\frac {1}{4}x^{2}$上，
所以可设点P的坐标为$(x,\frac {1}{4}x^{2}),$
则$BF=|\frac {1}{4}x^{2}-1|,PB=|x|,$
所以在$Rt△BPF$中，
$PF=\sqrt {(\frac {1}{4}x^{2}-1)^{2}+x^{2}}=\frac {1}{4}x^{2}+1.$
因为$PM⊥x$轴，直线$y=-1$平行于x轴，所以PM垂直于直线$y=-1$，所以$PM=\frac {1}{4}x^{2}+1,$
所以$PF=PM$，所以$∠PFM=∠PMF.$
又因为$PM// y$轴，
所以$∠MFO=∠PMF,$
所以$∠PFM=∠MFO,$
所以FM平分$∠OFP.$
（3）$(2\sqrt {3},3)$或$(-2\sqrt {3},3).$