1. 如图,$\angle AOB= 45^\circ$,射线$OM从OA$出发,以每秒$5^\circ的速度在\angle AOB内部绕O$点逆时针旋转,若$\angle AOM和\angle BOM$中,有一个角是另一个角的2倍,则运动时间为______秒。

3或6

设运动时间为$ t $秒，则$ \angle AOM = 5^\circ t $，$ \angle BOM = 45^\circ - 5^\circ t $。
情况一：$ \angle AOM = 2 \angle BOM $
$ 5t = 2(45 - 5t) $
$ 5t = 90 - 10t $
$ 15t = 90 $
$ t = 6 $
情况二：$ \angle BOM = 2 \angle AOM $
$ 45 - 5t = 2 × 5t $
$ 45 - 5t = 10t $
$ 15t = 45 $
$ t = 3 $
3或6

2. 如图,点$A$,$O$,$B都在直线MN$上,射线$OA绕点O按顺时针方向以每秒4^\circ$的速度旋转,同时射线$OB绕点O按逆时针方向以每秒6^\circ$的速度旋转(当其中一条射线与直线$MN$叠合时,两条射线停止旋转),则经过______秒,$\angle AOB的大小恰好是60^\circ$。

12或24

设经过$ t $秒，$\angle AOB$的大小恰好是$60^\circ$。
初始时，$OA$，$OB$在直线$MN$上，$\angle AOB = 180^\circ$。$OA$顺时针旋转速度为每秒$4^\circ$，$OB$逆时针旋转速度为每秒$6^\circ$，则$t$秒后，$OA$转过的角度为$4t^\circ$，$OB$转过的角度为$6t^\circ$。
情况一：$OA$，$OB$未相遇前，$\angle AOB = 60^\circ$，此时$4t + 6t + 60 = 180$，解得$t = 12$。
情况二：$OA$，$OB$相遇后，$\angle AOB = 60^\circ$，此时$4t + 6t - 60 = 180$，解得$t = 24$。
当$t = 24$时，$OA$转过$4×24 = 96^\circ$，$OB$转过$6×24 = 144^\circ$，均未与直线$MN$叠合，符合题意。
综上，$t = 12$或$24$。
12或24

3. 张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上。如图1,$MN$是量角器的直径,点$O$是圆心,教鞭$OC与OM$重合,直角三角板的一个顶点放在点$O$处,一边$OB与ON$重合,$\angle AOB= 30^\circ$。如图2,现将教鞭$OC绕点O沿顺时针方向以每秒3^\circ$的速度旋转,同时将直角三角板绕点$O逆时针方向以每秒2^\circ$的速度旋转,当$OC与ON$重合时,三角板和教鞭$OC$同时停止运动。设旋转时间为$t$秒。

(1)在旋转过程中,求$\angle AON$的度数。(用含$t$的代数式表示)
(2)在旋转过程中,当$t$为何值时,$\angle AON= 90^\circ$?
(3)在旋转过程中,若射线$OC$,$OA$,$OB$中的两条射线组成的角(指大于$0^\circ而不超过180^\circ$的角)恰好被第三条射线平分,求出此时$t$的值。

(1)(30+2t)°；
(2)30；
(3)24秒或33秒或42秒