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【例2】【综合与实践】线段和角有很多相似之处,如都可以度量,都能进行大小比较等。小滨根据“角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”,研究了一个问题:
【操作发现】如图,射线$OT从OA$出发,绕着端点$O以每秒2^\circ$的速度逆时针旋转,回到$OA$位置时,停止旋转。当射线$OT$旋转24秒时到达$OB$位置,继续旋转30秒,到达$OC$位置,若$OD平分\angle BOC$,求$\angle AOD$的度数。
【特例研究】在上述条件下,若射线$OT从OC$出发,继续旋转$m$秒,问是否存在$m$,使得$\angle BOT= 90^\circ$?若存在,求出$m$的值;若不存在,请说明理由。
【操作发现】如图,射线$OT从OA$出发,绕着端点$O以每秒2^\circ$的速度逆时针旋转,回到$OA$位置时,停止旋转。当射线$OT$旋转24秒时到达$OB$位置,继续旋转30秒,到达$OC$位置,若$OD平分\angle BOC$,求$\angle AOD$的度数。
【特例研究】在上述条件下,若射线$OT从OC$出发,继续旋转$m$秒,问是否存在$m$,使得$\angle BOT= 90^\circ$?若存在,求出$m$的值;若不存在,请说明理由。
答案
[操作发现]78°；[特例研究]存在，m=15秒或105秒
解析
【操作发现】
射线OT的旋转速度为每秒$2^\circ$，旋转24秒到达OB位置，所以$\angle AOB = 2^\circ×24 = 48^\circ$。
从OB继续旋转30秒到达OC位置，所以$\angle BOC=2^\circ×30 = 60^\circ$。
因为OD平分$\angle BOC$，所以$\angle BOD=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}×60^\circ = 30^\circ$。
则$\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD = 48^\circ+30^\circ=78^\circ$。
【特例研究】
射线OT从OC出发继续旋转m秒，此时OT旋转的总角度为$\angle AOB+\angle BOC + 2^\circ× m=48^\circ + 60^\circ+2m^\circ=(108 + 2m)^\circ$，因为旋转一周为$360^\circ$，所以$\angle AOT=(108 + 2m)^\circ$（当$108 + 2m\leq360$时）。
$\angle BOT=\vert\angle AOT-\angle AOB\vert=\vert(108 + 2m)-48\vert^\circ=\vert60 + 2m\vert^\circ$。
令$\angle BOT = 90^\circ$，则$\vert60 + 2m\vert=90$。
当$60 + 2m=90$时，$2m=30$，解得$m = 15$。
当$60 + 2m=-90$时，$2m=-150$，解得$m=-75$（时间不能为负，舍去）。
又因为射线OT回到OA位置停止旋转，总旋转时间为$360÷2 = 180$秒，从OA到OC用时$24 + 30=54$秒，所以$m$的最大值为$180 - 54=126$秒。
当OT旋转超过一周时，$\angle AOT=(108 + 2m)^\circ-360^\circ=(2m - 252)^\circ$，则$\angle BOT=\vert(2m - 252)-48\vert^\circ=\vert2m - 300\vert^\circ$，令$\vert2m - 300\vert=90$。
当$2m - 300=90$时，$2m=390$，解得$m = 195$（超过总时间126秒，舍去）。
当$2m - 300=-90$时，$2m=210$，解得$m = 105$（$105\leq126$，符合题意）。
综上，$m = 15$秒或$m = 105$秒。
答案：【操作发现】$78^\circ$；【特例研究】存在，$m = 15$秒或$105$秒。
射线OT的旋转速度为每秒$2^\circ$，旋转24秒到达OB位置，所以$\angle AOB = 2^\circ×24 = 48^\circ$。
从OB继续旋转30秒到达OC位置，所以$\angle BOC=2^\circ×30 = 60^\circ$。
因为OD平分$\angle BOC$，所以$\angle BOD=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}×60^\circ = 30^\circ$。
则$\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD = 48^\circ+30^\circ=78^\circ$。
【特例研究】
射线OT从OC出发继续旋转m秒，此时OT旋转的总角度为$\angle AOB+\angle BOC + 2^\circ× m=48^\circ + 60^\circ+2m^\circ=(108 + 2m)^\circ$，因为旋转一周为$360^\circ$，所以$\angle AOT=(108 + 2m)^\circ$（当$108 + 2m\leq360$时）。
$\angle BOT=\vert\angle AOT-\angle AOB\vert=\vert(108 + 2m)-48\vert^\circ=\vert60 + 2m\vert^\circ$。
令$\angle BOT = 90^\circ$，则$\vert60 + 2m\vert=90$。
当$60 + 2m=90$时，$2m=30$，解得$m = 15$。
当$60 + 2m=-90$时，$2m=-150$，解得$m=-75$（时间不能为负，舍去）。
又因为射线OT回到OA位置停止旋转，总旋转时间为$360÷2 = 180$秒，从OA到OC用时$24 + 30=54$秒，所以$m$的最大值为$180 - 54=126$秒。
当OT旋转超过一周时，$\angle AOT=(108 + 2m)^\circ-360^\circ=(2m - 252)^\circ$，则$\angle BOT=\vert(2m - 252)-48\vert^\circ=\vert2m - 300\vert^\circ$，令$\vert2m - 300\vert=90$。
当$2m - 300=90$时，$2m=390$，解得$m = 195$（超过总时间126秒，舍去）。
当$2m - 300=-90$时，$2m=210$，解得$m = 105$（$105\leq126$，符合题意）。
综上，$m = 15$秒或$m = 105$秒。
答案：【操作发现】$78^\circ$；【特例研究】存在，$m = 15$秒或$105$秒。
【变式】如图1,将两块直角三角板(一块含有$30^\circ$,$60^\circ$角,另一块含$45^\circ$角)摆放在直线$MN$上,三角板$ODC绕点O以每秒15^\circ$的速度逆时针旋转。当$OD第一次与射线OM重合时三角板ODC$停止转动,设旋转时间为$t$秒。
(1)当$t= 2\ s$时,求$\angle BOC和\angle AOD$的度数。
(2)如图2,若两块三角板同时旋转,三角板$OAB以每秒20^\circ的速度绕点O$顺时针旋转,当$OA第一次与射线ON重合时三角板OAB$立即停止转动。用含$t的代数式表示射线OA和射线OD重合前\angle BOC和\angle AOD$的度数。
(1)当$t= 2\ s$时,求$\angle BOC和\angle AOD$的度数。(2)如图2,若两块三角板同时旋转,三角板$OAB以每秒20^\circ的速度绕点O$顺时针旋转,当$OA第一次与射线ON重合时三角板OAB$立即停止转动。用含$t的代数式表示射线OA和射线OD重合前\angle BOC和\angle AOD$的度数。
答案
(1)∠BOC=105°，∠AOD=120°；
(2)当0≤t≤27/7时，∠BOC=135°−35°t，∠AOD=150°−35°t；当27/7＜t＜30/7时，∠BOC=35°t−135°，∠AOD=150°−35°t
