小明遇到这样一个问题:如图①,在$△ ABC$中,$AB=7$,$AC=5$,$D$为$BC$的中点,求$AD$的取值范围.小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.他的做法是:如图②,延长$AD$到点$E$,使$DE=AD$,连接$BE$,构造$△ BED ≌ △ CAD$,经过推理和计算使问题得到解决.请回答:

(1)小明证明$△ BED ≌ △ CAD$用到的判定定理是;(用字母表示)
(2)请你帮助小明完成$AD$取值范围的计算;
(3)小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是中线延长一倍,完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图③,在$△ ABC$中,$AD$为边$BC$上的中线,且$AD$平分$∠ BAC$,求证$AB=AC$.

(1)SAS
(2)
∵ D 为 BC 的中点，
∴ BD=CD.
在△BED 和△CAD 中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDA, \\ ED=AD, \end{cases}$
∴ △BED ≌△CAD(SAS).
∴ EB=AC.
在△ABE 中,AB-BE＜AE＜AB+BE,
∴ AB-AC＜2AD＜AB+AC.
∴ 1＜AD＜6.
(3)如图,延长 AD 到点 E,使 DE=AD,连接 BE.

∵ AD 为边 BC 上的中线，
∴ BD=CD.
在△BED 和△CAD 中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDA, \\ ED=AD, \end{cases}$
∴ △BED ≌△CAD(SAS).
∴ ∠DEB=∠DAC,EB=AC.
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠DAC=∠DAB.
∴ ∠DEB=∠DAB.
∴ AB=EB.
∴ AB=AC.

【分析】
(1) 判定全等定理时，先整理已知条件：D是BC中点可得BD=CD，对顶角∠BDE=∠CDA，构造的DE=AD，满足两边及夹角对应相等，对应SAS判定定理。
(2) 求AD取值范围时，已知AB、AC长度，需将三条边转化到同一三角形中，通过倍长中线构造全等，把AC转化为BE，此时AE=2AD，再利用三角形三边关系列不等式，代入数值即可计算出AD的范围。
(3) 证明AB=AC时，依然采用倍长中线法构造全等，将AC转化为BE，结合AD是角平分线的条件，推导得到∠DEB=∠DAB，通过等角对等边得AB=BE，等量代换即可证得AB=AC。
【解析】
(1) 由已知的BD=CD，夹角∠BDE=∠CDA，ED=AD，可知判定定理为SAS。
(2)
∵ D为BC的中点，
∴ BD=CD.
在△BED和△CAD中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDA, \\ ED=AD, \end{cases}$
∴ △BED ≌△CAD(SAS).
∴ EB=AC.
在△ABE中，根据三角形三边关系有AB-BE＜AE＜AB+BE，
代入BE=AC，AE=2AD，AB=7，AC=5，得7-5＜2AD＜7+5，
∴ 1＜AD＜6.
(3) 延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。
∵ AD为边BC上的中线，
∴ BD=CD.
在△BED和△CAD中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDA, \\ ED=AD, \end{cases}$
∴ △BED ≌△CAD(SAS).
∴ ∠DEB=∠DAC，EB=AC.
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠DAC=∠DAB.
∴ ∠DEB=∠DAB.
∴ AB=EB.
∴ AB=AC.
【答案】
(1)SAS
(2)$1＜AD＜6$
(3)如图,延长 AD 到点 E,使 DE=AD,连接 BE.

∵ AD 为边 BC 上的中线，
∴ BD=CD.
在△BED 和△CAD 中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDA, \\ ED=AD, \end{cases}$
∴ △BED ≌△CAD(SAS).
∴ ∠DEB=∠DAC,EB=AC.
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠DAC=∠DAB.
∴ ∠DEB=∠DAB.
∴ AB=EB.
∴ AB=AC.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰三角形的判定
【点评】
本题重点考查倍长中线这一常用辅助线的应用，通过构造全等三角形实现边和角的转移，将分散的条件集中到同一个三角形中解决问题，是处理三角形中线相关问题的典型方法，要熟练掌握该辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7