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9. 如图,在等腰三角形ABC中,AB = AC,∠BAC=80°,AD⊥BC,AD=AB,连接BD并延长交AC的延长线于点E,求∠E的度数.
答案
$∠ E$ 的度数为 $30°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰△ABC出发，利用等腰三角形三线合一的性质，先求出∠BAD的度数；再结合AD=AB的条件，可知△ABD为等腰三角形，进而求出∠ABD的度数；最后在△ABE中，利用三角形内角和定理即可计算出∠E的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°，
又
∵ AD=AB，
∴ △ABD是等腰三角形，
∴ ∠ABD = ∠ADB = $\frac{180° - ∠BAD}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°，
在△ABE中，∠BAE=80°，∠ABE=70°，
由三角形内角和为180°可得：
∠E = 180° - ∠BAE - ∠ABE = 180° - 80° - 70° = 30°。
【答案】
$∠ E$的度数为$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题目，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合三角形内角和定理逐步推导所求角的度数，属于几何基础类常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰△ABC出发，利用等腰三角形三线合一的性质，先求出∠BAD的度数；再结合AD=AB的条件，可知△ABD为等腰三角形，进而求出∠ABD的度数；最后在△ABE中，利用三角形内角和定理即可计算出∠E的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°，
又
∵ AD=AB，
∴ △ABD是等腰三角形，
∴ ∠ABD = ∠ADB = $\frac{180° - ∠BAD}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°，
在△ABE中，∠BAE=80°，∠ABE=70°，
由三角形内角和为180°可得：
∠E = 180° - ∠BAE - ∠ABE = 180° - 80° - 70° = 30°。
【答案】
$∠ E$的度数为$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题目，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合三角形内角和定理逐步推导所求角的度数，属于几何基础类常考题。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.求证AO⊥BC. 
答案
延长 AO 交 BC 于点 D.
在$△ ABO$ 和$△ ACO$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\OB=OC,\\OA=OA,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ABO ≌ △ ACO(\mathrm{SSS}).$
$\therefore\ \ ∠ BAO= ∠ CAO ,即 ∠ BAD= ∠ CAD.$
$\because\ \ AB=AC,$
$\therefore\ \ AD ⊥ BC ,即 AO ⊥ BC.$
在$△ ABO$ 和$△ ACO$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\OB=OC,\\OA=OA,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ABO ≌ △ ACO(\mathrm{SSS}).$
$\therefore\ \ ∠ BAO= ∠ CAO ,即 ∠ BAD= ∠ CAD.$
$\because\ \ AB=AC,$
$\therefore\ \ AD ⊥ BC ,即 AO ⊥ BC.$
解析
【分析】
要证明$AO⊥ BC$，结合已知$AB=AC$可得$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$AO$是$∠ BAC$的角平分线即可。要证角相等，可通过证明$△ ABO$和$△ ACO$全等来实现，题中给出$AB=AC$、$OB=OC$，加上公共边$OA$，满足SSS全等判定条件，因此先添加辅助线延长$AO$交$BC$于点$D$，将$AO$与$BC$的位置关系关联起来，先证全等得角相等，再结合等腰三角形性质即可推出垂直。
【解析】
证明：延长 $AO$ 交 $BC$ 于点 $D$.
在$△ ABO$ 和$△ ACO$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\OB=OC,\\OA=OA,\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ ACO(\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ BAO= ∠ CAO$ ,即 $∠ BAD= ∠ CAD.$
$\because AB=AC,$
$\therefore AD ⊥ BC$ ,即 $AO ⊥ BC.$
【答案】
$AO⊥ BC$
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于等腰三角形相关证明的基础题型，重点考查全等三角形与等腰三角形性质的综合运用，解题的关键是合理构造辅助线，通过全等得到角平分线后结合三线合一推导垂直，能够帮助学生巩固等腰三角形的核心性质。
【难度系数】
0.7
要证明$AO⊥ BC$，结合已知$AB=AC$可得$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$AO$是$∠ BAC$的角平分线即可。要证角相等，可通过证明$△ ABO$和$△ ACO$全等来实现，题中给出$AB=AC$、$OB=OC$，加上公共边$OA$，满足SSS全等判定条件，因此先添加辅助线延长$AO$交$BC$于点$D$，将$AO$与$BC$的位置关系关联起来，先证全等得角相等，再结合等腰三角形性质即可推出垂直。
【解析】
证明：延长 $AO$ 交 $BC$ 于点 $D$.
在$△ ABO$ 和$△ ACO$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\OB=OC,\\OA=OA,\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ ACO(\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ BAO= ∠ CAO$ ,即 $∠ BAD= ∠ CAD.$
$\because AB=AC,$
$\therefore AD ⊥ BC$ ,即 $AO ⊥ BC.$
【答案】
$AO⊥ BC$
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于等腰三角形相关证明的基础题型，重点考查全等三角形与等腰三角形性质的综合运用，解题的关键是合理构造辅助线，通过全等得到角平分线后结合三线合一推导垂直，能够帮助学生巩固等腰三角形的核心性质。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=60°$,D,E分别是BC,AB上的动点,将$△ BDE$沿直线DE翻折,点B的对应点$B'$恰好落在AC边上.若$△ AEB'$是等腰三角形,求$∠ BEB'$的度数.
答案
$∠ BEB'$ 的度数为 $105°$或 $150°$或 $60°$.
解析
【分析】
首先根据直角三角形两锐角互余求出$∠ A=30°$，再结合折叠的性质得到$EB=EB'$，$∠ EB'D=∠ B=60°$。由于$△ AEB'$是等腰三角形，未明确腰和底，因此需要分三种情况讨论：①$AE=AB'$；②$AB'=B'E$；③$AE=B'E$，分别利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理求出$∠ AEB'$的度数，再根据平角的定义计算$∠ BEB'$的度数，验证结果符合点$B'$在$AC$边上的条件即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A=180°-∠ C-∠ B=30°$。
由折叠的性质可得：$EB=EB'$，$∠ EB'D=∠ B=60°$。
已知$△ AEB'$为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
1. 当$AE=AB'$时：
$∠ AEB'=∠ AB'E=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
$\therefore ∠ BEB'=180°-∠ AEB'=180°-75°=105°$；
2. 当$AB'=B'E$时：
$∠ AEB'=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ BEB'=180°-∠ AEB'=180°-30°=150°$；
3. 当$AE=B'E$时：
$∠ AB'E=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ AEB'=180°-∠ A-∠ AB'E=180°-30°-30°=120°$，
$\therefore ∠ BEB'=180°-∠ AEB'=180°-120°=60°$。
经检验，三种情况均满足点$B'$落在$AC$边上的条件，均成立。
【答案】
$105°$或$150°$或$60°$
【知识点】
等腰三角形的性质；折叠的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型分类讨论题，解题关键是明确等腰三角形未指定腰时需分三种情况讨论，结合折叠对应角相等的性质求解，注意不要漏解，同时要验证所得结果符合题目的位置限制条件。
【难度系数】
0.5
首先根据直角三角形两锐角互余求出$∠ A=30°$，再结合折叠的性质得到$EB=EB'$，$∠ EB'D=∠ B=60°$。由于$△ AEB'$是等腰三角形，未明确腰和底，因此需要分三种情况讨论：①$AE=AB'$；②$AB'=B'E$；③$AE=B'E$，分别利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理求出$∠ AEB'$的度数，再根据平角的定义计算$∠ BEB'$的度数，验证结果符合点$B'$在$AC$边上的条件即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A=180°-∠ C-∠ B=30°$。
由折叠的性质可得：$EB=EB'$，$∠ EB'D=∠ B=60°$。
已知$△ AEB'$为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
1. 当$AE=AB'$时：
$∠ AEB'=∠ AB'E=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
$\therefore ∠ BEB'=180°-∠ AEB'=180°-75°=105°$；
2. 当$AB'=B'E$时：
$∠ AEB'=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ BEB'=180°-∠ AEB'=180°-30°=150°$；
3. 当$AE=B'E$时：
$∠ AB'E=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ AEB'=180°-∠ A-∠ AB'E=180°-30°-30°=120°$，
$\therefore ∠ BEB'=180°-∠ AEB'=180°-120°=60°$。
经检验，三种情况均满足点$B'$落在$AC$边上的条件，均成立。
【答案】
$105°$或$150°$或$60°$
【知识点】
等腰三角形的性质；折叠的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型分类讨论题，解题关键是明确等腰三角形未指定腰时需分三种情况讨论，结合折叠对应角相等的性质求解，注意不要漏解，同时要验证所得结果符合题目的位置限制条件。
【难度系数】
0.5
