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2. 如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中$OA=OB$. 若剪刀张开的角为$30°$,则$∠ A=$
75
°.答案
75
解析
【分析】
首先将园林剪刀的实际模型抽象为几何图形：首先剪刀张开的30°角与∠AOB是对顶角，根据对顶角相等可得到∠AOB的度数；再由已知OA=OB可知△OAB是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，最后结合三角形内角和为180°，即可计算出底角∠A的度数。
【解析】
1. 由对顶角相等的性质，可得$∠ AOB=30°$；
2. 已知$OA=OB$，因此$△ OAB$为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，得$∠ A=∠ B$；
3. 根据三角形内角和为$180°$，有$∠ A+∠ B+∠ AOB=180°$，将$∠ B=∠ A$、$∠ AOB=30°$代入，得$2∠ A+30°=180°$；
4. 计算得$∠ A=(180°-30°)÷2=75°$。
【答案】
75
【知识点】
对顶角相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题以生活中常见的园林剪刀为背景，考查几何基本性质的应用，解题的关键是准确将实际问题转化为等腰三角形的几何模型，结合相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
首先将园林剪刀的实际模型抽象为几何图形：首先剪刀张开的30°角与∠AOB是对顶角，根据对顶角相等可得到∠AOB的度数；再由已知OA=OB可知△OAB是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，最后结合三角形内角和为180°，即可计算出底角∠A的度数。
【解析】
1. 由对顶角相等的性质，可得$∠ AOB=30°$；
2. 已知$OA=OB$，因此$△ OAB$为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，得$∠ A=∠ B$；
3. 根据三角形内角和为$180°$，有$∠ A+∠ B+∠ AOB=180°$，将$∠ B=∠ A$、$∠ AOB=30°$代入，得$2∠ A+30°=180°$；
4. 计算得$∠ A=(180°-30°)÷2=75°$。
【答案】
75
【知识点】
对顶角相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题以生活中常见的园林剪刀为背景，考查几何基本性质的应用，解题的关键是准确将实际问题转化为等腰三角形的几何模型，结合相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
3. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$AB=16$,用尺规作图作出$CF$,交$AB$于点$G$.若$CG=4$,则$△ ACG$的面积为 (
A.64
B.32
C.16
D.8
C
)A.64
B.32
C.16
D.8
答案
C
解析
【分析】
首先由AC=BC可知△ABC是等腰三角形，根据尺规作图的特征可判断CF是线段AB的垂直平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得CG垂直于AB，且G为AB的中点，先求出AG的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
由尺规作图的方法可知，CF为线段AB的垂直平分线，
根据等腰三角形三线合一的性质可得：CG⊥AB，AG=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=16，
∴AG=$\frac{1}{2}$×16=8，
又
∵CG=4，
∴$S_{△ ACG}=\frac{1}{2}×AG×CG=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.三角形面积计算
3.垂直平分线尺规作图
【点评】
本题属于基础题，考查等腰三角形性质与尺规作图的结合应用，解题的关键是准确识别尺规作图的产物，结合等腰三角形性质得到计算面积所需的底和高的长度。
【难度系数】
0.7
首先由AC=BC可知△ABC是等腰三角形，根据尺规作图的特征可判断CF是线段AB的垂直平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得CG垂直于AB，且G为AB的中点，先求出AG的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
由尺规作图的方法可知，CF为线段AB的垂直平分线，
根据等腰三角形三线合一的性质可得：CG⊥AB，AG=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=16，
∴AG=$\frac{1}{2}$×16=8，
又
∵CG=4，
∴$S_{△ ACG}=\frac{1}{2}×AG×CG=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.三角形面积计算
3.垂直平分线尺规作图
【点评】
本题属于基础题，考查等腰三角形性质与尺规作图的结合应用，解题的关键是准确识别尺规作图的产物，结合等腰三角形性质得到计算面积所需的底和高的长度。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角的平分线，若BC=10，则CD的长为（
A.10
B.6
C.5
D.3
C
）A.10
B.6
C.5
D.3
答案
C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC为等腰三角形，AD是它的顶角平分线，要求CD的长。首先回忆等腰三角形的核心性质“三线合一”：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。由此可推出AD同时是底边BC的中线，即点D是BC的中点，因此CD的长度为BC的一半，代入BC的数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AD是等腰△ABC的顶角平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是底边BC的中线，即D为BC的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC=10$，
∴$CD=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形三线合一性质的直接应用，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：△ABC为等腰三角形，AD是它的顶角平分线，要求CD的长。首先回忆等腰三角形的核心性质“三线合一”：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。由此可推出AD同时是底边BC的中线，即点D是BC的中点，因此CD的长度为BC的一半，代入BC的数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AD是等腰△ABC的顶角平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是底边BC的中线，即D为BC的中点，
∴$CD=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC=10$，
∴$CD=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形三线合一性质的直接应用，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,中线$AD$与角平分线$CE$相交于点$F$,已知$∠ ACB = 40°$,则$∠ AFE$的度数为 (
A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
B
)A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：△ABC是等腰三角形，AD是中线，CE是角平分线。第一步，根据等腰三角形三线合一的性质，由AD是等腰三角形的中线可得AD垂直BC，得到直角∠ADC；第二步，利用角平分线的定义，算出∠ECB的度数；第三步，在直角三角形DFC中根据直角三角形两锐角互余算出∠DFC的度数；最后根据对顶角相等即可得到∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$ 是等腰三角形，$∠ B=∠ ACB=40°$
∵ $AD$ 是等腰$△ ABC$的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得 $AD⊥ BC$，即 $∠ ADC=90°$
∵ $CE$ 是$∠ ACB$的角平分线，
∴ $∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$
在$\mathrm{Rt}△ DFC$中，直角三角形两锐角互余，因此 $∠ DFC=90°-∠ ECB=90°-20°=70°$
∵ $∠ AFE$ 与 $∠ DFC$ 是对顶角，对顶角相等，
∴ $∠ AFE=∠ DFC=70°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一，角平分线的定义，对顶角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质得到垂直关系，再结合角平分线、直角三角形的性质和对顶角相等求解，解题思路清晰，是等腰三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先提取题干关键信息：△ABC是等腰三角形，AD是中线，CE是角平分线。第一步，根据等腰三角形三线合一的性质，由AD是等腰三角形的中线可得AD垂直BC，得到直角∠ADC；第二步，利用角平分线的定义，算出∠ECB的度数；第三步，在直角三角形DFC中根据直角三角形两锐角互余算出∠DFC的度数；最后根据对顶角相等即可得到∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$ 是等腰三角形，$∠ B=∠ ACB=40°$
∵ $AD$ 是等腰$△ ABC$的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得 $AD⊥ BC$，即 $∠ ADC=90°$
∵ $CE$ 是$∠ ACB$的角平分线，
∴ $∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$
在$\mathrm{Rt}△ DFC$中，直角三角形两锐角互余，因此 $∠ DFC=90°-∠ ECB=90°-20°=70°$
∵ $∠ AFE$ 与 $∠ DFC$ 是对顶角，对顶角相等，
∴ $∠ AFE=∠ DFC=70°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一，角平分线的定义，对顶角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质得到垂直关系，再结合角平分线、直角三角形的性质和对顶角相等求解，解题思路清晰，是等腰三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且点B,
E,C在同一条直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是
(
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形的“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
E,C在同一条直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是
(
C
)A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形的“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
答案
C
解析
【分析】
解题时首先提取题目中的已知条件：①固定绳AB=AC，可推出△ABC是等腰三角形；②B、C到E的距离相等，即BE=CE，说明E是BC的中点，AE是等腰△ABC底边BC上的中线。要得到DE垂直BC的结论，对应等腰三角形中中线与高重合的性质，即可匹配到对应的定理选出答案。
【解析】
由题意得：AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为该等腰三角形的底边。
又已知BE=CE，即E为BC的中点，因此AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合，可得AE⊥BC，即DE⊥BC。
因此该操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形“三线合一”；等腰三角形的定义
【点评】
本题结合生活实际场景考查等腰三角形性质的应用，引导学生体会数学在实际生活中的实用价值，解题时只需从题干条件中抽象出等腰三角形、底边中点的核心信息，对应相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题目中的已知条件：①固定绳AB=AC，可推出△ABC是等腰三角形；②B、C到E的距离相等，即BE=CE，说明E是BC的中点，AE是等腰△ABC底边BC上的中线。要得到DE垂直BC的结论，对应等腰三角形中中线与高重合的性质，即可匹配到对应的定理选出答案。
【解析】
由题意得：AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为该等腰三角形的底边。
又已知BE=CE，即E为BC的中点，因此AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合，可得AE⊥BC，即DE⊥BC。
因此该操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形“三线合一”；等腰三角形的定义
【点评】
本题结合生活实际场景考查等腰三角形性质的应用，引导学生体会数学在实际生活中的实用价值，解题时只需从题干条件中抽象出等腰三角形、底边中点的核心信息，对应相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$于点$D$,且$AB+BC+AC=50\ \mathrm{cm}$,$AB+BD+AD=40\ \mathrm{cm}$,求$AD$的长. 
答案
$\because\ \ AB=AC,AD ⊥ BC,$
$\therefore\ \ BD=CD.$
$\therefore\ \ AB+BD=AC+CD.$
$\because\ \ AB+BC+AC=50,$
$\therefore\ \ AB+BD+CD+AC=50.$
$\therefore\ \ AB+BD=25.$
$\because\ \ AB+BD+AD=40,$
$\therefore\ \ 25+AD=40.$
$\therefore\ \ AD=15.$
答:AD 的长为 15 cm.
$\therefore\ \ BD=CD.$
$\therefore\ \ AB+BD=AC+CD.$
$\because\ \ AB+BC+AC=50,$
$\therefore\ \ AB+BD+CD+AC=50.$
$\therefore\ \ AB+BD=25.$
$\because\ \ AB+BD+AD=40,$
$\therefore\ \ 25+AD=40.$
$\therefore\ \ AD=15.$
答:AD 的长为 15 cm.
解析
【分析】
首先看到题目中△ABC是AB=AC的等腰三角形，且AD是底边BC上的高，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=CD。我们有两个周长已知的条件，不需要单独求解AB、BD的长度，可通过整体代换的思路：先利用BD=CD把△ABC的周长转化为2倍的(AB+BD)，求出AB+BD的整体值，再代入第二个已知的等式即可直接算出AD的长度。
【解析】
$\because\ \ AB=AC,AD ⊥ BC,$
$\therefore\ \ BD=CD$（等腰三角形底边上的高平分底边）。
$\therefore\ \ AB+BD=AC+CD.$
$\because\ \ AB+BC+AC=50\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ AB+BD+CD+AC=50\ \mathrm{cm},$即$2(AB+BD)=50\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ AB+BD=25\ \mathrm{cm}.$
$\because\ \ AB+BD+AD=40\ \mathrm{cm},$
将$AB+BD=25\ \mathrm{cm}$代入得：$25+AD=40,$
$\therefore\ \ AD=15\ \mathrm{cm}.$
【答案】
$15\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形三线合一、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质得到底边的等量关系，通过整体代换的方法避开求解单个未知量，简化了运算步骤。
【难度系数】
0.7
首先看到题目中△ABC是AB=AC的等腰三角形，且AD是底边BC上的高，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=CD。我们有两个周长已知的条件，不需要单独求解AB、BD的长度，可通过整体代换的思路：先利用BD=CD把△ABC的周长转化为2倍的(AB+BD)，求出AB+BD的整体值，再代入第二个已知的等式即可直接算出AD的长度。
【解析】
$\because\ \ AB=AC,AD ⊥ BC,$
$\therefore\ \ BD=CD$（等腰三角形底边上的高平分底边）。
$\therefore\ \ AB+BD=AC+CD.$
$\because\ \ AB+BC+AC=50\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ AB+BD+CD+AC=50\ \mathrm{cm},$即$2(AB+BD)=50\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ AB+BD=25\ \mathrm{cm}.$
$\because\ \ AB+BD+AD=40\ \mathrm{cm},$
将$AB+BD=25\ \mathrm{cm}$代入得：$25+AD=40,$
$\therefore\ \ AD=15\ \mathrm{cm}.$
【答案】
$15\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形三线合一、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质得到底边的等量关系，通过整体代换的方法避开求解单个未知量，简化了运算步骤。
【难度系数】
0.7
8. 如图,已知$AB=AC=AD$,且$AD// BC$. 求证$∠ C=2∠ D$. 
答案
$\because\ \ AB=AD,$
$\therefore\ \ ∠ ABD= ∠ D.$
$\because\ \ AD// BC,$
$\therefore\ \ ∠ D= ∠ DBC.$
$\therefore\ \ ∠ ABD= ∠ DBC.$
$\therefore\ \ ∠ ABC=2 ∠ DBC=2 ∠ D.$
$\because\ \ AB=AC,$
$\therefore\ \ ∠ ABC= ∠ C.$
$\therefore\ \ ∠ C=2 ∠ D.$
$\therefore\ \ ∠ ABD= ∠ D.$
$\because\ \ AD// BC,$
$\therefore\ \ ∠ D= ∠ DBC.$
$\therefore\ \ ∠ ABD= ∠ DBC.$
$\therefore\ \ ∠ ABC=2 ∠ DBC=2 ∠ D.$
$\because\ \ AB=AC,$
$\therefore\ \ ∠ ABC= ∠ C.$
$\therefore\ \ ∠ C=2 ∠ D.$
解析
【分析】
要证明$∠ C=2∠ D$，可从已知条件出发逐步推导角的关系：首先看到$AB=AD$，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到$∠ ABD=∠ D$；再结合$AD// BC$的条件，根据平行线的内错角相等得到$∠ D=∠ DBC$，进而推出$∠ ABC$和$∠ D$的倍数关系；最后利用$AB=AC$，再次通过等边对等角得到$∠ C=∠ ABC$，经等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
证明：
$\because\ \ AB=AD,$
$\therefore\ \ ∠ ABD= ∠ D.$
$\because\ \ AD// BC,$
$\therefore\ \ ∠ D= ∠ DBC.$
$\therefore\ \ ∠ ABD= ∠ DBC.$
$\therefore\ \ ∠ ABC=2 ∠ DBC=2 ∠ D.$
$\because\ \ AB=AC,$
$\therefore\ \ ∠ ABC= ∠ C.$
$\therefore\ \ ∠ C=2 ∠ D.$
【答案】
$∠ C=2∠ D$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察等腰三角形性质和平行线性质的综合应用，解题关键是从已知条件出发，逐步推导角的等量关系，梳理出不同角之间的数量关系即可快速得证。
【难度系数】
0.7
要证明$∠ C=2∠ D$，可从已知条件出发逐步推导角的关系：首先看到$AB=AD$，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到$∠ ABD=∠ D$；再结合$AD// BC$的条件，根据平行线的内错角相等得到$∠ D=∠ DBC$，进而推出$∠ ABC$和$∠ D$的倍数关系；最后利用$AB=AC$，再次通过等边对等角得到$∠ C=∠ ABC$，经等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
证明：
$\because\ \ AB=AD,$
$\therefore\ \ ∠ ABD= ∠ D.$
$\because\ \ AD// BC,$
$\therefore\ \ ∠ D= ∠ DBC.$
$\therefore\ \ ∠ ABD= ∠ DBC.$
$\therefore\ \ ∠ ABC=2 ∠ DBC=2 ∠ D.$
$\because\ \ AB=AC,$
$\therefore\ \ ∠ ABC= ∠ C.$
$\therefore\ \ ∠ C=2 ∠ D.$
【答案】
$∠ C=2∠ D$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察等腰三角形性质和平行线性质的综合应用，解题关键是从已知条件出发，逐步推导角的等量关系，梳理出不同角之间的数量关系即可快速得证。
【难度系数】
0.7
