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例 如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,$BE=AC$.
(1)求证$AD ⊥ BC$;
(2)若$∠ B=25°$,求$∠ C$的度数.
分析:(1)连接AE,由线段垂直平分线的性质得到$AE=BE$,进而得到$AE=AC$,根据等腰三角形的“三线合一”证明;
(2)根据等腰三角形的性质得到$∠ EAB=∠ B=25°$,由三角形外角的性质得到$∠ AED=∠ EAB+∠ B=50°$,然后利用等边对等角求解即可.
(1)证明:如图,连接AE.
$\because$ EF是AB的垂直平分线,
$\therefore AE=BE$.
$\because BE=AC$,
$\therefore AE=AC$.
$\because$ D为线段CE的中点,
$\therefore AD ⊥ CE$,即$AD ⊥ BC$.
(2)解:$\because AE=BE,∠ B=25°$,
$\therefore ∠ EAB=∠ B=25°$.
$\therefore ∠ AED=∠ EAB+∠ B=50°$.
$\because AE=AC$,
$\therefore ∠ C=∠ AED=50°$.
方法点拨 应用线段垂直平分线的性质时,根据解题需要,添加适当的辅助线是解题的关键.
(1)求证$AD ⊥ BC$;
(2)若$∠ B=25°$,求$∠ C$的度数.
分析:(1)连接AE,由线段垂直平分线的性质得到$AE=BE$,进而得到$AE=AC$,根据等腰三角形的“三线合一”证明;
(2)根据等腰三角形的性质得到$∠ EAB=∠ B=25°$,由三角形外角的性质得到$∠ AED=∠ EAB+∠ B=50°$,然后利用等边对等角求解即可.
(1)证明:如图,连接AE.
$\because$ EF是AB的垂直平分线,
$\therefore AE=BE$.
$\because BE=AC$,
$\therefore AE=AC$.
$\because$ D为线段CE的中点,
$\therefore AD ⊥ CE$,即$AD ⊥ BC$.
(2)解:$\because AE=BE,∠ B=25°$,
$\therefore ∠ EAB=∠ B=25°$.
$\therefore ∠ AED=∠ EAB+∠ B=50°$.
$\because AE=AC$,
$\therefore ∠ C=∠ AED=50°$.
方法点拨 应用线段垂直平分线的性质时,根据解题需要,添加适当的辅助线是解题的关键.
答案
(1) 证明：
连接AE。
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE。
∵ BE = AC，
∴ AE = AC，即△AEC为等腰三角形。
∵ D为线段CE的中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线垂直于底边，
∴ AD⊥CE，即AD⊥BC。
(2) 解：
∵ AE = BE，∠B = 25°，
∴ ∠EAB = ∠B = 25°。
由三角形外角的性质可得：
∠AED = ∠EAB + ∠B = 25° + 25° = 50°。
∵ AE = AC，
∴ ∠C = ∠AED = 50°。
答：∠C的度数为50°。
连接AE。
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE。
∵ BE = AC，
∴ AE = AC，即△AEC为等腰三角形。
∵ D为线段CE的中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线垂直于底边，
∴ AD⊥CE，即AD⊥BC。
(2) 解：
∵ AE = BE，∠B = 25°，
∴ ∠EAB = ∠B = 25°。
由三角形外角的性质可得：
∠AED = ∠EAB + ∠B = 25° + 25° = 50°。
∵ AE = AC，
∴ ∠C = ∠AED = 50°。
答：∠C的度数为50°。
解析
【分析】
(1) 要证明AD⊥BC，已知D是CE的中点，若能证明△AEC是等腰三角形，即可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。首先连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，结合已知BE=AC，等量代换得AE=AC，即△AEC为等腰三角形，D是底边CE的中点，因此AD垂直于CE，即AD⊥BC。
(2) 要求∠C的度数，由AE=AC可知∠C=∠AED，因此只需求出∠AED的度数即可。根据AE=BE可得∠EAB=∠B=25°，再利用三角形外角的性质，∠AED是△ABE的外角，等于与它不相邻的两个内角和，即可求出∠AED的度数，进而得到∠C的度数。
【解析】
(1) 证明：
连接AE。
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE。
∵ BE = AC，
∴ AE = AC，即△AEC为等腰三角形。
∵ D为线段CE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线垂直于底边，
∴ AD⊥CE，即AD⊥BC。
(2) 解：
∵ AE = BE，∠B = 25°，
∴ ∠EAB = ∠B = 25°。
由三角形外角的性质可得：
∠AED = ∠EAB + ∠B = 25° + 25° = 50°。
∵ AE = AC，
∴ ∠C = ∠AED = 50°。
【答案】
(1) 已证AD⊥BC；(2) 50°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线连接AE，将已知条件与待求、待证结论建立关联，能有效考查学生对等腰三角形、线段垂直平分线、三角形外角等基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD⊥BC，已知D是CE的中点，若能证明△AEC是等腰三角形，即可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。首先连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，结合已知BE=AC，等量代换得AE=AC，即△AEC为等腰三角形，D是底边CE的中点，因此AD垂直于CE，即AD⊥BC。
(2) 要求∠C的度数，由AE=AC可知∠C=∠AED，因此只需求出∠AED的度数即可。根据AE=BE可得∠EAB=∠B=25°，再利用三角形外角的性质，∠AED是△ABE的外角，等于与它不相邻的两个内角和，即可求出∠AED的度数，进而得到∠C的度数。
【解析】
(1) 证明：
连接AE。
∵ EF是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE。
∵ BE = AC，
∴ AE = AC，即△AEC为等腰三角形。
∵ D为线段CE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线垂直于底边，
∴ AD⊥CE，即AD⊥BC。
(2) 解：
∵ AE = BE，∠B = 25°，
∴ ∠EAB = ∠B = 25°。
由三角形外角的性质可得：
∠AED = ∠EAB + ∠B = 25° + 25° = 50°。
∵ AE = AC，
∴ ∠C = ∠AED = 50°。
【答案】
(1) 已证AD⊥BC；(2) 50°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线连接AE，将已知条件与待求、待证结论建立关联，能有效考查学生对等腰三角形、线段垂直平分线、三角形外角等基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
如图,已知每个小方格的边长均为1,A,B两点都在小方格的顶点(小方格的顶点也叫格点)上,请在图形中找一个格点C,使△ABC是等腰三角形,这样的格点C有 (
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
C
)A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
答案
C
解析
【分析】
要找出所有使△ABC为等腰三角形的格点C，需根据等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论，避免漏解：①以A为顶角顶点，即AB=AC；②以B为顶角顶点，即AB=BC；③以C为顶角顶点，即AC=BC。先借助勾股定理算出AB的长度，再分别在三类情况下找出符合要求的格点，排除不能构成三角形的共线情况，最后汇总数量即可。
【解析】
首先由网格特征，结合勾股定理计算AB的长度：A、B两点横向间隔3格，纵向间隔1格，因此$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
分三类讨论：
1. 当AB=AC（A为顶角顶点）时：以A为圆心，AB长为半径作圆，与格点的交点共有3个（排除与A、B共线的点，这3个点均能和A、B构成等腰三角形）；
2. 当AB=BC（B为顶角顶点）时：以B为圆心，AB长为半径作圆，与格点的交点共有3个（均不与A、B共线，可构成等腰三角形）；
3. 当AC=BC（C为顶角顶点）时：C在AB的垂直平分线上，查找垂直平分线上的格点，共有2个符合要求的点。
综上，符合要求的格点C共有$3+3+2=8$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；网格作图
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需按等腰三角形的顶角顶点分情况讨论，同时要注意排除三点共线无法构成三角形的情况，防止漏解或多解。
【难度系数】
0.6
要找出所有使△ABC为等腰三角形的格点C，需根据等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论，避免漏解：①以A为顶角顶点，即AB=AC；②以B为顶角顶点，即AB=BC；③以C为顶角顶点，即AC=BC。先借助勾股定理算出AB的长度，再分别在三类情况下找出符合要求的格点，排除不能构成三角形的共线情况，最后汇总数量即可。
【解析】
首先由网格特征，结合勾股定理计算AB的长度：A、B两点横向间隔3格，纵向间隔1格，因此$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
分三类讨论：
1. 当AB=AC（A为顶角顶点）时：以A为圆心，AB长为半径作圆，与格点的交点共有3个（排除与A、B共线的点，这3个点均能和A、B构成等腰三角形）；
2. 当AB=BC（B为顶角顶点）时：以B为圆心，AB长为半径作圆，与格点的交点共有3个（均不与A、B共线，可构成等腰三角形）；
3. 当AC=BC（C为顶角顶点）时：C在AB的垂直平分线上，查找垂直平分线上的格点，共有2个符合要求的点。
综上，符合要求的格点C共有$3+3+2=8$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；网格作图
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需按等腰三角形的顶角顶点分情况讨论，同时要注意排除三点共线无法构成三角形的情况，防止漏解或多解。
【难度系数】
0.6
1.如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是 （
A.15 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.16 cm或17 cm
D
）A.15 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.16 cm或17 cm
答案
D
解析
【分析】
拿到本题首先回忆等腰三角形的特征：两条腰长度相等，题目仅给出两边长分别为5cm和6cm，未明确说明哪条是腰、哪条是底，因此需要分类讨论两种可能的情况。其次要牢记三角形的构成条件：任意两边之和大于第三边，每种情况列出三边长后都要先验证是否满足三边关系，再计算周长，避免出现不符合三角形定义的错误。
【解析】
根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：
1. 当腰长为5cm时，三角形的三边长分别为5cm，5cm，6cm。
验证三边关系：$5+5=10＞6$，$5+6=11＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$5+5+6=16\mathrm{cm}$。
2. 当腰长为6cm时，三角形的三边长分别为6cm，6cm，5cm。
验证三边关系：$6+6=12＞5$，$6+5=11＞6$，满足三角形构成条件，此时周长为$6+6+5=17\mathrm{cm}$。
综上，该三角形的周长为16cm或17cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形边长计算的基础题型，易错点是容易遗漏分类讨论，仅计算其中一种情况的周长，或忘记验证三边是否符合三角形构成条件。解题时遇到未明确腰和底的等腰三角形边长问题，务必先分类讨论，再逐一验证合理性。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先回忆等腰三角形的特征：两条腰长度相等，题目仅给出两边长分别为5cm和6cm，未明确说明哪条是腰、哪条是底，因此需要分类讨论两种可能的情况。其次要牢记三角形的构成条件：任意两边之和大于第三边，每种情况列出三边长后都要先验证是否满足三边关系，再计算周长，避免出现不符合三角形定义的错误。
【解析】
根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：
1. 当腰长为5cm时，三角形的三边长分别为5cm，5cm，6cm。
验证三边关系：$5+5=10＞6$，$5+6=11＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$5+5+6=16\mathrm{cm}$。
2. 当腰长为6cm时，三角形的三边长分别为6cm，6cm，5cm。
验证三边关系：$6+6=12＞5$，$6+5=11＞6$，满足三角形构成条件，此时周长为$6+6+5=17\mathrm{cm}$。
综上，该三角形的周长为16cm或17cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形边长计算的基础题型，易错点是容易遗漏分类讨论，仅计算其中一种情况的周长，或忘记验证三边是否符合三角形构成条件。解题时遇到未明确腰和底的等腰三角形边长问题，务必先分类讨论，再逐一验证合理性。
【难度系数】
0.8
