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9. (★)下列计算错误的是 【 】
A.$(x-1)(x+4)=x^2+3x-4$
B.$(x+3)(6-x)=x^2+3x+18$
C.$(x+1)(x^2 -x +1)=x^3 +1$
D.$(y-2x)(2y -x)=2y^2 -5xy +2x^2$
A.$(x-1)(x+4)=x^2+3x-4$
B.$(x+3)(6-x)=x^2+3x+18$
C.$(x+1)(x^2 -x +1)=x^3 +1$
D.$(y-2x)(2y -x)=2y^2 -5xy +2x^2$
答案
B
解析
根据多项式乘多项式的运算法则，分别计算各选项：
1. 计算A选项：$(x-1)(x+4)=x^2+4x-x-4=x^2+3x-4$，计算正确。
2. 计算B选项：$(x+3)(6-x)=6x-x^2+18-3x=-x^2+3x+18≠ x^2+3x+18$，计算错误。
3. 计算C选项：$(x+1)(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1=x^3+1$，计算正确。
4. 计算D选项：$(y-2x)(2y-x)=2y^2-xy-4xy+2x^2=2y^2-5xy+2x^2$，计算正确。
1. 计算A选项：$(x-1)(x+4)=x^2+4x-x-4=x^2+3x-4$，计算正确。
2. 计算B选项：$(x+3)(6-x)=6x-x^2+18-3x=-x^2+3x+18≠ x^2+3x+18$，计算错误。
3. 计算C选项：$(x+1)(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1=x^3+1$，计算正确。
4. 计算D选项：$(y-2x)(2y-x)=2y^2-xy-4xy+2x^2=2y^2-5xy+2x^2$，计算正确。
10. (★)已知$(x+1)(x-3)=x^2+ax+b$，则$a,b$的值分别为 【 】
A.$2,3$
B.$-2,-3$
C.$-2,3$
D.$2,-3$
A.$2,3$
B.$-2,-3$
C.$-2,3$
D.$2,-3$
答案
B
解析
先根据多项式乘多项式的运算法则展开左边的式子：
$(x+1)(x-3)=x· x - 3· x + 1· x -1×3=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$，
将展开结果与等式右边$x^2+ax+b$对比对应系数，可得$a=-2$，$b=-3$。
$(x+1)(x-3)=x· x - 3· x + 1· x -1×3=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$，
将展开结果与等式右边$x^2+ax+b$对比对应系数，可得$a=-2$，$b=-3$。
11. (★)如果$(x-2)(x+1)=x^2+mx+n$恒成立，那么$m-n$的值为 【 】
A.1
B.-1
C.3
D.-3
A.1
B.-1
C.3
D.-3
答案
A
解析
先利用多项式乘多项式法则展开左边的式子：
$(x-2)(x+1)=x^2 +x -2x -2 = x^2 -x -2$
因为$(x-2)(x+1)=x^2+mx+n$恒成立，等式两边对应项系数相等，可得$m=-1$，$n=-2$。
代入计算$m-n=-1 - (-2)=1$。
$(x-2)(x+1)=x^2 +x -2x -2 = x^2 -x -2$
因为$(x-2)(x+1)=x^2+mx+n$恒成立，等式两边对应项系数相等，可得$m=-1$，$n=-2$。
代入计算$m-n=-1 - (-2)=1$。
12. (★★)小明家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为$5x$ m，宽为$(5x-4)$ m，现将这个鱼塘的长和宽都增加2 m，则总面积增加了
【 】
A.$(20x+4)$ m²
B.$(20x-4)$ m²
C.$4$ m²
D.$20x$ m²
【 】
A.$(20x+4)$ m²
B.$(20x-4)$ m²
C.$4$ m²
D.$20x$ m²
答案
B
解析
先计算原鱼塘面积：$S_{\mathrm{原}}=5x·(5x-4)=25x^2-20x$，长和宽都增加2m后，新鱼塘的长为$(5x+2)\ \mathrm{m}$，宽为$(5x-4+2)=(5x-2)\ \mathrm{m}$，新面积$S_{\mathrm{新}}=(5x+2)(5x-2)=25x^2-4$，因此增加的面积为$S_{\mathrm{新}}-S_{\mathrm{原}}=(25x^2-4)-(25x^2-20x)=20x-4$，即总面积增加了$(20x-4)\ \mathrm{m}^2$。
13. (★★)若$(x^2 - px + q)(x - 3)$展开后不含x的一次项，则p与q的关系是【 】
A.$p=3q$
B.$p+3q=0$
C.$q+3p=0$
D.$q=3p$
A.$p=3q$
B.$p+3q=0$
C.$q+3p=0$
D.$q=3p$
答案
C
解析
先根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(x^2 - px + q)(x - 3)&=x^3 -3x^2 -px^2 +3px +qx -3q\\&=x^3 -(p+3)x^2 + (3p+q)x -3q\end{aligned}$
已知展开后不含x的一次项，因此一次项系数为0，可得$3p+q=0$，即$q+3p=0$。
$\begin{aligned}(x^2 - px + q)(x - 3)&=x^3 -3x^2 -px^2 +3px +qx -3q\\&=x^3 -(p+3)x^2 + (3p+q)x -3q\end{aligned}$
已知展开后不含x的一次项，因此一次项系数为0，可得$3p+q=0$，即$q+3p=0$。
14. (★★)计算：
(1)$(2a+b)(a-b)=$；
(2)$(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)=$.
(1)$(2a+b)(a-b)=$；
(2)$(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)=$.
答案
解：
(1) 原式$=2a· a - 2a· b + b· a - b· b$
$=2a^2 - 2ab + ab - b^2$
$=2a^2 - ab - b^2$
(2) 原式$=x· x^2 + x· 2xy + x· 4y^2 - 2y· x^2 - 2y· 2xy - 2y· 4y^2$
$=x^3 + 2x^2y + 4xy^2 - 2x^2y - 4xy^2 - 8y^3$
$=x^3 - 8y^3$
(1) 原式$=2a· a - 2a· b + b· a - b· b$
$=2a^2 - 2ab + ab - b^2$
$=2a^2 - ab - b^2$
(2) 原式$=x· x^2 + x· 2xy + x· 4y^2 - 2y· x^2 - 2y· 2xy - 2y· 4y^2$
$=x^3 + 2x^2y + 4xy^2 - 2x^2y - 4xy^2 - 8y^3$
$=x^3 - 8y^3$
15. (★★)已知$a - b = 5$，$ab = 3$，则$(a+1)(b-1)$的值为。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
解：
先展开多项式：
$(a+1)(b-1) = ab -a + b -1$
$= ab - (a - b) -1$
将$a - b = 5$，$ab = 3$代入上式：
原式$= 3 - 5 -1 = -3$
先展开多项式：
$(a+1)(b-1) = ab -a + b -1$
$= ab - (a - b) -1$
将$a - b = 5$，$ab = 3$代入上式：
原式$= 3 - 5 -1 = -3$
16. (★★)计算:
(1)$(m+1)(2m-1)$;
(2)$(x-2)(x+1)-2(x-3)(x+2)$.
(1)$(m+1)(2m-1)$;
(2)$(x-2)(x+1)-2(x-3)(x+2)$.
答案
解：
(1) 原式 = m·2m - m·1 + 1·2m - 1·1
= 2m² - m + 2m - 1
= 2m² + m - 1
(2) 原式 = (x² + x - 2x - 2) - 2(x² + 2x - 3x - 6)
= (x² - x - 2) - 2(x² - x - 6)
= x² - x - 2 - 2x² + 2x + 12
= -x² + x + 10
(1) 原式 = m·2m - m·1 + 1·2m - 1·1
= 2m² - m + 2m - 1
= 2m² + m - 1
(2) 原式 = (x² + x - 2x - 2) - 2(x² + 2x - 3x - 6)
= (x² - x - 2) - 2(x² - x - 6)
= x² - x - 2 - 2x² + 2x + 12
= -x² + x + 10
17. (★★★)观察以下等式：
$(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$,
$(x+2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 8$,
$(x+3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 27$,
…
(1)按以上等式的规律,填空:
$(a+b)(\_\_\_\_\_\_)= a^3 + b^3$;
(2)利用多项式的乘法法则,说明(1)中的等式成立;
(3)利用(1)中发现的规律化简:
$(x+y)(x^2 - xy + y^2) - (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$.
$(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$,
$(x+2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 8$,
$(x+3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 27$,
…
(1)按以上等式的规律,填空:
$(a+b)(\_\_\_\_\_\_)= a^3 + b^3$;
(2)利用多项式的乘法法则,说明(1)中的等式成立;
(3)利用(1)中发现的规律化简:
$(x+y)(x^2 - xy + y^2) - (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$.
答案
解：
(1) $\boldsymbol{a^2 - ab + b^2}$
(2) 利用多项式乘法法则展开左边：
$\begin{aligned}(a+b)(a^2 - ab + b^2) &= a· a^2 - a· ab + a· b^2 + b· a^2 - b· ab + b· b^2 \\&= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \\&= a^3 + b^3\end{aligned}$
因此$(a+b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 + b^3$成立。
(3) 利用(1)的规律化简：
$\begin{aligned}原式&= (x^3 + y^3) - [x^3 + (2y)^3] \\&= x^3 + y^3 - x^3 - 8y^3 \\&= -7y^3\end{aligned}$
(1) $\boldsymbol{a^2 - ab + b^2}$
(2) 利用多项式乘法法则展开左边：
$\begin{aligned}(a+b)(a^2 - ab + b^2) &= a· a^2 - a· ab + a· b^2 + b· a^2 - b· ab + b· b^2 \\&= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \\&= a^3 + b^3\end{aligned}$
因此$(a+b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 + b^3$成立。
(3) 利用(1)的规律化简：
$\begin{aligned}原式&= (x^3 + y^3) - [x^3 + (2y)^3] \\&= x^3 + y^3 - x^3 - 8y^3 \\&= -7y^3\end{aligned}$
