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1. (★)如图,张伯伯准备把长为 m m,宽为a m 的长方形鱼塘进行扩建,使得长增加n m,宽增加b m.他用了三种方法求出扩建后的鱼塘面积.
方法一:扩建后的鱼塘可以看成长为$(m+n)$ m、宽为$(a+b)$ m 的长方形,所以面积为________ m².
方法二:扩建后的鱼塘面积可以看成长为$(a+b)$ m、宽为 m m,与长为$(a+b)$ m、宽为 n m 的两个长方形的面积和,所以面积为[______ + ______] m².
方法三:扩建后的鱼塘面积可以看成四个小长方形的面积和,所以面积为( ) m².
因此,可得________ ______.上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法.
方法一:扩建后的鱼塘可以看成长为$(m+n)$ m、宽为$(a+b)$ m 的长方形,所以面积为________ m².
方法二:扩建后的鱼塘面积可以看成长为$(a+b)$ m、宽为 m m,与长为$(a+b)$ m、宽为 n m 的两个长方形的面积和,所以面积为[______ + ______] m².
方法三:扩建后的鱼塘面积可以看成四个小长方形的面积和,所以面积为( ) m².
因此,可得________ ______.上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法.
答案
解：
方法一：$\boldsymbol{(m+n)(a+b)}$
方法二：$\boldsymbol{m(a+b)}$；$\boldsymbol{n(a+b)}$
方法三：$\boldsymbol{ma+mb+na+nb}$
因此，可得 $\boldsymbol{(m+n)(a+b) = m(a+b) + n(a+b) = ma + mb + na + nb}$。
方法一：$\boldsymbol{(m+n)(a+b)}$
方法二：$\boldsymbol{m(a+b)}$；$\boldsymbol{n(a+b)}$
方法三：$\boldsymbol{ma+mb+na+nb}$
因此，可得 $\boldsymbol{(m+n)(a+b) = m(a+b) + n(a+b) = ma + mb + na + nb}$。
2. (★)$(m+n)(a+b)=$______.
一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘________,再把所得的________相加.
一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘________,再把所得的________相加.
答案
解：
$(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb$
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
$(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb$
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. (★)计算：
(1)$(x+1)(x+2)=$；
(2)$(x-2)(2x+1)=$。
(1)$(x+1)(x+2)=$；
(2)$(x-2)(2x+1)=$。
答案
(1) $\boldsymbol{x^2+3x+2}$；(2) $\boldsymbol{2x^2-3x-2}$
解析
解：
(1) 原式$=x· x + x· 2 + 1· x + 1×2$
$=x^2 + 2x + x + 2$
$=x^2 + 3x + 2$
(2) 原式$=x· 2x + x· 1 - 2· 2x - 2×1$
$=2x^2 + x - 4x - 2$
$=2x^2 - 3x - 2$
(1) 原式$=x· x + x· 2 + 1· x + 1×2$
$=x^2 + 2x + x + 2$
$=x^2 + 3x + 2$
(2) 原式$=x· 2x + x· 1 - 2· 2x - 2×1$
$=2x^2 + x - 4x - 2$
$=2x^2 - 3x - 2$
4. (★)填空：
$(2x-5y)(3x-y)=2x· 3x+2x· \_\_\_\_\_\_ + (-5y)· 3x+(-5y)· \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_.$
$(2x-5y)(3x-y)=2x· 3x+2x· \_\_\_\_\_\_ + (-5y)· 3x+(-5y)· \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_.$
答案
解：
根据多项式乘多项式的运算法则：
$\begin{aligned}(2x-5y)(3x-y)&= 2x· 3x+2x· \boldsymbol{(-y)} + (-5y)· 3x+(-5y)· \boldsymbol{(-y)}\\&=6x^2 -2xy -15xy +5y^2\\&=6x^2 -17xy +5y^2\end{aligned}$
答案依次为：$\boldsymbol{-y}$；$\boldsymbol{-y}$；$\boldsymbol{6x^2 -17xy +5y^2}$。
根据多项式乘多项式的运算法则：
$\begin{aligned}(2x-5y)(3x-y)&= 2x· 3x+2x· \boldsymbol{(-y)} + (-5y)· 3x+(-5y)· \boldsymbol{(-y)}\\&=6x^2 -2xy -15xy +5y^2\\&=6x^2 -17xy +5y^2\end{aligned}$
答案依次为：$\boldsymbol{-y}$；$\boldsymbol{-y}$；$\boldsymbol{6x^2 -17xy +5y^2}$。
5. (★)计算$(2x-1)(5x+2)$的结果是
【 】
A.$10x^2 - 2$
B.$10x^2 -5x -2$
C.$10x^2 +4x -2$
D.$10x^2 -x -2$
【 】
A.$10x^2 - 2$
B.$10x^2 -5x -2$
C.$10x^2 +4x -2$
D.$10x^2 -x -2$
答案
D
解析
根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再合并同类项：
$(2x-1)(5x+2)=2x·5x + 2x·2 -1·5x -1·2=10x^2+4x-5x-2=10x^2 -x -2$
$(2x-1)(5x+2)=2x·5x + 2x·2 -1·5x -1·2=10x^2+4x-5x-2=10x^2 -x -2$
6. (★)计算：
(1)$(3m-2n)^2$；
(2)$(x-y)(2x+y-3)$.
(1)$(3m-2n)^2$；
(2)$(x-y)(2x+y-3)$.
答案
解：
(1) 原式$=(3m)^2 - 2· 3m· 2n + (2n)^2$
$=9m^2 -12mn +4n^2$
(2) 原式$=x·(2x+y-3) - y·(2x+y-3)$
$=2x^2 + xy - 3x -2xy -y^2 +3y$
$=2x^2 -xy -3x -y^2 +3y$
(1) 原式$=(3m)^2 - 2· 3m· 2n + (2n)^2$
$=9m^2 -12mn +4n^2$
(2) 原式$=x·(2x+y-3) - y·(2x+y-3)$
$=2x^2 + xy - 3x -2xy -y^2 +3y$
$=2x^2 -xy -3x -y^2 +3y$
7. (★)先化简,再求值:$(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)$,其中$x=-1,y=2$.
答案
解：
先展开多项式：
$\begin{aligned}&(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)\\=&x^2+3xy-2xy-6y^2-(2x^2-8xy-xy+4y^2)\\=&x^2+xy-6y^2-2x^2+9xy-4y^2\\=&-x^2+10xy-10y^2\end{aligned}$
将$x=-1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&-(-1)^2 + 10×(-1)×2 -10×2^2\\=&-1 -20 -40\\=&-61\end{aligned}$
最终结果为$-61$。
先展开多项式：
$\begin{aligned}&(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)\\=&x^2+3xy-2xy-6y^2-(2x^2-8xy-xy+4y^2)\\=&x^2+xy-6y^2-2x^2+9xy-4y^2\\=&-x^2+10xy-10y^2\end{aligned}$
将$x=-1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}&-(-1)^2 + 10×(-1)×2 -10×2^2\\=&-1 -20 -40\\=&-61\end{aligned}$
最终结果为$-61$。
8. (★★)填空：
$(x+3)(x+4)=$；
$(x-3)(x-4)=$；
$(x-3)(x+4)=$；
$(x+3)(x-4)=$。
观察以上四个等式，用式子表示你发现的规律：。
运用你发现的规律直接写出下列式子的结果：
$(x-3)(x-5)=$；
$(x+4)(x-6)=$。
$(x+3)(x+4)=$；
$(x-3)(x-4)=$；
$(x-3)(x+4)=$；
$(x+3)(x-4)=$。
观察以上四个等式，用式子表示你发现的规律：。
运用你发现的规律直接写出下列式子的结果：
$(x-3)(x-5)=$；
$(x+4)(x-6)=$。
答案
解：
$(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$；
$(x-3)(x-4)=x^2-7x+12$；
$(x-3)(x+4)=x^2+x-12$；
$(x+3)(x-4)=x^2-x-12$。
规律：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$。
$(x-3)(x-5)=x^2-8x+15$；
$(x+4)(x-6)=x^2-2x-24$。
$(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$；
$(x-3)(x-4)=x^2-7x+12$；
$(x-3)(x+4)=x^2+x-12$；
$(x+3)(x-4)=x^2-x-12$。
规律：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$。
$(x-3)(x-5)=x^2-8x+15$；
$(x+4)(x-6)=x^2-2x-24$。
