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10. (★)计算: $2m^2n(m - 3mn^2)=$ 【 】
A.$2m^3n - 6m^3n^3$
B.$2m^3n - 3m^3n^3$
C.$2mn^2 - 6m^3n^3$
D.$2m^2n + 6m^3n^3$
A.$2m^3n - 6m^3n^3$
B.$2m^3n - 3m^3n^3$
C.$2mn^2 - 6m^3n^3$
D.$2m^2n + 6m^3n^3$
答案
A
解析
【分析】
这是一道单项式乘多项式的整式运算题，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。第一步用单项式$2m^2n$分别乘多项式的两个项$m$和$-3mn^2$；第二步计算每一个乘积时，系数相乘作为积的系数，相同字母按照同底数幂的乘法规则（底数不变，指数相加）计算，注意不要算错指数和符号；第三步将两个乘积合并后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}2m^2n(m - 3mn^2)&=2m^2n· m + 2m^2n·(-3mn^2)\\&=2m^{2+1}n + (-6)m^{2+1}n^{1+2}\\&=2m^3n - 6m^3n^3\end{aligned}$
对比选项可知A选项符合计算结果。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础计算题，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题时要注意不要漏乘多项式的项，同时要准确计算系数和同底数幂的指数，还要注意负号的运算，掌握基础运算法则即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
这是一道单项式乘多项式的整式运算题，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。第一步用单项式$2m^2n$分别乘多项式的两个项$m$和$-3mn^2$；第二步计算每一个乘积时，系数相乘作为积的系数，相同字母按照同底数幂的乘法规则（底数不变，指数相加）计算，注意不要算错指数和符号；第三步将两个乘积合并后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}2m^2n(m - 3mn^2)&=2m^2n· m + 2m^2n·(-3mn^2)\\&=2m^{2+1}n + (-6)m^{2+1}n^{1+2}\\&=2m^3n - 6m^3n^3\end{aligned}$
对比选项可知A选项符合计算结果。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础计算题，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题时要注意不要漏乘多项式的项，同时要准确计算系数和同底数幂的指数，还要注意负号的运算，掌握基础运算法则即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
11. (★★)下列计算错误的是 【 】
A.$-4a(2a^2 + 3a -1) = -8a^3 -12a^2 +4a$
B.$a^m(a^m -a^2 +1) = a^{mm} -a^{2m} +a^m$
C.$(-3x^2) · (4x^2 - \frac{4}{9}x +1) = -12x^4 + \frac{4}{3}x^3 -3x^2$
D.$(2a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{4}{9}) · (-a)^2 = 2a^4 - \frac{2}{3}a^3 - \frac{4}{9}a^2$
A.$-4a(2a^2 + 3a -1) = -8a^3 -12a^2 +4a$
B.$a^m(a^m -a^2 +1) = a^{mm} -a^{2m} +a^m$
C.$(-3x^2) · (4x^2 - \frac{4}{9}x +1) = -12x^4 + \frac{4}{3}x^3 -3x^2$
D.$(2a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{4}{9}) · (-a)^2 = 2a^4 - \frac{2}{3}a^3 - \frac{4}{9}a^2$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查整式乘法中单项式乘多项式的运算，解题思路是逐一验证每个选项，依据单项式乘多项式法则（用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加），结合同底数幂乘法、幂的乘方的运算规则计算，对比选项给出的结果找出计算错误的选项。计算时要注意符号处理和指数运算规则，避免漏乘项或者指数计算错误。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则逐个分析选项：
选项A：$\begin{aligned}-4a(2a^2 + 3a -1) &= -4a·2a^2 + (-4a)·3a + (-4a)·(-1) \\&= -8a^3 -12a^2 +4a\end{aligned}$，计算正确，不符合题意。
选项B：$\begin{aligned}a^m(a^m -a^2 +1) &= a^m·a^m + a^m·(-a^2) + a^m·1 \\&= a^{2m} -a^{m+2} +a^m\end{aligned}$，和选项给出的$a^{mm} -a^{2m} +a^m$不符，计算错误，符合题意。
选项C：$\begin{aligned}(-3x^2) · (4x^2 - \frac{4}{9}x +1) &= (-3x^2)·4x^2 + (-3x^2)·(-\frac{4}{9}x) + (-3x^2)·1 \\&= -12x^4 + \frac{4}{3}x^3 -3x^2\end{aligned}$，计算正确，不符合题意。
选项D：先算$(-a)^2 = a^2$，再计算$\begin{aligned}(2a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{4}{9}) · a^2 &= 2a^2·a^2 + (-\frac{2}{3}a)·a^2 + (-\frac{4}{9})·a^2 \\&= 2a^4 - \frac{2}{3}a^3 - \frac{4}{9}a^2\end{aligned}$，计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础考查题，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时要格外注意指数的运算规律和各项的符号，避免出现漏乘、指数错算或者符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
这道题考查整式乘法中单项式乘多项式的运算，解题思路是逐一验证每个选项，依据单项式乘多项式法则（用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加），结合同底数幂乘法、幂的乘方的运算规则计算，对比选项给出的结果找出计算错误的选项。计算时要注意符号处理和指数运算规则，避免漏乘项或者指数计算错误。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则逐个分析选项：
选项A：$\begin{aligned}-4a(2a^2 + 3a -1) &= -4a·2a^2 + (-4a)·3a + (-4a)·(-1) \\&= -8a^3 -12a^2 +4a\end{aligned}$，计算正确，不符合题意。
选项B：$\begin{aligned}a^m(a^m -a^2 +1) &= a^m·a^m + a^m·(-a^2) + a^m·1 \\&= a^{2m} -a^{m+2} +a^m\end{aligned}$，和选项给出的$a^{mm} -a^{2m} +a^m$不符，计算错误，符合题意。
选项C：$\begin{aligned}(-3x^2) · (4x^2 - \frac{4}{9}x +1) &= (-3x^2)·4x^2 + (-3x^2)·(-\frac{4}{9}x) + (-3x^2)·1 \\&= -12x^4 + \frac{4}{3}x^3 -3x^2\end{aligned}$，计算正确，不符合题意。
选项D：先算$(-a)^2 = a^2$，再计算$\begin{aligned}(2a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{4}{9}) · a^2 &= 2a^2·a^2 + (-\frac{2}{3}a)·a^2 + (-\frac{4}{9})·a^2 \\&= 2a^4 - \frac{2}{3}a^3 - \frac{4}{9}a^2\end{aligned}$，计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础考查题，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时要格外注意指数的运算规律和各项的符号，避免出现漏乘、指数错算或者符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
12. (★★)要使$-x^3(x^2+ax+1)+2x^4$中不含有x的四次项，则a的值为
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题的核心依据是：若多项式不含某一项，则该项合并同类项后的系数为0。解题时首先按照单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项找到$x^4$项的系数，令该系数等于0建立关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&-x^3(x^2+ax+1)+2x^4\\=&-x^3· x^2 -x^3· ax -x^3·1 +2x^4\\=&-x^5 -ax^4 -x^3 +2x^4\\=&-x^5 + (-a + 2)x^4 -x^3\end{aligned}$
因为多项式中不含有x的四次项，所以x⁴项的系数为0，即：
$-a + 2 = 0$
解得：$a=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题关键是理解“多项式不含某一项则该项系数为0”的规则，熟练掌握整式乘法和合并同类项的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是：若多项式不含某一项，则该项合并同类项后的系数为0。解题时首先按照单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项找到$x^4$项的系数，令该系数等于0建立关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&-x^3(x^2+ax+1)+2x^4\\=&-x^3· x^2 -x^3· ax -x^3·1 +2x^4\\=&-x^5 -ax^4 -x^3 +2x^4\\=&-x^5 + (-a + 2)x^4 -x^3\end{aligned}$
因为多项式中不含有x的四次项，所以x⁴项的系数为0，即：
$-a + 2 = 0$
解得：$a=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题关键是理解“多项式不含某一项则该项系数为0”的规则，熟练掌握整式乘法和合并同类项的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13. (★★)方程$3x(7-x)=18-3x(x-5)$的解为。
答案
解：
去括号，得
$21x - 3x^2 = 18 - 3x^2 + 15x$
移项，得
$21x - 3x^2 + 3x^2 - 15x = 18$
合并同类项，得
$6x = 18$
系数化为1，得
$x = 3$
去括号，得
$21x - 3x^2 = 18 - 3x^2 + 15x$
移项，得
$21x - 3x^2 + 3x^2 - 15x = 18$
合并同类项，得
$6x = 18$
系数化为1，得
$x = 3$
解析
【分析】
这是一道结合整式乘法求解方程的基础题，解题思路如下：首先根据单项式乘多项式的法则去掉方程左右两边的括号，去括号时要注意每一项都要乘到，同时注意符号的变化；之后将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要记得变号；再合并同类项，本题中方程两边的二次项会相互抵消，即可得到常规的一元一次方程；最后将未知数的系数化为1就能得到方程的解。
【解析】
解：
去括号，得
$21x - 3x^2 = 18 - 3x^2 + 15x$
移项，得
$21x - 3x^2 + 3x^2 - 15x = 18$
合并同类项，得
$6x = 18$
系数化为1，得
$x = 3$
【答案】
$x=3$
【知识点】
单项式乘多项式；解一元一次方程；合并同类项
【点评】
本题侧重考察基础运算能力，解题时要熟练掌握整式乘法的运算法则，避免去括号时漏乘、符号出错的问题，本题二次项抵消后转化为普通一元一次方程，按常规步骤求解即可。
【难度系数】
0.8
这是一道结合整式乘法求解方程的基础题，解题思路如下：首先根据单项式乘多项式的法则去掉方程左右两边的括号，去括号时要注意每一项都要乘到，同时注意符号的变化；之后将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要记得变号；再合并同类项，本题中方程两边的二次项会相互抵消，即可得到常规的一元一次方程；最后将未知数的系数化为1就能得到方程的解。
【解析】
解：
去括号，得
$21x - 3x^2 = 18 - 3x^2 + 15x$
移项，得
$21x - 3x^2 + 3x^2 - 15x = 18$
合并同类项，得
$6x = 18$
系数化为1，得
$x = 3$
【答案】
$x=3$
【知识点】
单项式乘多项式；解一元一次方程；合并同类项
【点评】
本题侧重考察基础运算能力，解题时要熟练掌握整式乘法的运算法则，避免去括号时漏乘、符号出错的问题，本题二次项抵消后转化为普通一元一次方程，按常规步骤求解即可。
【难度系数】
0.8
14. (★★)计算:
(1) $x^2 - x(x^2 + x - 1)$;
(2) $3a^2(a^3b^2 - 2a) - 4a(-a^2b)^2$.
(1) $x^2 - x(x^2 + x - 1)$;
(2) $3a^2(a^3b^2 - 2a) - 4a(-a^2b)^2$.
答案
解：
(1) 原式$=x^2 - (x^3 + x^2 - x)$
$=x^2 - x^3 - x^2 + x$
$=-x^3 + x$
(2) 原式$=3a^2 · a^3b^2 - 3a^2 · 2a - 4a · (a^4b^2)$
$=3a^5b^2 - 6a^3 - 4a^5b^2$
$=-a^5b^2 - 6a^3$
(1) 原式$=x^2 - (x^3 + x^2 - x)$
$=x^2 - x^3 - x^2 + x$
$=-x^3 + x$
(2) 原式$=3a^2 · a^3b^2 - 3a^2 · 2a - 4a · (a^4b^2)$
$=3a^5b^2 - 6a^3 - 4a^5b^2$
$=-a^5b^2 - 6a^3$
解析
【分析】
这两道题属于整式的混合运算题，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 先计算单项式乘多项式$x(x^2+x-1)$，依据单项式乘多项式法则，用x乘括号内的每一项，再去括号，最后合并同类项即可，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号。
(2) 先计算积的乘方$(-a^2b)^2$，依据积的乘方法则，把每个因式分别乘方再把所得的幂相乘；再分别计算两个单项式乘多项式的部分，最后合并同类项，计算单项式乘法时要遵守同底数幂的乘法法则，留意符号处理。
【解析】
(1) 原式$=x^2 - (x^3 + x^2 - x)$
$=x^2 - x^3 - x^2 + x$
$=-x^3 + x$
(2) 原式$=3a^2 · a^3b^2 - 3a^2 · 2a - 4a · (a^4b^2)$
$=3a^5b^2 - 6a^3 - 4a^5b^2$
$=-a^5b^2 - 6a^3$
【答案】
(1) $-x^3 + x$；(2) $-a^5b^2 - 6a^3$
【知识点】
单项式乘多项式；积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题核心是熟练掌握各类整式运算法则，运算过程中要重点注意运算顺序、去括号的符号变化以及幂的指数计算，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式的混合运算题，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 先计算单项式乘多项式$x(x^2+x-1)$，依据单项式乘多项式法则，用x乘括号内的每一项，再去括号，最后合并同类项即可，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号。
(2) 先计算积的乘方$(-a^2b)^2$，依据积的乘方法则，把每个因式分别乘方再把所得的幂相乘；再分别计算两个单项式乘多项式的部分，最后合并同类项，计算单项式乘法时要遵守同底数幂的乘法法则，留意符号处理。
【解析】
(1) 原式$=x^2 - (x^3 + x^2 - x)$
$=x^2 - x^3 - x^2 + x$
$=-x^3 + x$
(2) 原式$=3a^2 · a^3b^2 - 3a^2 · 2a - 4a · (a^4b^2)$
$=3a^5b^2 - 6a^3 - 4a^5b^2$
$=-a^5b^2 - 6a^3$
【答案】
(1) $-x^3 + x$；(2) $-a^5b^2 - 6a^3$
【知识点】
单项式乘多项式；积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题核心是熟练掌握各类整式运算法则，运算过程中要重点注意运算顺序、去括号的符号变化以及幂的指数计算，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.8
15. (★★)如图,一张长方形硬纸片ABCD,长AD为$(5a^2 + 4b^2)$cm,宽AB为$6a^4$cm,在它的四个角上分别剪去一个边长为$2a^3$cm的小正方形(阴影部分所示),然后折成一个无盖的盒子,请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积.
答案
解：
原长方形硬纸片的面积为：
$(5a^2 + 4b^2) · 6a^4 = 30a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
四个剪去的小正方形的总面积为：
$4 · (2a^3)^2 = 4 · 4a^6 = 16a^6 \ (\mathrm{cm}^2)$
折成无盖盒子所用硬纸片的面积为：
$(30a^6 + 24a^4b^2) - 16a^6 = 14a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
答：折成无盖盒子所用硬纸片的面积为$(14a^6 + 24a^4b^2)\ \mathrm{cm}^2$。
原长方形硬纸片的面积为：
$(5a^2 + 4b^2) · 6a^4 = 30a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
四个剪去的小正方形的总面积为：
$4 · (2a^3)^2 = 4 · 4a^6 = 16a^6 \ (\mathrm{cm}^2)$
折成无盖盒子所用硬纸片的面积为：
$(30a^6 + 24a^4b^2) - 16a^6 = 14a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
答：折成无盖盒子所用硬纸片的面积为$(14a^6 + 24a^4b^2)\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要求折成无盖盒子所用硬纸片的面积，本质是求原长方形纸片剪去四个小正方形后剩余部分的面积，解题思路为：剩余面积=原长方形面积-4个剪去的小正方形总面积。首先根据长方形面积公式计算原纸片面积，再根据正方形面积公式计算4个小正方形的总面积，最后做差化简即可得到结果，计算时需遵循整式乘法、幂运算的相关法则。
【解析】
解：先计算原长方形硬纸片的面积，根据长方形面积=长×宽：
$(5a^2 + 4b^2) · 6a^4 = 30a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
再计算四个剪去的小正方形的总面积，单个小正方形面积为边长的平方，因此：
$4 × (2a^3)^2 = 4 × 4a^6 = 16a^6 \ (\mathrm{cm}^2)$
最后计算剩余硬纸片的面积，用原面积减去四个小正方形的面积：
$(30a^6 + 24a^4b^2) - 16a^6 = 14a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
折成无盖盒子所用硬纸片的面积为$\boxed{(14a^6 + 24a^4b^2)\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1.整式乘法运算
2.面积和差计算
3.幂的运算
【点评】
本题属于整式运算结合几何面积的基础应用题，解题核心是明确所求面积为原面积与剪去部分面积的差，计算过程中需熟练掌握单项式乘多项式、幂的乘方、积的乘方等运算规则，避免出现系数、指数计算错误。
【难度系数】
0.7
要求折成无盖盒子所用硬纸片的面积，本质是求原长方形纸片剪去四个小正方形后剩余部分的面积，解题思路为：剩余面积=原长方形面积-4个剪去的小正方形总面积。首先根据长方形面积公式计算原纸片面积，再根据正方形面积公式计算4个小正方形的总面积，最后做差化简即可得到结果，计算时需遵循整式乘法、幂运算的相关法则。
【解析】
解：先计算原长方形硬纸片的面积，根据长方形面积=长×宽：
$(5a^2 + 4b^2) · 6a^4 = 30a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
再计算四个剪去的小正方形的总面积，单个小正方形面积为边长的平方，因此：
$4 × (2a^3)^2 = 4 × 4a^6 = 16a^6 \ (\mathrm{cm}^2)$
最后计算剩余硬纸片的面积，用原面积减去四个小正方形的面积：
$(30a^6 + 24a^4b^2) - 16a^6 = 14a^6 + 24a^4b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
折成无盖盒子所用硬纸片的面积为$\boxed{(14a^6 + 24a^4b^2)\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1.整式乘法运算
2.面积和差计算
3.幂的运算
【点评】
本题属于整式运算结合几何面积的基础应用题，解题核心是明确所求面积为原面积与剪去部分面积的差，计算过程中需熟练掌握单项式乘多项式、幂的乘方、积的乘方等运算规则，避免出现系数、指数计算错误。
【难度系数】
0.7
16. (★★★)某同学在计算一个多项式乘$-3x^2$时，算成了加上$-3x^2$，得到的答案是$x^2 - \frac{1}{2}x +1$，那么正确的计算结果是多少？
答案
解：
由题意得，原多项式为：
$(x^2 - \frac{1}{2}x + 1) - (-3x^2)$
$=x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2$
$=4x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
正确的计算结果为：
$(4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) · (-3x^2)$
$=4x^2 · (-3x^2) - \frac{1}{2}x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)$
$=-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
答：正确的计算结果是$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$。
由题意得，原多项式为：
$(x^2 - \frac{1}{2}x + 1) - (-3x^2)$
$=x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2$
$=4x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
正确的计算结果为：
$(4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) · (-3x^2)$
$=4x^2 · (-3x^2) - \frac{1}{2}x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)$
$=-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
答：正确的计算结果是$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$。
解析
【分析】
这是一道运算看错类型的整式运算题，解题思路分两步：首先要逆推求出原多项式，已知错误运算是原多项式加上$-3x^2$得到结果$x^2 - \frac{1}{2}x +1$，根据加减法互逆关系，用错误结果减去误加的$-3x^2$即可得到原多项式；再将原多项式乘以$-3x^2$，按照单项式乘多项式的运算法则计算，计算时注意不要漏乘项，同时要准确判断每一项的符号。
【解析】
第一步：反求原多项式
由题意可得原多项式为：
$\begin{aligned}&(x^2 - \frac{1}{2}x + 1) - (-3x^2)\\=&x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2\\=&4x^2 - \frac{1}{2}x + 1\end{aligned}$
第二步：计算正确的乘法结果
用原多项式乘$-3x^2$，根据单项式乘多项式法则（用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加）计算：
$\begin{aligned}&(4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) · (-3x^2)\\=&4x^2 · (-3x^2) - \frac{1}{2}x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)\\=&-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
【知识点】
整式的加减；单项式乘多项式；逆运算求解
【点评】
本题属于整式运算的基础拓展题，既考察逆向推导能力，也考察整式运算的准确度，做题时要注意审题看清运算符号，计算单项式乘多项式时要避免漏乘项、符号判断错误等常见失误。
【难度系数】
0.7
这是一道运算看错类型的整式运算题，解题思路分两步：首先要逆推求出原多项式，已知错误运算是原多项式加上$-3x^2$得到结果$x^2 - \frac{1}{2}x +1$，根据加减法互逆关系，用错误结果减去误加的$-3x^2$即可得到原多项式；再将原多项式乘以$-3x^2$，按照单项式乘多项式的运算法则计算，计算时注意不要漏乘项，同时要准确判断每一项的符号。
【解析】
第一步：反求原多项式
由题意可得原多项式为：
$\begin{aligned}&(x^2 - \frac{1}{2}x + 1) - (-3x^2)\\=&x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2\\=&4x^2 - \frac{1}{2}x + 1\end{aligned}$
第二步：计算正确的乘法结果
用原多项式乘$-3x^2$，根据单项式乘多项式法则（用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加）计算：
$\begin{aligned}&(4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) · (-3x^2)\\=&4x^2 · (-3x^2) - \frac{1}{2}x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)\\=&-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
【知识点】
整式的加减；单项式乘多项式；逆运算求解
【点评】
本题属于整式运算的基础拓展题，既考察逆向推导能力，也考察整式运算的准确度，做题时要注意审题看清运算符号，计算单项式乘多项式时要避免漏乘项、符号判断错误等常见失误。
【难度系数】
0.7
17. (★★★)已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)$的值.
答案
解：
先利用单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)&=2xy· x^5y^2 + 2xy·(-3x^3y) + 2xy·(-4x)\\&=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y\end{aligned}$
将式子变形为含$x^2y$的幂的形式：
$2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y$
把$x^2y=3$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×3^3 -6×3^2 -8×3\\&=2×27 -6×9 -24\\&=54 -54 -24\\&=-24\end{aligned}$
最终值为$\boldsymbol{-24}$。
先利用单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)&=2xy· x^5y^2 + 2xy·(-3x^3y) + 2xy·(-4x)\\&=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y\end{aligned}$
将式子变形为含$x^2y$的幂的形式：
$2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y$
把$x^2y=3$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×3^3 -6×3^2 -8×3\\&=2×27 -6×9 -24\\&=54 -54 -24\\&=-24\end{aligned}$
最终值为$\boldsymbol{-24}$。
解析
【分析】
本题已知$x^2y$的值，无法直接求出x、y的单独取值，因此考虑采用整体代入的思路解题。首先需要利用单项式乘多项式的运算法则将待求式展开，再观察展开后各项的次数特征，将每一项变形为含有$x^2y$的幂的形式，最后把$x^2y=3$整体代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)&=2xy· x^5y^2 + 2xy·(-3x^3y) + 2xy·(-4x)\\&=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y\end{aligned}$
再将式子变形为含$x^2y$的幂的形式：
$2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y$
把$x^2y=3$代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×3^3 -6×3^2 -8×3\\&=2×27 -6×9 -24\\&=54 -54 -24\\&=-24\end{aligned}$
【答案】
$-24$
【知识点】
单项式乘多项式；整体代入求值；幂的运算性质
【点评】
本题考查整式乘法的综合应用，核心是运用整体思想简化计算，避免求解单个未知数的繁琐，解题时需熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，同时能准确将代数式变形为含已知条件的形式，是整式运算章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题已知$x^2y$的值，无法直接求出x、y的单独取值，因此考虑采用整体代入的思路解题。首先需要利用单项式乘多项式的运算法则将待求式展开，再观察展开后各项的次数特征，将每一项变形为含有$x^2y$的幂的形式，最后把$x^2y=3$整体代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)&=2xy· x^5y^2 + 2xy·(-3x^3y) + 2xy·(-4x)\\&=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y\end{aligned}$
再将式子变形为含$x^2y$的幂的形式：
$2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y$
把$x^2y=3$代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×3^3 -6×3^2 -8×3\\&=2×27 -6×9 -24\\&=54 -54 -24\\&=-24\end{aligned}$
【答案】
$-24$
【知识点】
单项式乘多项式；整体代入求值；幂的运算性质
【点评】
本题考查整式乘法的综合应用，核心是运用整体思想简化计算，避免求解单个未知数的繁琐，解题时需熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，同时能准确将代数式变形为含已知条件的形式，是整式运算章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
