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小华认为多项式$x^2-2x-8$不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法：
方法一：
$x^2-2x-8=x^2-2x+1-1-8=(x^2-2x+1)-9=(x-1)^2-3^2=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)$；
方法二：
$x^2-2x-8=x^2-4-2x-4=(x^2-4)+(-2x-4)=(x+2)(x-2)-2(x+2)=(x+2)(x-2-2)=(x+2)·(x-4)$；
方法三：
$x^2-2x-8=x^2+2x-2x-2x-8=x^2+2x-4x-8=(x^2+2x)+(-4x-8)=x(x+2)-4(x+2)=(x+2)·(x-4)$。
(1)请你用以上三种方法中的任意一种对$x^2+4x-12$进行因式分解.
(2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：$x^2-2x-8=(x-1)^2-9$，因为$(x-1)^2≥0$，所以$(x-1)^2-9≥-9$. 因此多项式$x^2-2x-8$的最小值是-9. 借助小明的做法，判断多项式$-x^2-4x+12$有最值吗？如果有，请你求出$x$为何值时取得最值；如果没有，请说明理由.
方法一：
$x^2-2x-8=x^2-2x+1-1-8=(x^2-2x+1)-9=(x-1)^2-3^2=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)$；
方法二：
$x^2-2x-8=x^2-4-2x-4=(x^2-4)+(-2x-4)=(x+2)(x-2)-2(x+2)=(x+2)(x-2-2)=(x+2)·(x-4)$；
方法三：
$x^2-2x-8=x^2+2x-2x-2x-8=x^2+2x-4x-8=(x^2+2x)+(-4x-8)=x(x+2)-4(x+2)=(x+2)·(x-4)$。
(1)请你用以上三种方法中的任意一种对$x^2+4x-12$进行因式分解.
(2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：$x^2-2x-8=(x-1)^2-9$，因为$(x-1)^2≥0$，所以$(x-1)^2-9≥-9$. 因此多项式$x^2-2x-8$的最小值是-9. 借助小明的做法，判断多项式$-x^2-4x+12$有最值吗？如果有，请你求出$x$为何值时取得最值；如果没有，请说明理由.
答案
(1)
$x^2+4x-12$
$=x^2+4x+4-4-12$
$=(x+2)^2-16$
$=(x+2)^2-4^2$
$=(x+2+4)(x+2-4)$
$=(x+6)(x-2)$
(2)多项式$-x^2-4x+12$有最大值。
$-x^2-4x+12$
$=-(x^2+4x+4-4-12)$
$=-(x+2)^2+16$
$\because (x+2)^2≥0$
$\therefore -(x+2)^2≤0$
$\therefore -(x+2)^2+16≤16$
$\therefore$ 当$x=-2$时，取得最大值为16。
$\therefore$ 多项式$-x^2-4x+12$在当$x=-2$时取得最大值16。
$x^2+4x-12$
$=x^2+4x+4-4-12$
$=(x+2)^2-16$
$=(x+2)^2-4^2$
$=(x+2+4)(x+2-4)$
$=(x+6)(x-2)$
(2)多项式$-x^2-4x+12$有最大值。
$-x^2-4x+12$
$=-(x^2+4x+4-4-12)$
$=-(x+2)^2+16$
$\because (x+2)^2≥0$
$\therefore -(x+2)^2≤0$
$\therefore -(x+2)^2+16≤16$
$\therefore$ 当$x=-2$时，取得最大值为16。
$\therefore$ 多项式$-x^2-4x+12$在当$x=-2$时取得最大值16。
解析
【分析】
(1) 若选用方法一（配方法）因式分解，思路为：先对二次项和一次项配方，加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证原式值不变，将多项式转化为“完全平方式-常数”的形式，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解即可。
(2) 求二次多项式的最值思路：首先观察二次项系数为负，因此多项式存在最大值；先提取负号，将括号内的二次式配方，再根据平方的非负性分析配方后式子的取值范围，进而得到原式的最值及对应$x$的取值。
【解析】
(1) 选用方法一因式分解：
$x^2+4x-12$
$=x^2+4x+4-4-12$
$=(x+2)^2-16$
$=(x+2)^2-4^2$
$=(x+2+4)(x+2-4)$
$=(x+6)(x-2)$
(2) 多项式$-x^2-4x+12$有最大值，求解过程如下：
$-x^2-4x+12$
$=-(x^2+4x+4-4-12)$
$=-(x+2)^2+16$
$\because (x+2)^2≥0$
$\therefore -(x+2)^2≤0$
$\therefore -(x+2)^2+16≤16$
当$x+2=0$即$x=-2$时，等号成立，此时多项式取得最大值16。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+6)(x-2)}$
(2) 有最大值，当$\boldsymbol{x=-2}$时取得最大值$\boldsymbol{16}$
【知识点】
因式分解，配方法，平方的非负性
【点评】
本题重点考查因式分解的方法及配方法求多项式最值的应用，需要学生灵活迁移题干给出的方法，掌握配方技巧和平方非负性的应用，属于对基础方法应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 若选用方法一（配方法）因式分解，思路为：先对二次项和一次项配方，加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证原式值不变，将多项式转化为“完全平方式-常数”的形式，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解即可。
(2) 求二次多项式的最值思路：首先观察二次项系数为负，因此多项式存在最大值；先提取负号，将括号内的二次式配方，再根据平方的非负性分析配方后式子的取值范围，进而得到原式的最值及对应$x$的取值。
【解析】
(1) 选用方法一因式分解：
$x^2+4x-12$
$=x^2+4x+4-4-12$
$=(x+2)^2-16$
$=(x+2)^2-4^2$
$=(x+2+4)(x+2-4)$
$=(x+6)(x-2)$
(2) 多项式$-x^2-4x+12$有最大值，求解过程如下：
$-x^2-4x+12$
$=-(x^2+4x+4-4-12)$
$=-(x+2)^2+16$
$\because (x+2)^2≥0$
$\therefore -(x+2)^2≤0$
$\therefore -(x+2)^2+16≤16$
当$x+2=0$即$x=-2$时，等号成立，此时多项式取得最大值16。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+6)(x-2)}$
(2) 有最大值，当$\boldsymbol{x=-2}$时取得最大值$\boldsymbol{16}$
【知识点】
因式分解，配方法，平方的非负性
【点评】
本题重点考查因式分解的方法及配方法求多项式最值的应用，需要学生灵活迁移题干给出的方法，掌握配方技巧和平方非负性的应用，属于对基础方法应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
1. 计算$(-2)^{2024}+(-2)^{2025}$等于（
A.$-2^{2024}$
B.$-2^{2025}$
C.$2^{2024}$
D.$-2$
A
）A.$-2^{2024}$
B.$-2^{2025}$
C.$2^{2024}$
D.$-2$
答案
1.A
解析
【分析】
观察算式发现是两个底数为-2的幂相加，指数为相邻整数，可按照以下思路解题：首先确定两个项的公因式为$(-2)^{2024}$，把$(-2)^{2025}$拆分为$(-2)^{2024}×(-2)$，再提取公因式化简，最后结合负数偶次幂的符号性质得到最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：先对$(-2)^{2025}$变形，再提取公因式计算：
$\begin{aligned}(-2)^{2024}+(-2)^{2025}&=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)\\&=(-2)^{2024}×[1+(-2)]\\&=(-2)^{2024}×(-1)\end{aligned}$
根据负数的偶次幂为正，可得$(-2)^{2024}=2^{2024}$，代入得：
原式$=2^{2024}×(-1)=-2^{2024}$
故选A。
【答案】A
【知识点】
同底数幂的运算；提公因式法因式分解；有理数乘方的符号法则
【点评】
本题属于幂运算的基础常考题，解题关键是准确识别公因式，熟练掌握乘方的符号规律，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
观察算式发现是两个底数为-2的幂相加，指数为相邻整数，可按照以下思路解题：首先确定两个项的公因式为$(-2)^{2024}$，把$(-2)^{2025}$拆分为$(-2)^{2024}×(-2)$，再提取公因式化简，最后结合负数偶次幂的符号性质得到最终结果，对应选项即可。
【解析】
解：先对$(-2)^{2025}$变形，再提取公因式计算：
$\begin{aligned}(-2)^{2024}+(-2)^{2025}&=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)\\&=(-2)^{2024}×[1+(-2)]\\&=(-2)^{2024}×(-1)\end{aligned}$
根据负数的偶次幂为正，可得$(-2)^{2024}=2^{2024}$，代入得：
原式$=2^{2024}×(-1)=-2^{2024}$
故选A。
【答案】A
【知识点】
同底数幂的运算；提公因式法因式分解；有理数乘方的符号法则
【点评】
本题属于幂运算的基础常考题，解题关键是准确识别公因式，熟练掌握乘方的符号规律，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
2. 下列计算中：
① $x(2x^2 - x + 1) = 2x^3 - x^2 + 1$；
② $(a + b)^2 = a^2 + b^2$；
③ $(x - 4)^2 = x^2 - 4x + 16$；
④ $(5a - 1)(-5a - 1) = 25a^2 - 1$；
⑤ $(-a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
错误的个数为 (
A.2
B.3
C.4
D.5
① $x(2x^2 - x + 1) = 2x^3 - x^2 + 1$；
② $(a + b)^2 = a^2 + b^2$；
③ $(x - 4)^2 = x^2 - 4x + 16$；
④ $(5a - 1)(-5a - 1) = 25a^2 - 1$；
⑤ $(-a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
错误的个数为 (
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要逐个验证5个整式运算的正确性，先回忆单项式乘多项式法则、完全平方公式、平方差公式的结构特征，再分别计算每个式子的正确结果，和题目给出的结果对比，统计错误的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个计算是否正确：
① 单项式乘多项式，需用单项式乘多项式的每一项再相加：
$x(2x^2 - x + 1) = x·2x^2 + x·(-x) + x·1 = 2x^3 - x^2 + x$，题目给出的结果漏了$x$项，计算错误；
② 完全平方和公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，题目结果漏了交叉项$2ab$，计算错误；
③ 完全平方差公式：$(x-4)^2 = x^2 - 2· x·4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$，题目结果的中间项系数错误，计算错误；
④ 平方差公式变形：$(5a-1)(-5a-1) = (-1 + 5a)(-1 -5a) = (-1)^2 - (5a)^2 = 1 - 25a^2$，题目结果符号错误，计算错误；
⑤ $(-a -b)^2 = [-(a+b)]^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，计算正确。
综上，①②③④共4个计算错误。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础考察题，核心是熟练掌握各类整式运算的法则和公式结构，特别要注意公式中的符号、项数，避免出现漏乘、记错公式的常见错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要逐个验证5个整式运算的正确性，先回忆单项式乘多项式法则、完全平方公式、平方差公式的结构特征，再分别计算每个式子的正确结果，和题目给出的结果对比，统计错误的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个计算是否正确：
① 单项式乘多项式，需用单项式乘多项式的每一项再相加：
$x(2x^2 - x + 1) = x·2x^2 + x·(-x) + x·1 = 2x^3 - x^2 + x$，题目给出的结果漏了$x$项，计算错误；
② 完全平方和公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，题目结果漏了交叉项$2ab$，计算错误；
③ 完全平方差公式：$(x-4)^2 = x^2 - 2· x·4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$，题目结果的中间项系数错误，计算错误；
④ 平方差公式变形：$(5a-1)(-5a-1) = (-1 + 5a)(-1 -5a) = (-1)^2 - (5a)^2 = 1 - 25a^2$，题目结果符号错误，计算错误；
⑤ $(-a -b)^2 = [-(a+b)]^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，计算正确。
综上，①②③④共4个计算错误。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础考察题，核心是熟练掌握各类整式运算的法则和公式结构，特别要注意公式中的符号、项数，避免出现漏乘、记错公式的常见错误。
【难度系数】
0.7
