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3. 多项式$x^2 - y^2$与$x^2 + 2xy + y^2$的公因式是（
A.$x^2 - y^2$
B.$x + y$
C.$x - y$
D.$(x + y)(x - y)$
B
）A.$x^2 - y^2$
B.$x + y$
C.$x - y$
D.$(x + y)(x - y)$
答案
3.B
解析
【分析】
要找两个多项式的公因式，首先需要利用因式分解的相关公式将两个多项式分别分解为几个整式乘积的形式，再从中找出两个式子都包含的相同因式，即为所求公因式。
【解析】
第一步，对多项式$x^2 - y^2$因式分解，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
第二步，对多项式$x^2 + 2xy + y^2$因式分解，根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
第三步，观察两个分解后的整式乘积，共同含有的因式为$x + y$，因此两个多项式的公因式是$x + y$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的定义；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查公因式的判断，解题的核心是熟练运用乘法公式对多项式进行正确的因式分解，再提取公共因式，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
要找两个多项式的公因式，首先需要利用因式分解的相关公式将两个多项式分别分解为几个整式乘积的形式，再从中找出两个式子都包含的相同因式，即为所求公因式。
【解析】
第一步，对多项式$x^2 - y^2$因式分解，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
第二步，对多项式$x^2 + 2xy + y^2$因式分解，根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
第三步，观察两个分解后的整式乘积，共同含有的因式为$x + y$，因此两个多项式的公因式是$x + y$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的定义；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查公因式的判断，解题的核心是熟练运用乘法公式对多项式进行正确的因式分解，再提取公共因式，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
4. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是$x^{□}-4y^2$（“”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
D
）A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
答案
4.D
解析
【分析】要解决本题，首先需回忆平方差公式分解因式的适用条件：多项式必须是两个整式的平方相减的形式，即形如$a^2 - b^2$的式子可分解为$(a+b)(a-b)$。本题中后项$4y^2$可写成$(2y)^2$，因此前项$x^□$必须能表示为某个整式的平方，即x的指数必须是2的正整数倍，再结合指数是不大于10的正整数的限制，枚举所有符合条件的数即可。
【解析】设漏抄的x的指数为$n$，根据题意，$n$是不大于10的正整数。
若$x^n - 4y^2$能利用平方差公式分解因式，则$x^n$必须是一个整式的平方，即$n$为2的正整数倍。
符合条件的$n$的值为：2、4、6、8、10，共5种可能。
【答案】D
【知识点】平方差公式分解因式；幂的乘方的逆用
【点评】本题重点考查平方差公式的应用条件，解题的核心是判断出x的指数必须为偶数，结合题目给出的指数范围筛选即可，注意不要遗漏符合条件的边界值10。
【难度系数】0.7
【解析】设漏抄的x的指数为$n$，根据题意，$n$是不大于10的正整数。
若$x^n - 4y^2$能利用平方差公式分解因式，则$x^n$必须是一个整式的平方，即$n$为2的正整数倍。
符合条件的$n$的值为：2、4、6、8、10，共5种可能。
【答案】D
【知识点】平方差公式分解因式；幂的乘方的逆用
【点评】本题重点考查平方差公式的应用条件，解题的核心是判断出x的指数必须为偶数，结合题目给出的指数范围筛选即可，注意不要遗漏符合条件的边界值10。
【难度系数】0.7
5. 现有A,B,C三种型号的地砖,其规格如图所示,用这三种地砖铺设一个长为$x+y$,宽为$3x+2y$的长方形地面,则需要A型地砖
3
块.答案
5.3
解析
【分析】
要确定A型地砖的数量，可先计算待铺设长方形地面的总面积，再分别得到三种地砖的面积：A型地砖面积为$x^2$，B型为$xy$，C型为$y^2$。将总面积的多项式展开后，$x^2$项的系数就是A型地砖的数量，每块A型地砖对应展开式里的1个$x^2$项。
【解析】
首先计算长为$x+y$、宽为$3x+2y$的长方形地面的面积，根据多项式乘多项式的运算法则：
$\begin{aligned}S&=(x+y)(3x+2y)\\&=x·3x + x·2y + y·3x + y·2y\\&=3x^2 + 2xy + 3xy + 2y^2\\&=3x^2 + 5xy + 2y^2\end{aligned}$
已知A型地砖是边长为$x$的正方形，单块面积为$x^2$，因此展开式中$x^2$项的系数3即为需要A型地砖的数量。
【答案】
3
【知识点】
多项式乘多项式，面积计算
【点评】
本题将整式运算与几何面积问题结合，解题核心是理解多项式展开后各项系数对应对应规格地砖的数量，无需实际拼图，通过代数运算即可快速得到结果，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要确定A型地砖的数量，可先计算待铺设长方形地面的总面积，再分别得到三种地砖的面积：A型地砖面积为$x^2$，B型为$xy$，C型为$y^2$。将总面积的多项式展开后，$x^2$项的系数就是A型地砖的数量，每块A型地砖对应展开式里的1个$x^2$项。
【解析】
首先计算长为$x+y$、宽为$3x+2y$的长方形地面的面积，根据多项式乘多项式的运算法则：
$\begin{aligned}S&=(x+y)(3x+2y)\\&=x·3x + x·2y + y·3x + y·2y\\&=3x^2 + 2xy + 3xy + 2y^2\\&=3x^2 + 5xy + 2y^2\end{aligned}$
已知A型地砖是边长为$x$的正方形，单块面积为$x^2$，因此展开式中$x^2$项的系数3即为需要A型地砖的数量。
【答案】
3
【知识点】
多项式乘多项式，面积计算
【点评】
本题将整式运算与几何面积问题结合，解题核心是理解多项式展开后各项系数对应对应规格地砖的数量，无需实际拼图，通过代数运算即可快速得到结果，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
6. 若多项式$x^2-(1+m)x+9$能用完全平方公式进行因式分解，则$m$的值为
5或-7
.答案
6.5或-7
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。要让给定多项式能用完全平方公式因式分解，先确定公式对应的a和b：多项式首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；末项9是$3^2$，对应$b^2$，可得$b=3$。接下来可知中间项必须等于$\pm2ab=\pm6x$，再将已知多项式的中间项和该结果对应，列关于m的方程求解即可，注意要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵ 多项式$x^2-(1+m)x+9$能用完全平方公式进行因式分解，完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
∴ 该多项式中$a=x$，$b=3$，中间项满足：
$-(1+m)x=\pm 2· x· 3=\pm6x$
即 $-(1+m)=6$ 或 $-(1+m)=-6$
当$-(1+m)=6$时，解得$m=-7$
当$-(1+m)=-6$时，解得$m=5$
【答案】
5或-7
【知识点】
完全平方公式，因式分解，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题时要注意完全平方公式包含和的平方、差的平方两种形式，不要遗漏任意一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。要让给定多项式能用完全平方公式因式分解，先确定公式对应的a和b：多项式首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；末项9是$3^2$，对应$b^2$，可得$b=3$。接下来可知中间项必须等于$\pm2ab=\pm6x$，再将已知多项式的中间项和该结果对应，列关于m的方程求解即可，注意要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵ 多项式$x^2-(1+m)x+9$能用完全平方公式进行因式分解，完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
∴ 该多项式中$a=x$，$b=3$，中间项满足：
$-(1+m)x=\pm 2· x· 3=\pm6x$
即 $-(1+m)=6$ 或 $-(1+m)=-6$
当$-(1+m)=6$时，解得$m=-7$
当$-(1+m)=-6$时，解得$m=5$
【答案】
5或-7
【知识点】
完全平方公式，因式分解，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题时要注意完全平方公式包含和的平方、差的平方两种形式，不要遗漏任意一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
7. 阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法
有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等.
(1)分组分解法:将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.如:
$ax+by+bx+ay$
$=(ax+bx)+(ay+by)$
$=x(a+b)+y(a+b)$
$=(a+b)(x+y).$
$2xy+y^2-1+x^2$
$=x^2+2xy+y^2-1$
$=(x+y)^2-1$
$=(x+y+1)(x+y-1).$
(2)拆项法:将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.如:
$x^2+2x-3$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-2^2$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1).$
请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:
(1)分解因式:$a^2-b^2+a-b$;
(2)分解因式:$x^2-6x-7$;
(3)分解因式:$a^2+4ab-5b^2.$
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法
有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等.
(1)分组分解法:将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.如:
$ax+by+bx+ay$
$=(ax+bx)+(ay+by)$
$=x(a+b)+y(a+b)$
$=(a+b)(x+y).$
$2xy+y^2-1+x^2$
$=x^2+2xy+y^2-1$
$=(x+y)^2-1$
$=(x+y+1)(x+y-1).$
(2)拆项法:将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.如:
$x^2+2x-3$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-2^2$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1).$
请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:
(1)分解因式:$a^2-b^2+a-b$;
(2)分解因式:$x^2-6x-7$;
(3)分解因式:$a^2+4ab-5b^2.$
答案
7.(1)$(a-b)(a+b+1)$
(2)$(x-7)(x+1)$
(3)$(a+5b)(a-b)$
(2)$(x-7)(x+1)$
(3)$(a+5b)(a-b)$
解析
【分析】
(1) 观察多项式$a^2-b^2+a-b$，前两项符合平方差公式特征，先利用平方差公式分解前两项，可得到公因式$(a-b)$，再和后两项合并提取公因式即可完成分解。
(2) 观察二次三项式$x^2-6x-7$，可参照材料中的拆项法，先将前两项配成完全平方式，把$-7$拆为$9-16$，转化为平方差形式后再分解。
(3) 观察多项式$a^2+4ab-5b^2$，可采用拆项法将$4ab$拆为$5ab-ab$，分组后提取公因式完成分解，也可配成完全平方后转化为平方差形式分解。
【解析】
(1) 分解$a^2-b^2+a-b$：
$\begin{aligned}原式&=(a+b)(a-b)+(a-b)\\&=(a-b)(a+b+1)\end{aligned}$
(2) 分解$x^2-6x-7$：
$\begin{aligned}原式&=x^2-6x+9-16\\&=(x-3)^2-4^2\\&=(x-3+4)(x-3-4)\\&=(x+1)(x-7)\end{aligned}$
(3) 分解$a^2+4ab-5b^2$：
$\begin{aligned}原式&=a^2+5ab-ab-5b^2\\&=(a^2+5ab)-(ab+5b^2)\\&=a(a+5b)-b(a+5b)\\&=(a+5b)(a-b)\end{aligned}$
（也可通过配完全平方转化为平方差形式求解，结果一致即可）
【答案】
(1) $(a-b)(a+b+1)$
(2) $(x-7)(x+1)$
(3) $(a+5b)(a-b)$
【知识点】
分组分解法，拆项分解法，公式法因式分解
【点评】
本题是材料阅读类题型，重点考查对新的因式分解方法的理解和迁移运用能力，解题时要先分析多项式的结构特征，灵活选择匹配的分解方法，注意最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
(1) 观察多项式$a^2-b^2+a-b$，前两项符合平方差公式特征，先利用平方差公式分解前两项，可得到公因式$(a-b)$，再和后两项合并提取公因式即可完成分解。
(2) 观察二次三项式$x^2-6x-7$，可参照材料中的拆项法，先将前两项配成完全平方式，把$-7$拆为$9-16$，转化为平方差形式后再分解。
(3) 观察多项式$a^2+4ab-5b^2$，可采用拆项法将$4ab$拆为$5ab-ab$，分组后提取公因式完成分解，也可配成完全平方后转化为平方差形式分解。
【解析】
(1) 分解$a^2-b^2+a-b$：
$\begin{aligned}原式&=(a+b)(a-b)+(a-b)\\&=(a-b)(a+b+1)\end{aligned}$
(2) 分解$x^2-6x-7$：
$\begin{aligned}原式&=x^2-6x+9-16\\&=(x-3)^2-4^2\\&=(x-3+4)(x-3-4)\\&=(x+1)(x-7)\end{aligned}$
(3) 分解$a^2+4ab-5b^2$：
$\begin{aligned}原式&=a^2+5ab-ab-5b^2\\&=(a^2+5ab)-(ab+5b^2)\\&=a(a+5b)-b(a+5b)\\&=(a+5b)(a-b)\end{aligned}$
（也可通过配完全平方转化为平方差形式求解，结果一致即可）
【答案】
(1) $(a-b)(a+b+1)$
(2) $(x-7)(x+1)$
(3) $(a+5b)(a-b)$
【知识点】
分组分解法，拆项分解法，公式法因式分解
【点评】
本题是材料阅读类题型，重点考查对新的因式分解方法的理解和迁移运用能力，解题时要先分析多项式的结构特征，灵活选择匹配的分解方法，注意最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
