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1. 下表是一组二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的对应值：
那么下列选项中可能是方程$ax^2+bx+c=0$的近似根的是（
A.1.2
B.1.3
C.1.4
D.1.5
那么下列选项中可能是方程$ax^2+bx+c=0$的近似根的是（
B
）A.1.2
B.1.3
C.1.4
D.1.5
答案
1.B
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的近似根，首先要明确该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$值。首先观察表格中$y$的正负变化：当$x=1.3$时$y$为负，$x=1.4$时$y$为正，说明根在1.3和1.4之间；再比较两个$x$对应的$y$值和0的距离，哪个$y$更接近0，对应的$x$就更接近方程的根。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时自变量$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.3$时，$y=-0.01＜0$；当$x=1.4$时，$y=0.36＞0$，根据二次函数的连续性可知，方程的根在$1.3＜x＜1.4$的范围内。
再比较函数值与0的接近程度：$|-0.01|=0.01$，$|0.36|=0.36$，$0.01＜0.36$，说明$x=1.3$对应的函数值更接近0，因此方程的近似根为1.3。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 近似根估算
【点评】
本题考查利用二次函数的对应值判断一元二次方程近似根的能力，解题核心是抓住方程的根对应函数值为0的自变量取值，结合函数值的正负变化和与0的距离判断即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的近似根，首先要明确该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$值。首先观察表格中$y$的正负变化：当$x=1.3$时$y$为负，$x=1.4$时$y$为正，说明根在1.3和1.4之间；再比较两个$x$对应的$y$值和0的距离，哪个$y$更接近0，对应的$x$就更接近方程的根。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时自变量$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.3$时，$y=-0.01＜0$；当$x=1.4$时，$y=0.36＞0$，根据二次函数的连续性可知，方程的根在$1.3＜x＜1.4$的范围内。
再比较函数值与0的接近程度：$|-0.01|=0.01$，$|0.36|=0.36$，$0.01＜0.36$，说明$x=1.3$对应的函数值更接近0，因此方程的近似根为1.3。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 近似根估算
【点评】
本题考查利用二次函数的对应值判断一元二次方程近似根的能力，解题核心是抓住方程的根对应函数值为0的自变量取值，结合函数值的正负变化和与0的距离判断即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
2. 观察下面的表格，一元二次方程$x^2 - x = 1.4$的一个近似解是（
A.0.11
B.1.6
C.1.7
D.1.8
D
）A.0.11
B.1.6
C.1.7
D.1.8
答案
2.D
解析
【分析】
要确定一元二次方程$x^2 - x = 1.4$的近似解，本质是找使代数式$x^2 - x$的值最接近1.4的$x$的取值。观察表格可知，$x$从1.1到1.9递增时，$x^2 - x$的值也逐渐增大，因此先找到$x^2 - x$的值在1.4附近的两个相邻$x$，再分别计算它们对应的$x^2 - x$与1.4的差值，差值更小的对应的$x$就是方程的近似解。
【解析】
我们需要找到满足$x^2 - x = 1.4$的近似$x$值：
1. 查看表格数据：当$x=1.7$时，$x^2 - x = 1.19$；当$x=1.8$时，$x^2 - x = 1.44$。
2. 比较两个值与1.4的接近程度：
$1.4 - 1.19 = 0.21$，$1.44 - 1.4 = 0.04$。
3. 因为$0.04 ＜ 0.21$，说明$x=1.8$时，$x^2 - x$的值更接近1.4，因此方程的一个近似解为1.8。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程近似解估算；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查利用表格数据判断一元二次方程近似解的方法，解题核心是通过对比函数值和目标值的差值大小，确定最接近的自变量取值，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$x^2 - x = 1.4$的近似解，本质是找使代数式$x^2 - x$的值最接近1.4的$x$的取值。观察表格可知，$x$从1.1到1.9递增时，$x^2 - x$的值也逐渐增大，因此先找到$x^2 - x$的值在1.4附近的两个相邻$x$，再分别计算它们对应的$x^2 - x$与1.4的差值，差值更小的对应的$x$就是方程的近似解。
【解析】
我们需要找到满足$x^2 - x = 1.4$的近似$x$值：
1. 查看表格数据：当$x=1.7$时，$x^2 - x = 1.19$；当$x=1.8$时，$x^2 - x = 1.44$。
2. 比较两个值与1.4的接近程度：
$1.4 - 1.19 = 0.21$，$1.44 - 1.4 = 0.04$。
3. 因为$0.04 ＜ 0.21$，说明$x=1.8$时，$x^2 - x$的值更接近1.4，因此方程的一个近似解为1.8。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程近似解估算；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查利用表格数据判断一元二次方程近似解的方法，解题核心是通过对比函数值和目标值的差值大小，确定最接近的自变量取值，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=ax^2 -2ax + c$（$a≠0,a,c$为常数），下表给出了自变量$x$与函数值$y$的部分对应值：
根据表格，可以估计方程$ax^2 -2ax + c =5$的近似解是（
A.$-0.55$和$2.55$
B.$1.45$和$2.55$
C.$1.25$和$2.75$
D.$-0.75$和$2.75$
根据表格，可以估计方程$ax^2 -2ax + c =5$的近似解是（
D
）A.$-0.55$和$2.55$
B.$1.45$和$2.55$
C.$1.25$和$2.75$
D.$-0.75$和$2.75$
答案
3.D
解析
【分析】
解题思路分三步：①先利用二次函数对称轴公式求出该函数的对称轴，可知方程$ax^2-2ax+c=5$的两个解关于对称轴对称，即两个解的和为定值，可先排除不符合对称关系的选项；②观察表格中y值与5的大小关系，确定其中一个解的取值范围；③结合对称性求出另一个解，匹配正确选项。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得对称轴$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，因此方程$ax^2-2ax+c=5$的两个解关于直线$x=1$对称，即两个解的和为$1×2=2$。
2. 排除错误选项：观察选项，B选项两解和为$1.45+2.55=4$，C选项两解和为$1.25+2.75=4$，均不符合和为2的要求，直接排除B、C。
3. 确定解的范围：观察表格数据，当$x=2.7$时，$y=4.89＜5$；当$x=2.8$时，$y=5.24＞5$，因此$y=5$对应的一个$x$值在2.7~2.8之间，A选项的正根为2.55，不在该范围，排除A。
4. 验证D选项：正根为2.75，符合2.7~2.8的范围，另一个根为$2-2.75=-0.75$，符合要求。
【答案】D
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题将二次函数性质与一元二次方程近似解结合考查，解题关键是先利用对称轴的对称性缩小选项范围，再结合表格的函数值确定解的区间，减少计算量，同时也考查了学生读表分析数据的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：①先利用二次函数对称轴公式求出该函数的对称轴，可知方程$ax^2-2ax+c=5$的两个解关于对称轴对称，即两个解的和为定值，可先排除不符合对称关系的选项；②观察表格中y值与5的大小关系，确定其中一个解的取值范围；③结合对称性求出另一个解，匹配正确选项。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得对称轴$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，因此方程$ax^2-2ax+c=5$的两个解关于直线$x=1$对称，即两个解的和为$1×2=2$。
2. 排除错误选项：观察选项，B选项两解和为$1.45+2.55=4$，C选项两解和为$1.25+2.75=4$，均不符合和为2的要求，直接排除B、C。
3. 确定解的范围：观察表格数据，当$x=2.7$时，$y=4.89＜5$；当$x=2.8$时，$y=5.24＞5$，因此$y=5$对应的一个$x$值在2.7~2.8之间，A选项的正根为2.55，不在该范围，排除A。
4. 验证D选项：正根为2.75，符合2.7~2.8的范围，另一个根为$2-2.75=-0.75$，符合要求。
【答案】D
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题将二次函数性质与一元二次方程近似解结合考查，解题关键是先利用对称轴的对称性缩小选项范围，再结合表格的函数值确定解的区间，减少计算量，同时也考查了学生读表分析数据的能力。
【难度系数】
0.7
4. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 的对应关系如下表，设一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根为 $ x_1, x_2 $，且 $ x_1 ＜ x_2 $，则下列说法正确的是
（
A.$ -1.5 ＜ x_1 ＜ -1 $
B.$ -1 ＜ x_1 ＜ -0.5 $
C.$ 0.5 ＜ x_2 ＜ 1 $
D.$ 1 ＜ x_2 ＜ 1.5 $
（
A
）A.$ -1.5 ＜ x_1 ＜ -1 $
B.$ -1 ＜ x_1 ＜ -0.5 $
C.$ 0.5 ＜ x_2 ＜ 1 $
D.$ 1 ＜ x_2 ＜ 1.5 $
答案
4.A
解析
【分析】
解题的核心是明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的自变量$x$的值，也就是函数图象与$x$轴交点的横坐标。由于二次函数图象是连续的，当相邻两个$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，即方程的一个根落在这个区间内。我们只需观察表格中$y$值的正负变化区间，结合$x_1＜x_2$的条件，逐一匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的根就是$y=0$时$x$的取值：
1. 观察表格：当$x=-1.5$时，$y=-0.22＜0$；当$x=-1$时，$y=0.13＞0$，说明在$-1.5＜x＜-1$的区间内，存在一个$x$使得$y=0$，即一个根在此区间内。
2. 当$x=2$时，$y=0.13＞0$；当$x=2.5$时，$y=-0.22＜0$，说明另一个根在$2＜x＜2.5$的区间内。
已知$x_1＜x_2$，因此$x_1\in(-1.5,-1)$，$x_2\in(2,2.5)$，对比选项，只有A符合结论。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；利用函数值判断方程根的区间
【点评】
本题侧重考查对二次函数和一元二次方程对应关系的理解，无需计算解析式，只需通过观察函数值的符号变化就能确定根的大致范围，是二次函数应用类的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的自变量$x$的值，也就是函数图象与$x$轴交点的横坐标。由于二次函数图象是连续的，当相邻两个$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，即方程的一个根落在这个区间内。我们只需观察表格中$y$值的正负变化区间，结合$x_1＜x_2$的条件，逐一匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的根就是$y=0$时$x$的取值：
1. 观察表格：当$x=-1.5$时，$y=-0.22＜0$；当$x=-1$时，$y=0.13＞0$，说明在$-1.5＜x＜-1$的区间内，存在一个$x$使得$y=0$，即一个根在此区间内。
2. 当$x=2$时，$y=0.13＞0$；当$x=2.5$时，$y=-0.22＜0$，说明另一个根在$2＜x＜2.5$的区间内。
已知$x_1＜x_2$，因此$x_1\in(-1.5,-1)$，$x_2\in(2,2.5)$，对比选项，只有A符合结论。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；利用函数值判断方程根的区间
【点评】
本题侧重考查对二次函数和一元二次方程对应关系的理解，无需计算解析式，只需通过观察函数值的符号变化就能确定根的大致范围，是二次函数应用类的基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 小颖用计算器探索方程$ax^2+bx+c=0$的根，她作出的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，并求得一个近似根为$x=-4.3$，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（
A.$x=4.3$
B.$x=3.3$
C.$x=2.3$
D.$x=1.3$
C
）A.$x=4.3$
B.$x=3.3$
C.$x=2.3$
D.$x=1.3$
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的根与对应二次函数图象和x轴交点横坐标的关系，再结合二次函数的轴对称性分析：二次函数图象关于对称轴对称，因此它与x轴的两个交点也关于对称轴对称，两个交点横坐标（即方程的两个根）的平均值等于对称轴对应的x值，利用这个性质就能计算出另一个近似根。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，且抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称。
由图可知抛物线的对称轴为直线$x=-1$，设方程的另一个近似根为$x$，根据对称性质可得：
$\frac{-4.3 + x}{2} = -1$
解得：$x = -1 × 2 + 4.3 = 2.3$
因此方程的另一个近似根为$x=2.3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；中点坐标计算
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的核心是理解抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，两个根的算术平均数等于对称轴对应的横坐标，掌握这个规律就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的根与对应二次函数图象和x轴交点横坐标的关系，再结合二次函数的轴对称性分析：二次函数图象关于对称轴对称，因此它与x轴的两个交点也关于对称轴对称，两个交点横坐标（即方程的两个根）的平均值等于对称轴对应的x值，利用这个性质就能计算出另一个近似根。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，且抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称。
由图可知抛物线的对称轴为直线$x=-1$，设方程的另一个近似根为$x$，根据对称性质可得：
$\frac{-4.3 + x}{2} = -1$
解得：$x = -1 × 2 + 4.3 = 2.3$
因此方程的另一个近似根为$x=2.3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；中点坐标计算
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的核心是理解抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，两个根的算术平均数等于对称轴对应的横坐标，掌握这个规律就能快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 若二次函数$y=x^2+bx$的图象的对称轴是经过点$(2,0)$且平行于$y$轴的直线，则关于$x$的方程$x^2+bx=5$的解为（
A.$x_1=0,x_2=4$
B.$x_1=1,x_2=5$
C.$x_1=1,x_2=-5$
D.$x_1=-1,x_2=5$
D
）A.$x_1=0,x_2=4$
B.$x_1=1,x_2=5$
C.$x_1=1,x_2=-5$
D.$x_1=-1,x_2=5$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先明确二次函数对称轴的计算方法：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题已知对称轴是过点$(2,0)$且平行于$y$轴的直线，即对称轴为$x=2$，代入对称轴公式即可求出参数$b$的值；再将$b$代入待解的一元二次方程，求解方程即可得到对应选项。
【解析】
1. 求参数$b$的值
二次函数$y=x^2+bx$中$a=1$，因此对称轴为直线$x=-\frac{b}{2×1}=-\frac{b}{2}$。
由题意得对称轴为$x=2$，列方程：
$-\frac{b}{2}=2$
解得$b=-4$。
2. 解一元二次方程
将$b=-4$代入方程$x^2+bx=5$，得：
$x^2-4x=5$
移项整理为标准形式：$x^2-4x-5=0$
因式分解得：$(x-5)(x+1)=0$
即$x-5=0$或$x+1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础综合题，将二次函数性质与一元二次方程求解结合考查，解题核心是先通过对称轴求出未知参数，再代入解方程，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先明确二次函数对称轴的计算方法：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题已知对称轴是过点$(2,0)$且平行于$y$轴的直线，即对称轴为$x=2$，代入对称轴公式即可求出参数$b$的值；再将$b$代入待解的一元二次方程，求解方程即可得到对应选项。
【解析】
1. 求参数$b$的值
二次函数$y=x^2+bx$中$a=1$，因此对称轴为直线$x=-\frac{b}{2×1}=-\frac{b}{2}$。
由题意得对称轴为$x=2$，列方程：
$-\frac{b}{2}=2$
解得$b=-4$。
2. 解一元二次方程
将$b=-4$代入方程$x^2+bx=5$，得：
$x^2-4x=5$
移项整理为标准形式：$x^2-4x-5=0$
因式分解得：$(x-5)(x+1)=0$
即$x-5=0$或$x+1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础综合题，将二次函数性质与一元二次方程求解结合考查，解题核心是先通过对称轴求出未知参数，再代入解方程，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
7. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，
则关于$x$的不等式$ax^2+bx+c≥2$的解集是（
A.$x≤2$
B.$x≤0$
C.$-3≤ x≤0$
D.$x≤-3$或$x≥0$
则关于$x$的不等式$ax^2+bx+c≥2$的解集是（
C
）A.$x≤2$
B.$x≤0$
C.$-3≤ x≤0$
D.$x≤-3$或$x≥0$
答案
7.C
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c≥2$，本质是求二次函数图象上函数值$y≥2$时对应的自变量x的取值范围。首先从图象提取关键信息：抛物线开口向下，与y轴交点为$(0,2)$，对称轴为直线$x=-\frac{3}{2}$。接下来利用二次函数的对称性，找到函数值为2的另一个对应点的横坐标，再结合开口方向即可判断出符合要求的x的范围。
【解析】
观察图象可得：
① 二次函数图象过点$(0,2)$，即当$x=0$时，$y=ax^2+bx+c=2$；
② 二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{3}{2}$；
③ 抛物线开口向下。
根据二次函数的对称性，设$y=2$时对应的另一个横坐标为$m$，则对称轴为两点横坐标的中点：
$\frac{m+0}{2}=-\frac{3}{2}$
解得$m=-3$，即当$x=-3$时，$y=2$。
由于抛物线开口向下，所以在两个函数值为2的点之间的图象对应的y值均≥2，即不等式$ax^2+bx+c≥2$的解集为$-3≤x≤0$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称性，二次函数与不等式
【点评】
本题将二次函数图象和一元二次不等式结合考查，核心是利用二次函数的对称性找到函数值相等的对应点，再结合开口方向判断取值范围，很好地体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax^2+bx+c≥2$，本质是求二次函数图象上函数值$y≥2$时对应的自变量x的取值范围。首先从图象提取关键信息：抛物线开口向下，与y轴交点为$(0,2)$，对称轴为直线$x=-\frac{3}{2}$。接下来利用二次函数的对称性，找到函数值为2的另一个对应点的横坐标，再结合开口方向即可判断出符合要求的x的范围。
【解析】
观察图象可得：
① 二次函数图象过点$(0,2)$，即当$x=0$时，$y=ax^2+bx+c=2$；
② 二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{3}{2}$；
③ 抛物线开口向下。
根据二次函数的对称性，设$y=2$时对应的另一个横坐标为$m$，则对称轴为两点横坐标的中点：
$\frac{m+0}{2}=-\frac{3}{2}$
解得$m=-3$，即当$x=-3$时，$y=2$。
由于抛物线开口向下，所以在两个函数值为2的点之间的图象对应的y值均≥2，即不等式$ax^2+bx+c≥2$的解集为$-3≤x≤0$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称性，二次函数与不等式
【点评】
本题将二次函数图象和一元二次不等式结合考查，核心是利用二次函数的对称性找到函数值相等的对应点，再结合开口方向判断取值范围，很好地体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
