例 求一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个解.
(1)方法一:选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解.
(2)方法二:利用二次函数的图象与坐标轴的交点求解.

如图,把方程$x^2 - x - 2 = 0$的解看成二次函数$y=$的图象与$x$轴交点的横坐标,即就是方程的解.
(3)方法三:利用两个函数图象的交点求解.
①把方程$x^2 - x - 2 = 0$的解看成一个二次函数$y=$的图象与一个一次函数$y=$的图象交点的横坐标;
②画出这两个函数的图象,并在$x$轴上标出方程的解:.
解:(1)∵ $a=1,b=-1,c=-2$,
∴ $b^2 -4ac=9＞0$.
∴ 该方程有两个不相等的实数根.
∴ $x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$.
∴ $x_1=2,x_2=-1$.
(2)$x^2 -x -2$ $x_1=2,x_2=-1$
(3)①$x^2$ $x+2$(或$x^2 -2$ $x$等)
②如图 $x_1=2,x_2=-1$

方法点拨 本题考查一元二次方程的求解方法、二次函数与一元二次方程的综合应用以及一题多解的数学方法.

解：
(1) 选用公式法求解：
$\because a=1,\,b=-1,\,c=-2$，
$\therefore b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-2)=9＞0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根，
$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$，
$\therefore x_1=2,\,x_2=-1$。
(2) $x^2-x-2$；$x_1=2,\,x_2=-1$
(3) ① $x^2$；$x+2$（答案不唯一，也可填写$x^2-2$、$x$）
② $x_1=2,\,x_2=-1$

【分析】
本题考查一元二次方程的多种求解方法，需结合代数计算与数形结合思想解题：①方法一选公式法时，先明确一元二次方程一般形式中a、b、c的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可；②方法二利用二次函数与x轴交点的意义：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，据此可填空并得解；③方法三需将原方程变形为“二次函数表达式=一次函数表达式”的形式，两个函数图象交点的横坐标即为方程的解。
【解析】
(1) 选用公式法求解：
$\because$ 一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$中，$a=1,\,b=-1,\,c=-2$，
$\therefore$ 判别式$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-2)=9＞0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得$x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$，
$\therefore x_1=2,\,x_2=-1$。
(2) 根据二次函数与一元二次方程的对应关系，方程$x^2 - x - 2 = 0$的解可看成二次函数$y=x^2-x-2$的图象与x轴交点的横坐标，即$x_1=2,\,x_2=-1$就是方程的解。
(3) ① 将原方程移项变形为$x^2 = x+2$，可把方程的解看成二次函数$y=x^2$的图象与一次函数$y=x+2$的图象交点的横坐标（也可变形为$x^2-2=x$，对应填$y=x^2-2$和$y=x$）；
② 两个函数图象交点的横坐标即为方程的解，即$x_1=2,\,x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=2,\,x_2=-1$
(2) $x^2-x-2$；$x_1=2,\,x_2=-1$
(3) ① $x^2$；$x+2$（答案不唯一，也可填$x^2-2$、$x$） ② $x_1=2,\,x_2=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 函数图象交点意义
【点评】
本题采用一题多解的形式，既考查了一元二次方程的常规代数解法，又渗透了数形结合的数学思想，帮助学生理解代数问题与几何问题的相互转化，侧重对基础概念和基础方法的考查。
【难度系数】
0.8