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8.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的$y$与$x$的部分对应值如下表：
根据表格中的信息，得到了如下结论：①二次函数$y=ax^2+bx+c$可改写为$y=a(x-1)^2-2$的形式；②二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向下；③关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-1.5$的两个根为0或2；④若$y＞0$，则$x＞3$。其中所有正确的结论为
根据表格中的信息，得到了如下结论：①二次函数$y=ax^2+bx+c$可改写为$y=a(x-1)^2-2$的形式；②二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向下；③关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-1.5$的两个根为0或2；④若$y＞0$，则$x＞3$。其中所有正确的结论为
①③
（填序号）。答案
8.①③
解析
【分析】
解题时首先根据表格中y=0的两个点的坐标求出抛物线的对称轴，确定顶点坐标，再代入点坐标求出a的值，然后结合二次函数的性质逐一验证四个结论是否正确：第一步利用抛物线的对称性找对称轴和顶点，验证结论①；第二步求a的正负判断开口方向，验证结论②；第三步利用对称性找y=-1.5对应的x值，验证结论③；第四步根据抛物线与x轴的交点确定y＞0的x范围，验证结论④。
【解析】
1. 求对称轴与顶点：由表格可知，x=-1和x=3时函数值均为0，即抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0)，因此抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$；又x=1时y=-2，故抛物线顶点为(1,-2)，因此二次函数可写为$y=a(x-1)^2-2$，结论①正确。
2. 判断开口方向：将点(0,-1.5)代入顶点式，得$-1.5=a(0-1)^2-2$，解得$a=\frac{1}{2}＞0$，因此二次函数图象开口向上，结论②错误。
3. 验证方程的根：当$y=-1.5$时，表格中已知x=0是一个解，根据抛物线对称轴为x=1，另一个解为$x=1×2-0=2$，即方程$ax^2+bx+c=-1.5$的两个根为0或2，结论③正确。
4. 确定y＞0的x范围：抛物线与x轴交点为(-1,0)、(3,0)，且开口向上，因此$y＞0$时$x＜-1$或$x＞3$，结论④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式；二次函数与方程的关系
【点评】
本题结合表格考查二次函数的相关性质，解题的核心是利用抛物线的对称性快速得到对称轴、顶点坐标以及对称点的函数值，能很好地考查对二次函数基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据表格中y=0的两个点的坐标求出抛物线的对称轴，确定顶点坐标，再代入点坐标求出a的值，然后结合二次函数的性质逐一验证四个结论是否正确：第一步利用抛物线的对称性找对称轴和顶点，验证结论①；第二步求a的正负判断开口方向，验证结论②；第三步利用对称性找y=-1.5对应的x值，验证结论③；第四步根据抛物线与x轴的交点确定y＞0的x范围，验证结论④。
【解析】
1. 求对称轴与顶点：由表格可知，x=-1和x=3时函数值均为0，即抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0)，因此抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$；又x=1时y=-2，故抛物线顶点为(1,-2)，因此二次函数可写为$y=a(x-1)^2-2$，结论①正确。
2. 判断开口方向：将点(0,-1.5)代入顶点式，得$-1.5=a(0-1)^2-2$，解得$a=\frac{1}{2}＞0$，因此二次函数图象开口向上，结论②错误。
3. 验证方程的根：当$y=-1.5$时，表格中已知x=0是一个解，根据抛物线对称轴为x=1，另一个解为$x=1×2-0=2$，即方程$ax^2+bx+c=-1.5$的两个根为0或2，结论③正确。
4. 确定y＞0的x范围：抛物线与x轴交点为(-1,0)、(3,0)，且开口向上，因此$y＞0$时$x＜-1$或$x＞3$，结论④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式；二次函数与方程的关系
【点评】
本题结合表格考查二次函数的相关性质，解题的核心是利用抛物线的对称性快速得到对称轴、顶点坐标以及对称点的函数值，能很好地考查对二次函数基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$图象的顶点坐标为$(3,-4)$,与一次函数$y=kx+m$的图象交于$A(1,0),B(6,5)$两点.
(1)请写出方程$ax^2+bx+c=0$的根.
(2)请写出方程$ax^2+bx+c=kx+m$的根.
(3)请写出不等式$ax^2+bx+c≥kx+m$的解集.
(4)若方程$ax^2+bx+c-n=3$有实数根,求$n$的取值范围.
(1)请写出方程$ax^2+bx+c=0$的根.
(2)请写出方程$ax^2+bx+c=kx+m$的根.
(3)请写出不等式$ax^2+bx+c≥kx+m$的解集.
(4)若方程$ax^2+bx+c-n=3$有实数根,求$n$的取值范围.
答案
9. (1)$x_1=1,x_2=5$
(2)$x_1=1,x_2=6$
(3)$x≤1$ 或 $x≥6$
(4)由题意得,抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与直线 $y=n+3$ 有公共点，
$\therefore 3+n≥-4.$
$\therefore n≥-7.$
(2)$x_1=1,x_2=6$
(3)$x≤1$ 或 $x≥6$
(4)由题意得,抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与直线 $y=n+3$ 有公共点，
$\therefore 3+n≥-4.$
$\therefore n≥-7.$
解析
【分析】
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。已知抛物线顶点为$(3,-4)$，可得对称轴为直线$x=3$，结合已知交点$A(1,0)$，利用抛物线对称性即可求出另一个与x轴交点的横坐标，得到方程的根。
(2) 方程$ax^2+bx+c=kx+m$的根对应两个函数图像交点的横坐标，直接读取已知交点的横坐标即可。
(3) 不等式$ax^2+bx+c≥kx+m$的解集，对应二次函数图像位于一次函数图像上方（含交点）时的x的取值范围，结合图像可直接得出。
(4) 先将方程变形为$ax^2+bx+c = n+3$，方程有实根说明抛物线与直线$y=n+3$有公共点，结合抛物线的最小值即可列出不等式求解n的范围。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(3,-4)$，
∴抛物线对称轴为直线$x=3$。
已知抛物线与x轴一个交点为$A(1,0)$，根据对称性，另一个交点的横坐标为$3+(3-1)=5$，即抛物线与x轴交点为$(1,0)$和$(5,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=1,x_2=5$。
(2)
∵二次函数与一次函数的交点为$A(1,0)$、$B(6,5)$，即当$x=1$和$x=6$时，两个函数值相等，因此方程$ax^2+bx+c=kx+m$的根为$x_1=1,x_2=6$。
(3) $ax^2+bx+c≥kx+m$表示二次函数图像在一次函数图像上方（包含交点）的区域，结合图像可得对应x的取值范围为$x≤1$或$x≥6$，即不等式的解集为$x≤1$或$x≥6$。
(4) 将方程$ax^2+bx+c-n=3$变形为$ax^2+bx+c = n+3$，方程有实根说明抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=n+3$有公共点。
∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-4$，即函数最小值为$-4$，
∴$n+3≥-4$，解得$n≥-7$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=5$
(2)$x_1=1,x_2=6$
(3)$x≤1$ 或 $x≥6$
(4)$n≥-7$
【知识点】
二次函数与方程的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数结合方程、不等式的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是理解函数图像交点、函数值大小关系与方程的根、不等式解集之间的对应关系，同时要熟练运用二次函数的对称性、最值等性质简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。已知抛物线顶点为$(3,-4)$，可得对称轴为直线$x=3$，结合已知交点$A(1,0)$，利用抛物线对称性即可求出另一个与x轴交点的横坐标，得到方程的根。
(2) 方程$ax^2+bx+c=kx+m$的根对应两个函数图像交点的横坐标，直接读取已知交点的横坐标即可。
(3) 不等式$ax^2+bx+c≥kx+m$的解集，对应二次函数图像位于一次函数图像上方（含交点）时的x的取值范围，结合图像可直接得出。
(4) 先将方程变形为$ax^2+bx+c = n+3$，方程有实根说明抛物线与直线$y=n+3$有公共点，结合抛物线的最小值即可列出不等式求解n的范围。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(3,-4)$，
∴抛物线对称轴为直线$x=3$。
已知抛物线与x轴一个交点为$A(1,0)$，根据对称性，另一个交点的横坐标为$3+(3-1)=5$，即抛物线与x轴交点为$(1,0)$和$(5,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=1,x_2=5$。
(2)
∵二次函数与一次函数的交点为$A(1,0)$、$B(6,5)$，即当$x=1$和$x=6$时，两个函数值相等，因此方程$ax^2+bx+c=kx+m$的根为$x_1=1,x_2=6$。
(3) $ax^2+bx+c≥kx+m$表示二次函数图像在一次函数图像上方（包含交点）的区域，结合图像可得对应x的取值范围为$x≤1$或$x≥6$，即不等式的解集为$x≤1$或$x≥6$。
(4) 将方程$ax^2+bx+c-n=3$变形为$ax^2+bx+c = n+3$，方程有实根说明抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=n+3$有公共点。
∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-4$，即函数最小值为$-4$，
∴$n+3≥-4$，解得$n≥-7$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=5$
(2)$x_1=1,x_2=6$
(3)$x≤1$ 或 $x≥6$
(4)$n≥-7$
【知识点】
二次函数与方程的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数结合方程、不等式的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是理解函数图像交点、函数值大小关系与方程的根、不等式解集之间的对应关系，同时要熟练运用二次函数的对称性、最值等性质简化计算。
【难度系数】
0.7
10. 我们规定:在平面直角坐标系中,若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则这个点叫作“M点”.如$P(2,-2)$就是“M点”.已知二次函数$y=x^2 - mx - 3$,解答下面的问题:
(1)求证:该函数图象上一定存在两个“M点”.
(2)若这两个“M点”的横坐标分别是$x_1$, $x_2$,且$x_1＜1＜x_2$,求$m$的取值范围.
(1)求证:该函数图象上一定存在两个“M点”.
(2)若这两个“M点”的横坐标分别是$x_1$, $x_2$,且$x_1＜1＜x_2$,求$m$的取值范围.
答案
10. (1)令 $x^2-mx-3=-x$, 则 $x^2+(1-m)x-3=0.$
$\because \Delta=(1-m)^2+12＞0,$
$\therefore$ 一定存在两个“M点”.
(2)设 $y=x^2+(1-m)x-3.$
$\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2+(1-m)x-3=0$ 的解，
$\therefore$ 函数 $y=x^2+(1-m)x-3$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $(x_1,0),(x_2,0).$
$\because$ 该函数图象开口向上,且 $x_1＜1＜x_2,$
$\therefore$ 当 $x=1$ 时 $y＜0$, 即 $1+1-m-3＜0.$
$\therefore m＞-1.$
$\because \Delta=(1-m)^2+12＞0,$
$\therefore$ 一定存在两个“M点”.
(2)设 $y=x^2+(1-m)x-3.$
$\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2+(1-m)x-3=0$ 的解，
$\therefore$ 函数 $y=x^2+(1-m)x-3$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $(x_1,0),(x_2,0).$
$\because$ 该函数图象开口向上,且 $x_1＜1＜x_2,$
$\therefore$ 当 $x=1$ 时 $y＜0$, 即 $1+1-m-3＜0.$
$\therefore m＞-1.$
解析
【分析】
(1) 先明确“M点”的特征：横坐标与纵坐标互为相反数，即满足$y=-x$。要证明二次函数图象上存在两个“M点”，只需将$y=-x$代入二次函数解析式，得到关于$x$的一元二次方程，通过判断方程判别式的正负，即可证明是否存在两个不同的实根，对应两个“M点”。
(2) 已知两个“M点”的横坐标是上述一元二次方程的两根，且满足$x_1＜1＜x_2$。构造对应二次函数，该函数开口向上，当$x$在两根之间时函数值小于0，因此代入$x=1$，令此时函数值小于0，列不等式即可求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) 证明：根据“M点”的定义，令$y=-x$，代入二次函数解析式得：
$x^2 - mx - 3 = -x$
整理得：$x^2 + (1 - m)x - 3 = 0$
计算判别式：$\Delta = (1 - m)^2 - 4×1×(-3) = (1 - m)^2 + 12$
$\because (1 - m)^2 ≥ 0$，$\therefore \Delta = (1 - m)^2 + 12 ≥ 12 ＞ 0$
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，即该函数图象上一定存在两个“M点”。
(2) 解：设二次函数$y = x^2 + (1 - m)x - 3$，
由题意可知，$x_1$、$x_2$是方程$x^2 + (1 - m)x - 3 = 0$的两个实根，
$\therefore$ 函数$y = x^2 + (1 - m)x - 3$的图象与$x$轴交点为$(x_1, 0)$、$(x_2, 0)$，
$\because$ 二次项系数$1＞0$，$\therefore$ 函数图象开口向上，
又$\because x_1 ＜ 1 ＜ x_2$，即$x=1$在两根之间，
$\therefore$ 当$x=1$时，函数值$y ＜ 0$，
将$x=1$代入得：$1 + (1 - m) - 3 ＜ 0$
化简得：$-m -1 ＜ 0$，解得$m ＞ -1$
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) $m ＞ -1$
【知识点】
新定义问题、根的判别式、二次函数性质
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与方程、不等式的综合应用，解题核心是将新定义转化为已学的代数模型，第二问利用二次函数图象性质分析根的分布，可简化计算，避免复杂的韦达定理运算。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确“M点”的特征：横坐标与纵坐标互为相反数，即满足$y=-x$。要证明二次函数图象上存在两个“M点”，只需将$y=-x$代入二次函数解析式，得到关于$x$的一元二次方程，通过判断方程判别式的正负，即可证明是否存在两个不同的实根，对应两个“M点”。
(2) 已知两个“M点”的横坐标是上述一元二次方程的两根，且满足$x_1＜1＜x_2$。构造对应二次函数，该函数开口向上，当$x$在两根之间时函数值小于0，因此代入$x=1$，令此时函数值小于0，列不等式即可求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) 证明：根据“M点”的定义，令$y=-x$，代入二次函数解析式得：
$x^2 - mx - 3 = -x$
整理得：$x^2 + (1 - m)x - 3 = 0$
计算判别式：$\Delta = (1 - m)^2 - 4×1×(-3) = (1 - m)^2 + 12$
$\because (1 - m)^2 ≥ 0$，$\therefore \Delta = (1 - m)^2 + 12 ≥ 12 ＞ 0$
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，即该函数图象上一定存在两个“M点”。
(2) 解：设二次函数$y = x^2 + (1 - m)x - 3$，
由题意可知，$x_1$、$x_2$是方程$x^2 + (1 - m)x - 3 = 0$的两个实根，
$\therefore$ 函数$y = x^2 + (1 - m)x - 3$的图象与$x$轴交点为$(x_1, 0)$、$(x_2, 0)$，
$\because$ 二次项系数$1＞0$，$\therefore$ 函数图象开口向上，
又$\because x_1 ＜ 1 ＜ x_2$，即$x=1$在两根之间，
$\therefore$ 当$x=1$时，函数值$y ＜ 0$，
将$x=1$代入得：$1 + (1 - m) - 3 ＜ 0$
化简得：$-m -1 ＜ 0$，解得$m ＞ -1$
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) $m ＞ -1$
【知识点】
新定义问题、根的判别式、二次函数性质
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与方程、不等式的综合应用，解题核心是将新定义转化为已学的代数模型，第二问利用二次函数图象性质分析根的分布，可简化计算，避免复杂的韦达定理运算。
【难度系数】
0.7
