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1.传染源数量为1，每轮传染中平均1人会传染给x人，经过一轮传染后共有
感染，经过两轮传染后共有$1+x+x(1+x)=$
$1+x$
人感染，经过两轮传染后共有$1+x+x(1+x)=$
$(1+x)^2$
人感染。答案
1. $1+x$；$(1+x)^2$
解析
【分析】
解决这道题首先要理清传染问题的数量逻辑：初始传染源为1人，每轮传染中所有已感染的人都会作为传染源传播病毒。第一轮传染时，仅初始的1个传染源参与传播，算出第一轮新增感染人数后加初始人数就是第一轮结束的总感染数；第二轮传染时，第一轮结束后的所有感染者都是传染源，算出第二轮新增感染人数后加第一轮总感染数，再对代数式化简即可得到两轮后的总感染数。
【解析】
1. 求经过一轮传染后的感染人数：
初始有1个传染源，每轮平均1人传染x人，因此第一轮新增感染人数为x人，
经过一轮传染后的总感染人数 = 初始传染源人数 + 第一轮新增感染人数 = $1+x$。
2. 化简两轮传染后的总感染人数表达式：
经过一轮传染后共有$(1+x)$个感染者，这部分人全部作为第二轮的传染源，因此第二轮新增感染人数为$x(1+x)$人，
两轮总感染人数为$1+x + x(1+x)$，提取公因式$(1+x)$可得：
$1+x + x(1+x)=(1+x)(1+x)=(1+x)^2$。
【答案】
$1+x$；$(1+x)^2$
【知识点】
列代数式，因式分解，传播问题数量关系
【点评】
本题是传播类实际问题的基础题型，核心是明确每轮传播的传染源总数，掌握这类问题的数量推导逻辑，为后续列一元二次方程解决同类应用题打好基础。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要理清传染问题的数量逻辑：初始传染源为1人，每轮传染中所有已感染的人都会作为传染源传播病毒。第一轮传染时，仅初始的1个传染源参与传播，算出第一轮新增感染人数后加初始人数就是第一轮结束的总感染数；第二轮传染时，第一轮结束后的所有感染者都是传染源，算出第二轮新增感染人数后加第一轮总感染数，再对代数式化简即可得到两轮后的总感染数。
【解析】
1. 求经过一轮传染后的感染人数：
初始有1个传染源，每轮平均1人传染x人，因此第一轮新增感染人数为x人，
经过一轮传染后的总感染人数 = 初始传染源人数 + 第一轮新增感染人数 = $1+x$。
2. 化简两轮传染后的总感染人数表达式：
经过一轮传染后共有$(1+x)$个感染者，这部分人全部作为第二轮的传染源，因此第二轮新增感染人数为$x(1+x)$人，
两轮总感染人数为$1+x + x(1+x)$，提取公因式$(1+x)$可得：
$1+x + x(1+x)=(1+x)(1+x)=(1+x)^2$。
【答案】
$1+x$；$(1+x)^2$
【知识点】
列代数式，因式分解，传播问题数量关系
【点评】
本题是传播类实际问题的基础题型，核心是明确每轮传播的传染源总数，掌握这类问题的数量推导逻辑，为后续列一元二次方程解决同类应用题打好基础。
【难度系数】
0.85
2.第一年的产量为$a$，年平均增长率为$x$，第二年的产量为________，第三年的产量为________。
答案
2. $a(1+x)$；$a(1+x)^2$
解析
【分析】
解题时首先要明确年平均增长率的含义：年平均增长率为x，即每一年的产量都比上一年增长x，计算下一年产量时，以上一年的产量为基数，用“下一年产量=上一年产量×(1+增长率)”的关系计算即可。第一步以第一年的产量a为基数计算第二年产量，第二步以第二年的产量为基数计算第三年产量即可。
【解析】
已知第一年的产量为a，年平均增长率为x：
1. 求第二年的产量：
第二年产量是在第一年的基础上增长x，因此第二年产量 = 第一年产量×(1+年平均增长率) = $a(1+x)$。
2. 求第三年的产量：
第三年产量是在第二年的基础上增长x，因此第三年产量 = 第二年产量×(1+年平均增长率) = $a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2$。
【答案】
$a(1+x)$；$a(1+x)^2$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列代数式
【点评】
本题是平均增长率类问题的基础题型，熟练掌握增长率的基本等量关系就能快速解题，是后续解决复杂增长率类实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确年平均增长率的含义：年平均增长率为x，即每一年的产量都比上一年增长x，计算下一年产量时，以上一年的产量为基数，用“下一年产量=上一年产量×(1+增长率)”的关系计算即可。第一步以第一年的产量a为基数计算第二年产量，第二步以第二年的产量为基数计算第三年产量即可。
【解析】
已知第一年的产量为a，年平均增长率为x：
1. 求第二年的产量：
第二年产量是在第一年的基础上增长x，因此第二年产量 = 第一年产量×(1+年平均增长率) = $a(1+x)$。
2. 求第三年的产量：
第三年产量是在第二年的基础上增长x，因此第三年产量 = 第二年产量×(1+年平均增长率) = $a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2$。
【答案】
$a(1+x)$；$a(1+x)^2$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列代数式
【点评】
本题是平均增长率类问题的基础题型，熟练掌握增长率的基本等量关系就能快速解题，是后续解决复杂增长率类实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有81人获得了安全意识.请你用学过的知识分析，在本次宣讲活动中，一个人会给多少人宣讲？按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数会不会超过700？
解：
解：
答案
在本次宣讲活动中,一个人会给8人宣讲.经过三轮后接受宣讲的人数会超过700.
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题思路如下：①先设每轮中1个人给x名学生宣讲，梳理人数变化规律：初始只有1个宣讲员，第一轮宣讲后，新增x名获得宣讲的人，总共有(1+x)人知晓安全知识；②第二轮宣讲时，这(1+x)人每人再给x个不重复的人宣讲，第二轮新增x(1+x)名知晓者，两轮后总知晓人数整理可得$(1+x)^2$，刚好对应题目给出的81人，据此列方程求解即可；③算出x后，再计算三轮宣讲后的总人数$(1+x)^3$，和700比较判断是否超过。
【解析】
解：设每轮宣讲中，一个人会给$ x $人宣讲。
根据传播规律，经过两轮宣讲后总获得宣讲的人数为$ (1+x)^2 $，由题意得：
$(1+x)^2 = 81$
直接开平方得：$ 1+x = \pm9 $
因为宣讲人数不能为负数，所以舍去$ 1+x=-9 $，即：
$ 1+x=9 $，解得$ x=8 $
经过三轮宣讲后，总获得宣讲的人数为：
$ (1+x)^3 = 9^3 = 729 $
因为$ 729 ＞ 700 $，所以经过三轮后接受宣讲的人数会超过700。
【答案】
在本次宣讲活动中,一个人会给8人宣讲.经过三轮后接受宣讲的人数会超过700.
【知识点】
一元二次方程应用；传播类问题；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于生活实际应用题，解题核心是找准传播过程中总人数的变化规律，列方程后要注意结合实际意义舍去不合理的根，再通过乘方运算即可求出多轮传播后的总人数。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题思路如下：①先设每轮中1个人给x名学生宣讲，梳理人数变化规律：初始只有1个宣讲员，第一轮宣讲后，新增x名获得宣讲的人，总共有(1+x)人知晓安全知识；②第二轮宣讲时，这(1+x)人每人再给x个不重复的人宣讲，第二轮新增x(1+x)名知晓者，两轮后总知晓人数整理可得$(1+x)^2$，刚好对应题目给出的81人，据此列方程求解即可；③算出x后，再计算三轮宣讲后的总人数$(1+x)^3$，和700比较判断是否超过。
【解析】
解：设每轮宣讲中，一个人会给$ x $人宣讲。
根据传播规律，经过两轮宣讲后总获得宣讲的人数为$ (1+x)^2 $，由题意得：
$(1+x)^2 = 81$
直接开平方得：$ 1+x = \pm9 $
因为宣讲人数不能为负数，所以舍去$ 1+x=-9 $，即：
$ 1+x=9 $，解得$ x=8 $
经过三轮宣讲后，总获得宣讲的人数为：
$ (1+x)^3 = 9^3 = 729 $
因为$ 729 ＞ 700 $，所以经过三轮后接受宣讲的人数会超过700。
【答案】
在本次宣讲活动中,一个人会给8人宣讲.经过三轮后接受宣讲的人数会超过700.
【知识点】
一元二次方程应用；传播类问题；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于生活实际应用题，解题核心是找准传播过程中总人数的变化规律，列方程后要注意结合实际意义舍去不合理的根，再通过乘方运算即可求出多轮传播后的总人数。
【难度系数】
0.7
1.如果不防范，病毒的传播速度就很快.有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有361人感染.
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使平均每人每轮感染的人数减少到原来的$a\%$，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求$a$的值.
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使平均每人每轮感染的人数减少到原来的$a\%$，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的10倍，求$a$的值.
答案
1.解:(1)平均每人每轮感染18人.
(2)$a$的值为50.
(2)$a$的值为50.
解析
【分析】
（1）本题为传播类一元二次方程应用题，解题核心是理清每轮感染总人数的变化规律：设平均每人每轮感染$x$人，初始1人感染，第一轮结束后总感染人数为$1+x$；第二轮时所有感染者每人再感染$x$人，因此两轮结束后总感染人数为$(1+x)^2$，结合两轮后共361人感染的条件列方程求解即可，注意感染人数为正，需舍去负根。
（2）首先明确防范后平均每人每轮感染人数为原来的$a\%$，即$18× a\%$，第三轮传播时初始感染人数为第二轮结束的361人，结合“第三轮传播后总感染人数是第二轮的10倍”的条件列方程求解即可。
【解析】
(1) 设平均每人每轮感染$ x $人。
根据传播规律，两轮后总感染人数为$(1+x)^2$，列方程得：
$(1+x)^2 = 361$
开方得$1+x=\pm19$
解得$x_1=18$，$x_2=-20$
感染人数不能为负，舍去$x_2=-20$，故平均每人每轮感染18人。
(2) 防范后平均每人每轮感染人数为$18× a\%$，根据题意列方程：
$361×(1+18× a\%)=361×10$
两边同时除以361得：
$1+0.18a=10$
移项计算得$0.18a=9$
解得$a=50$
【答案】
(1) 平均每人每轮感染18人；(2) $a$的值为50
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题建模
【点评】
本题是典型的实际应用类方程题，解题关键是准确梳理传播过程中总人数的变化规律，建立正确的方程模型，求解后要结合实际意义舍去不符合要求的根，第二问需准确理解百分比的表述含义，避免列错数量关系。
【难度系数】
0.7
（1）本题为传播类一元二次方程应用题，解题核心是理清每轮感染总人数的变化规律：设平均每人每轮感染$x$人，初始1人感染，第一轮结束后总感染人数为$1+x$；第二轮时所有感染者每人再感染$x$人，因此两轮结束后总感染人数为$(1+x)^2$，结合两轮后共361人感染的条件列方程求解即可，注意感染人数为正，需舍去负根。
（2）首先明确防范后平均每人每轮感染人数为原来的$a\%$，即$18× a\%$，第三轮传播时初始感染人数为第二轮结束的361人，结合“第三轮传播后总感染人数是第二轮的10倍”的条件列方程求解即可。
【解析】
(1) 设平均每人每轮感染$ x $人。
根据传播规律，两轮后总感染人数为$(1+x)^2$，列方程得：
$(1+x)^2 = 361$
开方得$1+x=\pm19$
解得$x_1=18$，$x_2=-20$
感染人数不能为负，舍去$x_2=-20$，故平均每人每轮感染18人。
(2) 防范后平均每人每轮感染人数为$18× a\%$，根据题意列方程：
$361×(1+18× a\%)=361×10$
两边同时除以361得：
$1+0.18a=10$
移项计算得$0.18a=9$
解得$a=50$
【答案】
(1) 平均每人每轮感染18人；(2) $a$的值为50
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题建模
【点评】
本题是典型的实际应用类方程题，解题关键是准确梳理传播过程中总人数的变化规律，建立正确的方程模型，求解后要结合实际意义舍去不符合要求的根，第二问需准确理解百分比的表述含义，避免列错数量关系。
【难度系数】
0.7
【例2】随着旅游旺季的到来，某景区游客数量逐月增加，2月份接待游客1.6万人次，4月份接待游客2.5万人次。
(1)求这两个月该景区游客人数的月平均增长率。
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率。已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.25万人次，则5月份后10天日均接待游客最多是多少万人次？
解：
【规律方法】
求平均增长(下降)率问题的“通用公式”
一般列方程$a(1\pm x)^n = b$，其中$a$为原始数据，$b$为增长(下降)后的数据，$n$为变化次数，$x$为增长(下降)率。
(1)求这两个月该景区游客人数的月平均增长率。
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率。已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.25万人次，则5月份后10天日均接待游客最多是多少万人次？
解：
【规律方法】
求平均增长(下降)率问题的“通用公式”
一般列方程$a(1\pm x)^n = b$，其中$a$为原始数据，$b$为增长(下降)后的数据，$n$为变化次数，$x$为增长(下降)率。
答案
解:(1)这两个月该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)5月份后10天日均接待游客最多是0.087 5万人次.
(2)5月份后10天日均接待游客最多是0.087 5万人次.
解析
【分析】
(1)本题属于平均增长率问题，可套用平均增长率公式$a(1+x)^n=b$求解：其中初始量2月游客数$a=1.6$万人次，增长2次后4月游客数$b=2.5$万人次，$n=2$，设月平均增长率为$x$，列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不合题意的负根。
(2)已知5月增长率不超过前两个月的平均增长率，即5月最大增长率为25%，先计算5月最多接待的游客总量，再设后10天日均接待游客$y$万人次，根据“前21天接待量+后10天接待量≤5月最大接待量”列不等式求解即可得到日均最大值。
【解析】
(1)设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为$x$。
根据题意列方程：$1.6(1+x)^2=2.5$
解得：$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
开方得：$1+x=\pm\frac{5}{4}$
因为增长率为正数，故$1+x＞0$，舍去$1+x=-\frac{5}{4}$
则$1+x=\frac{5}{4}$，解得$x=0.25=25\%$
(2)设5月份后10天日均接待游客$y$万人次。
由题意知，5月游客最大增长率为25%，则5月最多接待游客人数为：$2.5×(1+25\%)=3.125$（万人次）
根据不等关系列不等式：$2.25 + 10y ≤ 3.125$
移项得：$10y ≤ 3.125 - 2.25$
计算得：$10y ≤ 0.875$
解得：$y ≤ 0.0875$
【答案】
(1)这两个月该景区游客人数的月平均增长率为25%；
(2)5月份后10天日均接待游客最多是0.0875万人次。
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合景区游客量的实际场景出题，解题核心是熟练掌握平均增长率的计算公式，准确找到题目中的等量关系和不等关系，注意增长率为正的隐含条件，是实际应用类的常规题型。
【难度系数】
0.7
(1)本题属于平均增长率问题，可套用平均增长率公式$a(1+x)^n=b$求解：其中初始量2月游客数$a=1.6$万人次，增长2次后4月游客数$b=2.5$万人次，$n=2$，设月平均增长率为$x$，列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不合题意的负根。
(2)已知5月增长率不超过前两个月的平均增长率，即5月最大增长率为25%，先计算5月最多接待的游客总量，再设后10天日均接待游客$y$万人次，根据“前21天接待量+后10天接待量≤5月最大接待量”列不等式求解即可得到日均最大值。
【解析】
(1)设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为$x$。
根据题意列方程：$1.6(1+x)^2=2.5$
解得：$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
开方得：$1+x=\pm\frac{5}{4}$
因为增长率为正数，故$1+x＞0$，舍去$1+x=-\frac{5}{4}$
则$1+x=\frac{5}{4}$，解得$x=0.25=25\%$
(2)设5月份后10天日均接待游客$y$万人次。
由题意知，5月游客最大增长率为25%，则5月最多接待游客人数为：$2.5×(1+25\%)=3.125$（万人次）
根据不等关系列不等式：$2.25 + 10y ≤ 3.125$
移项得：$10y ≤ 3.125 - 2.25$
计算得：$10y ≤ 0.875$
解得：$y ≤ 0.0875$
【答案】
(1)这两个月该景区游客人数的月平均增长率为25%；
(2)5月份后10天日均接待游客最多是0.0875万人次。
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合景区游客量的实际场景出题，解题核心是熟练掌握平均增长率的计算公式，准确找到题目中的等量关系和不等关系，注意增长率为正的隐含条件，是实际应用类的常规题型。
【难度系数】
0.7
