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2.某运动专卖店销售一款成本价为30元/条的跳绳，原计划售价为50元/条，为了搞促销活动，连续两次降价，并且每次降价的百分率相同，现在每条实际售价为40.5元.
(1)求该款跳绳每次降价的百分率.
(2)该款跳绳至少要售出多少条，总利润才能不低于2 100元？
(1)求该款跳绳每次降价的百分率.
(2)该款跳绳至少要售出多少条，总利润才能不低于2 100元？
答案
2.解:(1)该款跳绳每次降价的百分率为10%.
(2)该款跳绳至少要售出200条,总利润才能不低于2 100元.
(2)该款跳绳至少要售出200条,总利润才能不低于2 100元.
解析
【分析】
(1) 连续两次相同百分率降价可使用变化率模型求解：设每次降价百分率为x，原价为a，两次降价后售价为b，则满足关系式$a(1-x)^2=b$。本题中原价a=50元，现价b=40.5元，代入即可列方程求解，注意降价百分率范围为$0＜x＜1$，需舍去不符合实际的根。
(2) 利润问题核心关系为：总利润=单条利润×销售数量，“不低于”对应不等号“≥”。先计算单条跳绳的实际利润，再设销售数量为y，根据总利润≥2100元列不等式求解，最后结合销售数量为正整数的实际要求，取最小的符合条件的整数即可。
【解析】
(1) 设该款跳绳每次降价的百分率为x，根据题意列方程：
$50(1-x)^2=40.5$
方程两边同时除以50，得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$（降价百分率不能大于1，不符合实际，舍去）
(2) 设需要售出y条跳绳，总利润才能不低于2100元。
单条跳绳的利润为：$40.5-30=10.5$（元）
根据题意列不等式：$10.5y≥2100$
解得：$y≥200$
销售数量为正整数，因此y的最小值为200。
【答案】
(1) 该款跳绳每次降价的百分率为10%。
(2) 该款跳绳至少要售出200条，总利润才能不低于2100元。
【知识点】
1. 一元二次方程增长率应用
2. 一元一次不等式实际应用
3. 利润问题数量关系
【点评】
本题是经济类实际应用基础题，核心是掌握连续变化率模型、利润计算的基本公式，解题时需注意结合实际意义对求解结果进行取舍，避免出现不符合常识的答案。
【难度系数】
0.75
(1) 连续两次相同百分率降价可使用变化率模型求解：设每次降价百分率为x，原价为a，两次降价后售价为b，则满足关系式$a(1-x)^2=b$。本题中原价a=50元，现价b=40.5元，代入即可列方程求解，注意降价百分率范围为$0＜x＜1$，需舍去不符合实际的根。
(2) 利润问题核心关系为：总利润=单条利润×销售数量，“不低于”对应不等号“≥”。先计算单条跳绳的实际利润，再设销售数量为y，根据总利润≥2100元列不等式求解，最后结合销售数量为正整数的实际要求，取最小的符合条件的整数即可。
【解析】
(1) 设该款跳绳每次降价的百分率为x，根据题意列方程：
$50(1-x)^2=40.5$
方程两边同时除以50，得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$（降价百分率不能大于1，不符合实际，舍去）
(2) 设需要售出y条跳绳，总利润才能不低于2100元。
单条跳绳的利润为：$40.5-30=10.5$（元）
根据题意列不等式：$10.5y≥2100$
解得：$y≥200$
销售数量为正整数，因此y的最小值为200。
【答案】
(1) 该款跳绳每次降价的百分率为10%。
(2) 该款跳绳至少要售出200条，总利润才能不低于2100元。
【知识点】
1. 一元二次方程增长率应用
2. 一元一次不等式实际应用
3. 利润问题数量关系
【点评】
本题是经济类实际应用基础题，核心是掌握连续变化率模型、利润计算的基本公式，解题时需注意结合实际意义对求解结果进行取舍，避免出现不符合常识的答案。
【难度系数】
0.75
1.某药品经过两次降价，每瓶的售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
（
A.$188(1+x)^2=108$
B.$188(1-x)^2=108$
C.$188(1-2x)=108$
D.$188(1-x^2)=108$
（
B
）A.$188(1+x)^2=108$
B.$188(1-x)^2=108$
C.$188(1-2x)=108$
D.$188(1-x^2)=108$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先明确降价百分率的计算逻辑：每次降价的基数是上一次降价后的售价。第一步先找已知量：原价为188元，两次降价后售价为108元，每次降价百分率为x；第二步推导单次降价后的价格公式：降价后价格=原价×(1-降价百分率)；第三步计算第一次降价后的价格为188(1-x)元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此第二次降价后的价格为188(1-x)×(1-x)，结合最终售价即可列出方程，同时要注意避免将两次降价百分率直接相加的错误。
【解析】
设每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后的售价为：$188(1-x)$ 元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上进行，因此第二次降价后的售价为：$188(1-x) × (1-x) = 188(1-x)^2$ 元；
3. 已知两次降价后售价为108元，因此可列方程：$188(1-x)^2 = 108$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 百分率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是百分率问题的基础题型，核心要明确每次降价/涨价的基数是上一阶段的价格，不能直接将两次变动的百分率相加，掌握基础的变动率模型即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确降价百分率的计算逻辑：每次降价的基数是上一次降价后的售价。第一步先找已知量：原价为188元，两次降价后售价为108元，每次降价百分率为x；第二步推导单次降价后的价格公式：降价后价格=原价×(1-降价百分率)；第三步计算第一次降价后的价格为188(1-x)元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此第二次降价后的价格为188(1-x)×(1-x)，结合最终售价即可列出方程，同时要注意避免将两次降价百分率直接相加的错误。
【解析】
设每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后的售价为：$188(1-x)$ 元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上进行，因此第二次降价后的售价为：$188(1-x) × (1-x) = 188(1-x)^2$ 元；
3. 已知两次降价后售价为108元，因此可列方程：$188(1-x)^2 = 108$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 百分率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是百分率问题的基础题型，核心要明确每次降价/涨价的基数是上一阶段的价格，不能直接将两次变动的百分率相加，掌握基础的变动率模型即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
2.有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了该种流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（
A.5
B.6
C.7
D.8
B
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要理清流感传染的人数变化规律：初始有2名患者，每轮传染中每个患者会传染x个健康人，因此每轮结束后的总患病人数是上一轮总患病人数的(1+x)倍（1代表患者本身，x代表其传染的人数）。两轮传染后的总患病人数为初始人数连续乘两次(1+x)，据此列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不合理的根即可得到x的值。
【解析】
解：由题意可知，初始患流感人数为2人，每轮传染中平均1人传染x人。
第一轮传染后，总患病人数为：$2(1+x)$
第二轮传染以第一轮所有患者作为传染源，因此第二轮传染后总患病人数为：$2(1+x) × (1+x) = 2(1+x)^2$
已知两轮后共有98人患病，可列方程：
$2(1+x)^2 = 98$
两边同时除以2得：$(1+x)^2 = 49$
开平方得：$1+x = \pm7$
因为传染的人数不能为负数，所以舍去$1+x=-7$的解，即：
$1+x=7$
解得$x=6$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用、传染问题模型、直接开平方法解方程
【点评】
本题是典型的传播类一元二次方程应用题，解题关键是准确梳理每轮传播后总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际问题的意义，舍去不符合常理的负根。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要理清流感传染的人数变化规律：初始有2名患者，每轮传染中每个患者会传染x个健康人，因此每轮结束后的总患病人数是上一轮总患病人数的(1+x)倍（1代表患者本身，x代表其传染的人数）。两轮传染后的总患病人数为初始人数连续乘两次(1+x)，据此列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不合理的根即可得到x的值。
【解析】
解：由题意可知，初始患流感人数为2人，每轮传染中平均1人传染x人。
第一轮传染后，总患病人数为：$2(1+x)$
第二轮传染以第一轮所有患者作为传染源，因此第二轮传染后总患病人数为：$2(1+x) × (1+x) = 2(1+x)^2$
已知两轮后共有98人患病，可列方程：
$2(1+x)^2 = 98$
两边同时除以2得：$(1+x)^2 = 49$
开平方得：$1+x = \pm7$
因为传染的人数不能为负数，所以舍去$1+x=-7$的解，即：
$1+x=7$
解得$x=6$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用、传染问题模型、直接开平方法解方程
【点评】
本题是典型的传播类一元二次方程应用题，解题关键是准确梳理每轮传播后总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际问题的意义，舍去不符合常理的负根。
【难度系数】
0.7
3.某展览中心6月份的参观人数为32 000，8月份的参观人数为50 000，则这两个月参观人数的月平均增长率为
25%
。答案
3.25%
解析
【分析】
本题属于平均增长率问题，解题思路如下：第一步，回忆平均增长率的通用数量关系：若初始数值为$a$，月平均增长率为$x$，经过$n$次增长后的数值为$b$，则满足公式$a(1+x)^n = b$；第二步，对应本题匹配已知量：初始量$a$是6月份的32000人，最终量$b$是8月份的50000人，从6月到8月共增长2次，即$n=2$；第三步，设未知数列方程求解，最后结合增长率为正的实际要求，舍去不合题意的根即可得到结果。
【解析】
解：设这两个月参观人数的月平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$32000(1+x)^2 = 50000$
方程两边同时除以32000，化简得：
$(1+x)^2 = \frac{25}{16}$
开平方得：
$1+x = \frac{5}{4}$ 或 $1+x = -\frac{5}{4}$
由于增长率不能为负数，因此舍去$1+x = -\frac{5}{4}$，解得：
$x = \frac{5}{4} - 1 = 0.25 = 25\%$
【答案】
25%
【知识点】
平均增长率计算，一元二次方程应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，核心考查对平均增长率公式的掌握，求解后要注意结合实际意义检验根的合理性，排除不符合要求的负根。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率问题，解题思路如下：第一步，回忆平均增长率的通用数量关系：若初始数值为$a$，月平均增长率为$x$，经过$n$次增长后的数值为$b$，则满足公式$a(1+x)^n = b$；第二步，对应本题匹配已知量：初始量$a$是6月份的32000人，最终量$b$是8月份的50000人，从6月到8月共增长2次，即$n=2$；第三步，设未知数列方程求解，最后结合增长率为正的实际要求，舍去不合题意的根即可得到结果。
【解析】
解：设这两个月参观人数的月平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$32000(1+x)^2 = 50000$
方程两边同时除以32000，化简得：
$(1+x)^2 = \frac{25}{16}$
开平方得：
$1+x = \frac{5}{4}$ 或 $1+x = -\frac{5}{4}$
由于增长率不能为负数，因此舍去$1+x = -\frac{5}{4}$，解得：
$x = \frac{5}{4} - 1 = 0.25 = 25\%$
【答案】
25%
【知识点】
平均增长率计算，一元二次方程应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，核心考查对平均增长率公式的掌握，求解后要注意结合实际意义检验根的合理性，排除不符合要求的负根。
【难度系数】
0.8
4.为提升九年级学生的数字化学习效率，学校上线了云端错题本工具，学生可自主上传错题、生成个性化错题本.开学第一周，全年级使用该工具的学生有200人.经过两周老师的推广与同学之间的分享，第三周使用该工具的学生增长至242人.
（1）求每周使用该工具的学生人数的平均增长率；
（2）在平均增长率不变的情况下，计算第四周使用该工具的学生大约有多少人.
（1）求每周使用该工具的学生人数的平均增长率；
（2）在平均增长率不变的情况下，计算第四周使用该工具的学生大约有多少人.
答案
4.解:(1)每周使用该工具的学生人数的平均增长率为10%.
(2)第四周使用该工具的学生大约有266人.
(2)第四周使用该工具的学生大约有266人.
解析
【分析】
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：（1）对于增长率问题，核心公式为：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^增长次数。已知第一周（初始量）使用人数为200人，第三周（增长2次后）人数为242人，因此可设平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。（2）在得到平均增长率后，第四周人数=第三周人数×(1+增长率)，计算后结合实际情况取整数即可。
【解析】
（1）设每周使用该工具的学生人数的平均增长率为$ x $。
根据题意，第一周人数为200人，经过2次增长后第三周人数为242人，可列方程：
$ 200(1+x)^2 = 242 $
方程两边同时除以200，得：
$ (1+x)^2 = 1.21 $
开平方得：
$ 1+x = \pm 1.1 $
由于增长率为正数，因此舍去$ 1+x=-1.1 $，解得：
$ 1+x=1.1 $，即$ x=0.1=10\% $
（2）由平均增长率为10%，可得第四周使用人数为：
$ 242 × (1+10\%) = 242 × 1.1 = 266.2 \approx 266 $（人）
【答案】
（1）每周使用该工具的学生人数的平均增长率为10%；
（2）第四周使用该工具的学生大约有266人。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是掌握增长率问题的数量关系，列方程时要准确判断增长的次数，最终结果需结合实际意义取合理的近似值。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：（1）对于增长率问题，核心公式为：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^增长次数。已知第一周（初始量）使用人数为200人，第三周（增长2次后）人数为242人，因此可设平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。（2）在得到平均增长率后，第四周人数=第三周人数×(1+增长率)，计算后结合实际情况取整数即可。
【解析】
（1）设每周使用该工具的学生人数的平均增长率为$ x $。
根据题意，第一周人数为200人，经过2次增长后第三周人数为242人，可列方程：
$ 200(1+x)^2 = 242 $
方程两边同时除以200，得：
$ (1+x)^2 = 1.21 $
开平方得：
$ 1+x = \pm 1.1 $
由于增长率为正数，因此舍去$ 1+x=-1.1 $，解得：
$ 1+x=1.1 $，即$ x=0.1=10\% $
（2）由平均增长率为10%，可得第四周使用人数为：
$ 242 × (1+10\%) = 242 × 1.1 = 266.2 \approx 266 $（人）
【答案】
（1）每周使用该工具的学生人数的平均增长率为10%；
（2）第四周使用该工具的学生大约有266人。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是掌握增长率问题的数量关系，列方程时要准确判断增长的次数，最终结果需结合实际意义取合理的近似值。
【难度系数】
0.8
