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【例1】某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两支球队之间都要比赛一场，计划组织$ x $支球队参加，安排28场比赛，则$ x $为（
A.6 B.7 C.8 D.9
【规律方法】
球队比赛问题的解题步骤
（1）设未知数：根据题意，设出相应的未知数。
（2）列方程：分析是单循环比赛类型还是主客场双循环比赛类型，根据公式列出方程。
（3）求解：解一元二次方程求出结果。
变式训练
C
）A.6 B.7 C.8 D.9
【规律方法】
球队比赛问题的解题步骤
（1）设未知数：根据题意，设出相应的未知数。
（2）列方程：分析是单循环比赛类型还是主客场双循环比赛类型，根据公式列出方程。
（3）求解：解一元二次方程求出结果。
变式训练
答案
C
解析
【分析】
本题属于单循环比赛类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确单循环比赛的规则：每两支球队之间仅比赛1场，因此计算总场数时，若有x支球队，每支球队需和其余(x-1)支球队各赛1场，此时每场比赛会被重复计算2次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；再根据题目给出的总场数为28，建立一元二次方程，最后解方程后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
已知有x支球队参加单循环比赛，根据单循环总比赛场数公式可得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
方程两边同时乘2，整理得：
$x^2 - x - 56 = 0$
对一元二次方程因式分解得：
$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
由于球队数量不能为负数，因此舍去$x=-7$，即$x=8$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；单循环计数规则；一元二次方程的求解
【点评】
本题是比赛类实际应用的常规题型，解题核心是准确理解单循环的比赛规则，正确推导总比赛场数的表达式，求解方程后要注意验证根是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
本题属于单循环比赛类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确单循环比赛的规则：每两支球队之间仅比赛1场，因此计算总场数时，若有x支球队，每支球队需和其余(x-1)支球队各赛1场，此时每场比赛会被重复计算2次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；再根据题目给出的总场数为28，建立一元二次方程，最后解方程后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
已知有x支球队参加单循环比赛，根据单循环总比赛场数公式可得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
方程两边同时乘2，整理得：
$x^2 - x - 56 = 0$
对一元二次方程因式分解得：
$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
由于球队数量不能为负数，因此舍去$x=-7$，即$x=8$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；单循环计数规则；一元二次方程的求解
【点评】
本题是比赛类实际应用的常规题型，解题核心是准确理解单循环的比赛规则，正确推导总比赛场数的表达式，求解方程后要注意验证根是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
1.暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动.活动结束后，所有参与活动的同学互赠礼物，共送出132份礼物，则参加此次活动的同学有（
A.10人
B.11人
C.12人
D.14人
C
）A.10人
B.11人
C.12人
D.14人
答案
C
解析
【分析】
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题核心是理清互赠礼物的数量关系：每位同学需要给除自己之外的其他同学各送1份礼物，因此每名同学送出的礼物数量=总人数-1，总礼物数=总人数×每名同学送出的礼物数。我们可以先设总人数为未知数，根据上述等量关系列出一元二次方程，求解后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
设参加此次活动的同学有$ x $人。
由题意可知，每名同学需要向其他$ (x-1) $名同学各赠送1份礼物，因此总礼物数为$ x(x-1) $份，可列方程：
$x(x-1)=132$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x-12)(x+11)=0$
解得：$ x_1=12 $，$ x_2=-11 $。
因为参加活动的人数不能为负数，所以舍去$ x=-11 $，即参加活动的同学有12人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程
【点评】
本题属于常见的一元二次方程实际应用题型，解题的关键是准确区分互赠礼物和握手两类问题的数量关系（互赠礼物不需要除以2，握手问题需要除以2），同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题核心是理清互赠礼物的数量关系：每位同学需要给除自己之外的其他同学各送1份礼物，因此每名同学送出的礼物数量=总人数-1，总礼物数=总人数×每名同学送出的礼物数。我们可以先设总人数为未知数，根据上述等量关系列出一元二次方程，求解后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
设参加此次活动的同学有$ x $人。
由题意可知，每名同学需要向其他$ (x-1) $名同学各赠送1份礼物，因此总礼物数为$ x(x-1) $份，可列方程：
$x(x-1)=132$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x-12)(x+11)=0$
解得：$ x_1=12 $，$ x_2=-11 $。
因为参加活动的人数不能为负数，所以舍去$ x=-11 $，即参加活动的同学有12人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程
【点评】
本题属于常见的一元二次方程实际应用题型，解题的关键是准确区分互赠礼物和握手两类问题的数量关系（互赠礼物不需要除以2，握手问题需要除以2），同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
【例2】某商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，国庆期间，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设该商品每件降价x元.
(1)降价后，每天的销售量为
(2)在正常情况下，根据上述销售思路，为尽快减少库存，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
解:
【规律方法】
销售利润问题需要厘清进价、售价和利润，以及单价、销量和总价的关系，根据关系列出一元二次方程求解即可.另外还要注意是否有特殊要求对题中所设的未知量产生限制.
变式训练
2.某商店如果将进货价为每件8元的商品按每件10元售出，那么每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨0.5元，其销售量就会减少10件，那么将售价定为多少时，每天的利润为640元？
知识建构
(1)降价后，每天的销售量为
(30+2x)
件，日盈利为(1500+70x-2x²)
元(用含x的代数式表示).(2)在正常情况下，根据上述销售思路，为尽快减少库存，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
解:
【规律方法】
销售利润问题需要厘清进价、售价和利润，以及单价、销量和总价的关系，根据关系列出一元二次方程求解即可.另外还要注意是否有特殊要求对题中所设的未知量产生限制.
变式训练
2.某商店如果将进货价为每件8元的商品按每件10元售出，那么每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨0.5元，其销售量就会减少10件，那么将售价定为多少时，每天的利润为640元？
知识建构
答案
(1) $(30+2x)$ $(1500+70x-2x^2)$
(2) 每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元.
2. 应将售价定为每件16元.
(2) 每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元.
2. 应将售价定为每件16元.
解析
【分析】
例2分析
(1) 求解销售量：原有日销量30件，每降价1元多售2件，降价x元则多售2x件，总销量为原有销量加新增销量即可。求解日盈利：降价后单件盈利为原盈利50元减去降价x元，日盈利=单件盈利×日销量，代入对应代数式展开即可。
(2) 日盈利达2000元即令(1)中得到的日盈利代数式等于2000，列一元二次方程求解。题目要求尽快减少库存，即需要日销量尽可能大，而销量随x增大而增大，因此选择两个解中x更大的数值即可。
变式训练2分析
先明确三个核心量：单件利润=售价-进价8元；售价从10元上涨到x元，每涨0.5元销量减10件，先计算销量减少的数量，再用原有销量200减去减少的销量得到实际销量；再根据总利润=单件利润×销量=640元列方程求解。题目要求提高售价、减少进货量，因此选择售价更高的解即可。
【解析】
例2解答
(1) 降价x元后，新增销量为2x件，因此日销售量为：$30+2x$件；
降价后单件盈利为$(50-x)$元，日盈利为：
$\begin{aligned}(50-x)(30+2x)&=1500+100x-30x-2x^2\\&=1500+70x-2x^2 \end{aligned}$元。
(2) 由题意列方程：
$(50-x)(30+2x)=2000$
展开整理得：$x^2-35x+250=0$
因式分解得：$(x-10)(x-25)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=25$
∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大，$x$越大销量越高，
∴取$x=25$。
变式训练2解答
设售价定为每件$x$元，由题意得：
单件利润：$(x-8)$元
日销售量：$200-\frac{x-10}{0.5}×10=400-20x$件
列方程：$(x-8)(400-20x)=640$
整理得：$x^2-28x+192=0$
因式分解得：$(x-12)(x-16)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=16$
∵要提高售价减少进货量，
∴取售价更高的$x=16$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(30+2x)}$；$\boldsymbol{(1500+70x-2x^2)}$
(2) 每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元。
变式训练2：应将售价定为每件16元。
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，代数式列写
【点评】
此类销售类应用题核心是理清单件利润、销售量、总利润三者的数量关系，列方程求解后一定要注意结合题干给出的限制条件对解进行筛选，避免忽略实际要求导致答案错误。
【难度系数】
0.6
例2分析
(1) 求解销售量：原有日销量30件，每降价1元多售2件，降价x元则多售2x件，总销量为原有销量加新增销量即可。求解日盈利：降价后单件盈利为原盈利50元减去降价x元，日盈利=单件盈利×日销量，代入对应代数式展开即可。
(2) 日盈利达2000元即令(1)中得到的日盈利代数式等于2000，列一元二次方程求解。题目要求尽快减少库存，即需要日销量尽可能大，而销量随x增大而增大，因此选择两个解中x更大的数值即可。
变式训练2分析
先明确三个核心量：单件利润=售价-进价8元；售价从10元上涨到x元，每涨0.5元销量减10件，先计算销量减少的数量，再用原有销量200减去减少的销量得到实际销量；再根据总利润=单件利润×销量=640元列方程求解。题目要求提高售价、减少进货量，因此选择售价更高的解即可。
【解析】
例2解答
(1) 降价x元后，新增销量为2x件，因此日销售量为：$30+2x$件；
降价后单件盈利为$(50-x)$元，日盈利为：
$\begin{aligned}(50-x)(30+2x)&=1500+100x-30x-2x^2\\&=1500+70x-2x^2 \end{aligned}$元。
(2) 由题意列方程：
$(50-x)(30+2x)=2000$
展开整理得：$x^2-35x+250=0$
因式分解得：$(x-10)(x-25)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=25$
∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大，$x$越大销量越高，
∴取$x=25$。
变式训练2解答
设售价定为每件$x$元，由题意得：
单件利润：$(x-8)$元
日销售量：$200-\frac{x-10}{0.5}×10=400-20x$件
列方程：$(x-8)(400-20x)=640$
整理得：$x^2-28x+192=0$
因式分解得：$(x-12)(x-16)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=16$
∵要提高售价减少进货量，
∴取售价更高的$x=16$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(30+2x)}$；$\boldsymbol{(1500+70x-2x^2)}$
(2) 每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元。
变式训练2：应将售价定为每件16元。
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，代数式列写
【点评】
此类销售类应用题核心是理清单件利润、销售量、总利润三者的数量关系，列方程求解后一定要注意结合题干给出的限制条件对解进行筛选，避免忽略实际要求导致答案错误。
【难度系数】
0.6
