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1.某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两支球队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少支球队参加比赛？设有$x$支球队参加比赛，则可列方程为 （
A.$x(x+1)=36$
B.$x(x-1)=36$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
D
）A.$x(x+1)=36$
B.$x(x-1)=36$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
答案
D
解析
【分析】
这是单循环比赛的计数类列方程问题，解题思路如下：首先明确比赛规则为每两支球队仅比赛1场，第一步先计算不考虑重复时的总场次：x支球队中，每支球队需要和除自身外的(x-1)支球队各赛1场，此时统计的总场次为x(x-1)；第二步修正重复计数的问题：每场比赛会被参赛的两支球队各统计1次，也就是上述计算结果里每场比赛都被算了2次，所以实际总场次需要除以2；第三步结合已知总场次为36，即可列出对应的方程。
【解析】
设有$x$支球队参加比赛：
1. 每支球队需与其余$(x-1)$支球队各比赛1场，若不考虑重复统计，所有球队的参赛场次总和为$x(x-1)$场；
2. 由于每两支球队之间的比赛仅计1场，上述计算中每场比赛被重复统计了2次，因此实际比赛总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 已知共比赛36场，因此可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=36$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程实际应用，单循环计数
【点评】
本题是列方程解实际问题的常见题型，解题的核心是注意单循环赛制中存在重复计数的情况，避免直接用$x(x-1)$作为总场次的易错点。
【难度系数】
0.7
这是单循环比赛的计数类列方程问题，解题思路如下：首先明确比赛规则为每两支球队仅比赛1场，第一步先计算不考虑重复时的总场次：x支球队中，每支球队需要和除自身外的(x-1)支球队各赛1场，此时统计的总场次为x(x-1)；第二步修正重复计数的问题：每场比赛会被参赛的两支球队各统计1次，也就是上述计算结果里每场比赛都被算了2次，所以实际总场次需要除以2；第三步结合已知总场次为36，即可列出对应的方程。
【解析】
设有$x$支球队参加比赛：
1. 每支球队需与其余$(x-1)$支球队各比赛1场，若不考虑重复统计，所有球队的参赛场次总和为$x(x-1)$场；
2. 由于每两支球队之间的比赛仅计1场，上述计算中每场比赛被重复统计了2次，因此实际比赛总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 已知共比赛36场，因此可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=36$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程实际应用，单循环计数
【点评】
本题是列方程解实际问题的常见题型，解题的核心是注意单循环赛制中存在重复计数的情况，避免直接用$x(x-1)$作为总场次的易错点。
【难度系数】
0.7
2.某商店销售一种文具，若每个盈利5元，则每天可售出200个.经市场调查发现，若每个涨价1元，则每天的销售量就减少10个.现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（
A.5元
B.15元
C.5元或10元
D.5元或15元
C
）A.5元
B.15元
C.5元或10元
D.5元或15元
答案
C
解析
【分析】
这是销售利润类的一元二次方程实际应用题，解题核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售数量”这一等量关系。首先设每个涨价x元，分别表示出涨价后的单个利润和日销售量，再根据总盈利1500元列方程求解，最后验证解是否符合实际意义即可。
【解析】
设每个文具应涨价x元。
涨价后每个文具的盈利为：$(5+x)$元
涨价后每天的销售量为：$(200-10x)$个
根据总盈利=单个盈利×销售量，可列方程：
$(5+x)(200-10x)=1500$
展开并整理方程：
$1000 + 150x -10x^2 =1500$
移项化简得：
$x^2 -15x +50=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-10)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=10$
经检验，两个解均符合实际销售的意义，因此每个应涨价5元或10元。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润问题计算
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的销售类实际问题，解题关键是找准等量关系正确列方程，求解后要注意检验根是否符合实际场景，若题目有额外限制（如要让顾客得到实惠等），还需对根进行筛选。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类的一元二次方程实际应用题，解题核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售数量”这一等量关系。首先设每个涨价x元，分别表示出涨价后的单个利润和日销售量，再根据总盈利1500元列方程求解，最后验证解是否符合实际意义即可。
【解析】
设每个文具应涨价x元。
涨价后每个文具的盈利为：$(5+x)$元
涨价后每天的销售量为：$(200-10x)$个
根据总盈利=单个盈利×销售量，可列方程：
$(5+x)(200-10x)=1500$
展开并整理方程：
$1000 + 150x -10x^2 =1500$
移项化简得：
$x^2 -15x +50=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-10)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=10$
经检验，两个解均符合实际销售的意义，因此每个应涨价5元或10元。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润问题计算
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的销售类实际问题，解题关键是找准等量关系正确列方程，求解后要注意检验根是否符合实际场景，若题目有额外限制（如要让顾客得到实惠等），还需对根进行筛选。
【难度系数】
0.7
3.某校九年级准备以单循环比赛(每两支球队之间都进行一次比赛)的形式组织一次篮球比赛，这样共有15场比赛，则参赛球队有
6
支.答案
6
解析
【分析】
首先明确单循环比赛的计数规则：每两支球队之间仅赛1场，假设有x支参赛球队，每支球队需和除自身外的(x-1)支球队各赛1场，此时统计的总场次中每场比赛被2支球队各计算1次，因此实际总场次应为$\frac{x(x-1)}{2}$。结合题目给出的总场次为15场，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到参赛球队数量。
【解析】
解：设参赛球队有x支。
根据单循环比赛总场次的计算逻辑，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于球队数量不能为负数，因此舍去$x=-5$，即参赛球队有6支。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数
【点评】
这是比赛场次类的典型应用题，解题关键是理解单循环赛制的计数规则，避免重复计数，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环比赛的计数规则：每两支球队之间仅赛1场，假设有x支参赛球队，每支球队需和除自身外的(x-1)支球队各赛1场，此时统计的总场次中每场比赛被2支球队各计算1次，因此实际总场次应为$\frac{x(x-1)}{2}$。结合题目给出的总场次为15场，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到参赛球队数量。
【解析】
解：设参赛球队有x支。
根据单循环比赛总场次的计算逻辑，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理方程得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
由于球队数量不能为负数，因此舍去$x=-5$，即参赛球队有6支。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数
【点评】
这是比赛场次类的典型应用题，解题关键是理解单循环赛制的计数规则，避免重复计数，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
4.某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行了一段时间的试销.据市场反馈，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过65元.要使每天销售这款工艺品盈利1 350元，那么每件工艺品的售价应为多少元？
答案
每件工艺品的售价应为55元.
解析
【分析】
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售量”这一等量关系。思考步骤如下：1. 设合适的未知数，本题可直接设每件工艺品的售价为x元，结合题目的限制条件明确x的取值范围（40＜x≤65）；2. 分别用含x的式子表示单件利润和销售量：单件利润为售价减成本即(x-40)元；销售量的计算：单价从50元涨到x元，共涨了(x-50)元，每涨1元少卖2件，所以少卖2(x-50)件，因此销售量为[100-2(x-50)]件；3. 根据总盈利1350元列方程求解，最后要检验解是否符合售价不超过65元的限制，舍去不符合实际的根。
【解析】
解：设每件工艺品的售价应为x元，根据题意可知40＜x≤65。
单件利润为：$(x-40)$元
每天的销售量为：$100-2(x-50) = 200-2x$ 件
根据总利润=单件利润×销售量，可列方程：
$(x-40)(200-2x) = 1350$
整理方程得：
$x^2 - 140x + 4675 = 0$
解得：
$x_1 = 55$，$x_2 = 85$
∵销售单价不得超过65元，$85＞65$，不符合题意，舍去
∴$x=55$
【答案】
每件工艺品的售价应为55元.
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是常见的销售盈利类应用题，解题的关键是找准总利润的等量关系建立方程，求解后一定要结合题目给出的实际限制条件对根进行检验取舍，避免出现不符合实际情况的错解。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售量”这一等量关系。思考步骤如下：1. 设合适的未知数，本题可直接设每件工艺品的售价为x元，结合题目的限制条件明确x的取值范围（40＜x≤65）；2. 分别用含x的式子表示单件利润和销售量：单件利润为售价减成本即(x-40)元；销售量的计算：单价从50元涨到x元，共涨了(x-50)元，每涨1元少卖2件，所以少卖2(x-50)件，因此销售量为[100-2(x-50)]件；3. 根据总盈利1350元列方程求解，最后要检验解是否符合售价不超过65元的限制，舍去不符合实际的根。
【解析】
解：设每件工艺品的售价应为x元，根据题意可知40＜x≤65。
单件利润为：$(x-40)$元
每天的销售量为：$100-2(x-50) = 200-2x$ 件
根据总利润=单件利润×销售量，可列方程：
$(x-40)(200-2x) = 1350$
整理方程得：
$x^2 - 140x + 4675 = 0$
解得：
$x_1 = 55$，$x_2 = 85$
∵销售单价不得超过65元，$85＞65$，不符合题意，舍去
∴$x=55$
【答案】
每件工艺品的售价应为55元.
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是常见的销售盈利类应用题，解题的关键是找准总利润的等量关系建立方程，求解后一定要结合题目给出的实际限制条件对根进行检验取舍，避免出现不符合实际情况的错解。
【难度系数】
0.7
