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2.多项式$\frac{1-x^2}{4}$的最高次项系数为(
A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{4}$
D.$-\frac{1}{4}$
D
)。A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{4}$
D.$-\frac{1}{4}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先把给出的多项式整理成若干个单项式和的标准形式，再依次判断每个单项式的次数，找到次数最高的项，最后提取该最高次项的数字因数（需包含符号）即可得到结果。第一步先拆分分数，把$\frac{1-x^2}{4}$拆分为两个独立的项；第二步对比两个项的次数，确定最高次项；第三步提取最高次项的数字部分，注意不要遗漏负号和分母的4。
【解析】
先将给定的多项式变形：
$\frac{1-x^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}x^2$
该多项式共有两项：$\frac{1}{4}$是常数项，次数为0；$-\frac{1}{4}x^2$的次数为2。
因此最高次项为$-\frac{1}{4}x^2$，它的系数为$-\frac{1}{4}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；单项式的系数
【点评】
本题是整式部分的基础概念题，解题核心是先将原式改写为多项式的标准形式，易错点是容易遗漏最高次项的负号，或者忽略分母的4，误选A或C。
【难度系数】
0.7
解题时先把给出的多项式整理成若干个单项式和的标准形式，再依次判断每个单项式的次数，找到次数最高的项，最后提取该最高次项的数字因数（需包含符号）即可得到结果。第一步先拆分分数，把$\frac{1-x^2}{4}$拆分为两个独立的项；第二步对比两个项的次数，确定最高次项；第三步提取最高次项的数字部分，注意不要遗漏负号和分母的4。
【解析】
先将给定的多项式变形：
$\frac{1-x^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}x^2$
该多项式共有两项：$\frac{1}{4}$是常数项，次数为0；$-\frac{1}{4}x^2$的次数为2。
因此最高次项为$-\frac{1}{4}x^2$，它的系数为$-\frac{1}{4}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；单项式的系数
【点评】
本题是整式部分的基础概念题，解题核心是先将原式改写为多项式的标准形式，易错点是容易遗漏最高次项的负号，或者忽略分母的4，误选A或C。
【难度系数】
0.7
3.若$m,n$为自然数,则多项式$x^m + y^n + 4^{m+n}$的次数应是(
A.$m$
B.$n$
C.$m,n$中的较大数
D.$m+n$
C
)。A.$m$
B.$n$
C.$m,n$中的较大数
D.$m+n$
答案
C
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式里次数最高的项的次数。接下来我们逐项分析多项式中每一项的次数：第一项$x^m$只含字母x，次数是x的指数m；第二项$y^n$只含字母y，次数是y的指数n；第三项$4^{m+n}$不含字母，属于常数项，常数项的次数为0。因为m、n是自然数，0一定小于等于m和n，所以只需比较m和n的大小，取较大值就是多项式的次数，注意不要误把常数项中4的指数$m+n$当成项的次数，只有字母的指数才会计入单项式的次数。
【解析】
根据多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，我们对三个项分别分析：
1. 项$x^m$：仅含字母x，次数为m；
2. 项$y^n$：仅含字母y，次数为n；
3. 项$4^{m+n}$：不含字母，是常数项，次数为0。
由于m、n为自然数，因此次数最高的项的次数为m、n中的较大数，即该多项式的次数是m、n中的较大数。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；常数项
【点评】
本题考查整式相关的基础概念，解题核心是准确掌握多项式次数的判断规则，要注意区分数字的指数和字母的指数，不要将常数项里数字的指数误认为项的次数。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式里次数最高的项的次数。接下来我们逐项分析多项式中每一项的次数：第一项$x^m$只含字母x，次数是x的指数m；第二项$y^n$只含字母y，次数是y的指数n；第三项$4^{m+n}$不含字母，属于常数项，常数项的次数为0。因为m、n是自然数，0一定小于等于m和n，所以只需比较m和n的大小，取较大值就是多项式的次数，注意不要误把常数项中4的指数$m+n$当成项的次数，只有字母的指数才会计入单项式的次数。
【解析】
根据多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，我们对三个项分别分析：
1. 项$x^m$：仅含字母x，次数为m；
2. 项$y^n$：仅含字母y，次数为n；
3. 项$4^{m+n}$：不含字母，是常数项，次数为0。
由于m、n为自然数，因此次数最高的项的次数为m、n中的较大数，即该多项式的次数是m、n中的较大数。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；常数项
【点评】
本题考查整式相关的基础概念，解题核心是准确掌握多项式次数的判断规则，要注意区分数字的指数和字母的指数，不要将常数项里数字的指数误认为项的次数。
【难度系数】
0.8
4.已知多项式$(a-3)x^3 + x^{|b|} -2x + b +2$是关于$x$的二次三项式，则$a$，$b$的值分别为（
A.$a=3,b=2$
B.$a=0,b=0$
C.$a=3,b=-2$
D.$a=-3,b=2$
A
）。A.$a=3,b=2$
B.$a=0,b=0$
C.$a=3,b=-2$
D.$a=-3,b=2$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次三项式的核心特征：一是多项式的最高次项的次数为2，二是多项式总共有3个不含同类项的项。我们可以分三步推导：首先，要消去三次项，需让三次项的系数为0，算出a的值；其次，要让最高次为2，需让x的指数|b|等于2，得到b的可能取值；最后，要保证是三项式，需避免常数项为0导致项数减少，排除不符合条件的b值即可。
【解析】
∵ 多项式$(a-3)x^3 + x^{|b|} -2x + b +2$是关于$x$的二次三项式
∴ 第一步：三次项不存在，即三次项系数为0：
$a-3=0$，解得$a=3$
第二步：最高次项次数为2：
$|b|=2$，解得$b=2$或$b=-2$
第三步：多项式为三项式，故常数项不能为0（否则只剩两项）：
$b+2≠0$，即$b≠-2$
综上，$a=3$，$b=2$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数，多项式的项数，绝对值的性质
【点评】
本题重点考查多项式相关概念的应用，解题时需同时满足次数和项数两个要求，容易忽略常数项不为0的限制，误将b=-2当作正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二次三项式的核心特征：一是多项式的最高次项的次数为2，二是多项式总共有3个不含同类项的项。我们可以分三步推导：首先，要消去三次项，需让三次项的系数为0，算出a的值；其次，要让最高次为2，需让x的指数|b|等于2，得到b的可能取值；最后，要保证是三项式，需避免常数项为0导致项数减少，排除不符合条件的b值即可。
【解析】
∵ 多项式$(a-3)x^3 + x^{|b|} -2x + b +2$是关于$x$的二次三项式
∴ 第一步：三次项不存在，即三次项系数为0：
$a-3=0$，解得$a=3$
第二步：最高次项次数为2：
$|b|=2$，解得$b=2$或$b=-2$
第三步：多项式为三项式，故常数项不能为0（否则只剩两项）：
$b+2≠0$，即$b≠-2$
综上，$a=3$，$b=2$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数，多项式的项数，绝对值的性质
【点评】
本题重点考查多项式相关概念的应用，解题时需同时满足次数和项数两个要求，容易忽略常数项不为0的限制，误将b=-2当作正确结果。
【难度系数】
0.7
5.下列说法正确的是(
A.多项式$4x^2 -4x +1$的项为$4x^2,4x,1$
B.多项式$-2x^2 -4xy +1$是四次三项式
C.一个五次多项式，则这个多项式的任何一项的次数都不大于5
D.$-3x^2 +x -2$的常数项是2
C
)。A.多项式$4x^2 -4x +1$的项为$4x^2,4x,1$
B.多项式$-2x^2 -4xy +1$是四次三项式
C.一个五次多项式，则这个多项式的任何一项的次数都不大于5
D.$-3x^2 +x -2$的常数项是2
答案
C
解析
【分析】
本题考查多项式的相关基础概念，解题时需先明确多项式的项、次数、常数项的定义，再逐一验证每个选项是否符合定义，即可得出正确答案。解题时需注意：多项式的每一项都包含它前面的符号，多项式的次数由最高次项的次数决定。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：多项式的项包含前面的符号，因此$4x^2 -4x +1$的项为$4x^2、-4x、1$，选项中第二项漏掉负号，故A错误。
B选项：多项式的次数是最高次项的次数，$-2x^2 -4xy +1$中最高次项是$-2x^2$和$-4xy$，次数均为2，因此该多项式是二次三项式，故B错误。
C选项：五次多项式的定义为最高次项的次数是5，因此该多项式其余项的次数都不大于5，故C正确。
D选项：常数项是不含字母的项，需包含前面的符号，因此$-3x^2 +x -2$的常数项是-2，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的易错点是容易忽略多项式的项、常数项前面的性质符号，以及混淆多项式次数和单项式次数的判断方法，牢记相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式的相关基础概念，解题时需先明确多项式的项、次数、常数项的定义，再逐一验证每个选项是否符合定义，即可得出正确答案。解题时需注意：多项式的每一项都包含它前面的符号，多项式的次数由最高次项的次数决定。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：多项式的项包含前面的符号，因此$4x^2 -4x +1$的项为$4x^2、-4x、1$，选项中第二项漏掉负号，故A错误。
B选项：多项式的次数是最高次项的次数，$-2x^2 -4xy +1$中最高次项是$-2x^2$和$-4xy$，次数均为2，因此该多项式是二次三项式，故B错误。
C选项：五次多项式的定义为最高次项的次数是5，因此该多项式其余项的次数都不大于5，故C正确。
D选项：常数项是不含字母的项，需包含前面的符号，因此$-3x^2 +x -2$的常数项是-2，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的易错点是容易忽略多项式的项、常数项前面的性质符号，以及混淆多项式次数和单项式次数的判断方法，牢记相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.若$(a-1)x^2y^b$是关于$x,y$的五次单项式，且系数为$-1$，则$a=$
0
，$b=$3
。答案
0 3
解析
【分析】
要解决这道题，需结合单项式的系数和次数的定义逐步推导：首先，单项式的系数是单项式中的数字因数，题目给出系数为-1，据此可列等式求出a的值；其次，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，该式是关于x、y的五次单项式，即x和y的指数相加等于5，据此可列等式求出b的值，同时要注意单项式的系数不能为0，本题求出的a满足该要求，符合题意。
【解析】
1. 计算a的值：
根据单项式系数的定义，该单项式的系数为$a-1$，已知系数为$-1$，可得：
$a-1=-1$
解得$a=0$，此时系数为$-1≠0$，满足单项式的定义要求。
2. 计算b的值：
根据单项式次数的定义，该单项式是关于x、y的五次单项式，即所有字母的指数和为5，其中x的指数是2，y的指数是b，可得：
$2+b=5$
解得$b=3$。
【答案】
0；3
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是整式章节的典型基础题，核心考查单项式系数和次数的概念，解题关键是牢记相关定义，结合题干条件列简单的一元一次方程即可求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需结合单项式的系数和次数的定义逐步推导：首先，单项式的系数是单项式中的数字因数，题目给出系数为-1，据此可列等式求出a的值；其次，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，该式是关于x、y的五次单项式，即x和y的指数相加等于5，据此可列等式求出b的值，同时要注意单项式的系数不能为0，本题求出的a满足该要求，符合题意。
【解析】
1. 计算a的值：
根据单项式系数的定义，该单项式的系数为$a-1$，已知系数为$-1$，可得：
$a-1=-1$
解得$a=0$，此时系数为$-1≠0$，满足单项式的定义要求。
2. 计算b的值：
根据单项式次数的定义，该单项式是关于x、y的五次单项式，即所有字母的指数和为5，其中x的指数是2，y的指数是b，可得：
$2+b=5$
解得$b=3$。
【答案】
0；3
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是整式章节的典型基础题，核心考查单项式系数和次数的概念，解题关键是牢记相关定义，结合题干条件列简单的一元一次方程即可求解。
【难度系数】
0.8
7. 已知关于$x,y$的多项式$xy^3 - 3x^4 + x^2y^m -5mn$是五次四项式（$m,n$为有理数），且单项式$5x^{4-m}y^n$的次数与该多项式的次数相同。
(1)求$m,n$的值；
(2)将这个多项式按$x$的降幂排列。
(1)求$m,n$的值；
(2)将这个多项式按$x$的降幂排列。
答案
解:(1)$m=3,n=4$。
(2)当 $m = 1, n = 5$ 时, 多项式为 $- 3x^4 + x^2 y^3 + xy^3 - 25$,
该多项式按 $x$ 的降幂排列为 $- 3x^4 + x^2 y^3 + xy^3 - 25$。
(2)当 $m = 1, n = 5$ 时, 多项式为 $- 3x^4 + x^2 y^3 + xy^3 - 25$,
该多项式按 $x$ 的降幂排列为 $- 3x^4 + x^2 y^3 + xy^3 - 25$。
解析
【分析】
(1) 求m、n的值需结合多项式和单项式的次数定义思考：首先，多项式的次数是最高次项的次数，题中多项式是五次四项式，先计算已知项的次数：$xy^3$次数为4，$-3x^4$次数为4，常数项$-5mn$次数为0，因此最高次项只能是$x^2y^m$，令其次数$2+m=5$即可求出m；再根据单项式次数是所有字母指数和，且该单项式次数和多项式次数相同，列方程代入m的值即可求出n。
(2) 按x的降幂排列，就是将多项式各项按照x的指数从大到小的顺序排列，先把m、n代入原多项式，再按x的指数大小排序即可。
【解析】
解：(1)
∵ 多项式$xy^3 - 3x^4 + x^2y^m -5mn$是五次四项式
∴ 多项式的最高次项次数为5
观察各项：$xy^3$的次数为$1+3=4$，$-3x^4$的次数为4，$-5mn$为常数项（次数为0）
∴ 最高次项为$x^2y^m$，可得$2+m=5$，解得$m=3$
又
∵ 单项式$5x^{4-m}y^n$的次数与多项式次数相同，即也为5
∴ 单项式的次数满足$(4-m)+n=5$
将$m=3$代入得：$4-3+n=5$，解得$n=4$
(2) 把$m=3$，$n=4$代入原多项式，得：
$xy^3 - 3x^4 + x^2y^3 -5×3×4 = -3x^4 + x^2y^3 + xy^3 - 60$
按x的降幂排列（x的指数从高到低）为：
$-3x^4 + x^2y^3 + xy^3 - 60$
【答案】
(1) $m=3$，$n=4$；
(2) $-3x^4 + x^2y^3 + xy^3 - 60$
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；多项式的降幂排列
【点评】
本题主要考查整式相关概念的应用，解题的关键是准确理解多项式次数、单项式次数的定义，按指定字母降幂排列时只需关注该字母的指数大小，同时注意各项要带着自身的符号移动。
【难度系数】
0.7
(1) 求m、n的值需结合多项式和单项式的次数定义思考：首先，多项式的次数是最高次项的次数，题中多项式是五次四项式，先计算已知项的次数：$xy^3$次数为4，$-3x^4$次数为4，常数项$-5mn$次数为0，因此最高次项只能是$x^2y^m$，令其次数$2+m=5$即可求出m；再根据单项式次数是所有字母指数和，且该单项式次数和多项式次数相同，列方程代入m的值即可求出n。
(2) 按x的降幂排列，就是将多项式各项按照x的指数从大到小的顺序排列，先把m、n代入原多项式，再按x的指数大小排序即可。
【解析】
解：(1)
∵ 多项式$xy^3 - 3x^4 + x^2y^m -5mn$是五次四项式
∴ 多项式的最高次项次数为5
观察各项：$xy^3$的次数为$1+3=4$，$-3x^4$的次数为4，$-5mn$为常数项（次数为0）
∴ 最高次项为$x^2y^m$，可得$2+m=5$，解得$m=3$
又
∵ 单项式$5x^{4-m}y^n$的次数与多项式次数相同，即也为5
∴ 单项式的次数满足$(4-m)+n=5$
将$m=3$代入得：$4-3+n=5$，解得$n=4$
(2) 把$m=3$，$n=4$代入原多项式，得：
$xy^3 - 3x^4 + x^2y^3 -5×3×4 = -3x^4 + x^2y^3 + xy^3 - 60$
按x的降幂排列（x的指数从高到低）为：
$-3x^4 + x^2y^3 + xy^3 - 60$
【答案】
(1) $m=3$，$n=4$；
(2) $-3x^4 + x^2y^3 + xy^3 - 60$
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；多项式的降幂排列
【点评】
本题主要考查整式相关概念的应用，解题的关键是准确理解多项式次数、单项式次数的定义，按指定字母降幂排列时只需关注该字母的指数大小，同时注意各项要带着自身的符号移动。
【难度系数】
0.7
8. 对下列单项式进行分类：$3a^3x$，$bxy$，$5x^2$，$-4b^2y$，$a^3$，$-b^2x^2$，$\frac{1}{2}axy^2$（要求：至少用两种分类方法）。
答案
解:按单项式的次数进行分类时,是2次单项式的有:$5x^2$;是3次单项式的有:$bxy,-4b^2y,a^3$;是4次单项式的有:$3a^3x,-b^2x^2,\frac{1}{2}axy^2$。
按$x$的指数进行分类时,$x$的指数是2次的单项式:$5x^2$,$-b^2x^2$;$x$的指数是1次的单项式:$3a^3x,bxy,\frac{1}{2}axy^2$;$x$的指数是0的单项式:$-4b^2y,a^3$。
(答案不唯一。)
按$x$的指数进行分类时,$x$的指数是2次的单项式:$5x^2$,$-b^2x^2$;$x$的指数是1次的单项式:$3a^3x,bxy,\frac{1}{2}axy^2$;$x$的指数是0的单项式:$-4b^2y,a^3$。
(答案不唯一。)
解析
【分析】
解决本题首先要明确分类题的核心原则：先确定统一的分类标准，同一分类下标准唯一，分类结果要做到不重不漏。我们可以结合单项式的相关概念选择分类标准：①可以按单项式的次数（所有字母的指数和）分类；②可以按某一特定字母（如x）的指数大小分类，也可选择系数正负等其他标准，至少写出两种分类即可。确定标准后逐个判断每个单项式的所属类别即可。
【解析】
分类方法1：按单项式的次数分类（单项式的次数为所有字母的指数和）
先逐个计算每个单项式的次数：
$5x^2$：仅含字母x，指数为2，属于2次单项式；
$bxy$：字母b、x、y的指数和为$1+1+1=3$，$-4b^2y$：字母b、y的指数和为$2+1=3$，$a^3$：仅含字母a，指数为3，三者都属于3次单项式；
$3a^3x$：字母a、x的指数和为$3+1=4$，$-b^2x^2$：字母b、x的指数和为$2+2=4$，$\frac{1}{2}axy^2$：字母a、x、y的指数和为$1+1+2=4$，三者都属于4次单项式。
分类方法2：按单项式中$x$的指数分类
逐个判断每个单项式中x的指数：
$5x^2$、$-b^2x^2$中x的指数为2，属于x的指数是2次的单项式；
$3a^3x$、$bxy$、$\frac{1}{2}axy^2$中x的指数为1，属于x的指数是1次的单项式；
$-4b^2y$、$a^3$不含x，即x的指数为0，属于x的指数是0的单项式。
（除此之外还可按系数正负等其他标准分类，答案不唯一）
【答案】
按单项式的次数进行分类时,是2次单项式的有:$5x^2$;是3次单项式的有:$bxy,-4b^2y,a^3$;是4次单项式的有:$3a^3x,-b^2x^2,\frac{1}{2}axy^2$。
按$x$的指数进行分类时,$x$的指数是2次的单项式:$5x^2$,$-b^2x^2$;$x$的指数是1次的单项式:$3a^3x,bxy,\frac{1}{2}axy^2$;$x$的指数是0的单项式:$-4b^2y,a^3$。
(答案不唯一。)
【知识点】
单项式的次数；单项式的概念；分类讨论
【点评】
本题考查对单项式相关概念的理解与运用，解题关键是先明确统一的分类标准，分类过程要保证不重不漏，同一问题选择不同的分类标准，得到的分类结果也不相同。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确分类题的核心原则：先确定统一的分类标准，同一分类下标准唯一，分类结果要做到不重不漏。我们可以结合单项式的相关概念选择分类标准：①可以按单项式的次数（所有字母的指数和）分类；②可以按某一特定字母（如x）的指数大小分类，也可选择系数正负等其他标准，至少写出两种分类即可。确定标准后逐个判断每个单项式的所属类别即可。
【解析】
分类方法1：按单项式的次数分类（单项式的次数为所有字母的指数和）
先逐个计算每个单项式的次数：
$5x^2$：仅含字母x，指数为2，属于2次单项式；
$bxy$：字母b、x、y的指数和为$1+1+1=3$，$-4b^2y$：字母b、y的指数和为$2+1=3$，$a^3$：仅含字母a，指数为3，三者都属于3次单项式；
$3a^3x$：字母a、x的指数和为$3+1=4$，$-b^2x^2$：字母b、x的指数和为$2+2=4$，$\frac{1}{2}axy^2$：字母a、x、y的指数和为$1+1+2=4$，三者都属于4次单项式。
分类方法2：按单项式中$x$的指数分类
逐个判断每个单项式中x的指数：
$5x^2$、$-b^2x^2$中x的指数为2，属于x的指数是2次的单项式；
$3a^3x$、$bxy$、$\frac{1}{2}axy^2$中x的指数为1，属于x的指数是1次的单项式；
$-4b^2y$、$a^3$不含x，即x的指数为0，属于x的指数是0的单项式。
（除此之外还可按系数正负等其他标准分类，答案不唯一）
【答案】
按单项式的次数进行分类时,是2次单项式的有:$5x^2$;是3次单项式的有:$bxy,-4b^2y,a^3$;是4次单项式的有:$3a^3x,-b^2x^2,\frac{1}{2}axy^2$。
按$x$的指数进行分类时,$x$的指数是2次的单项式:$5x^2$,$-b^2x^2$;$x$的指数是1次的单项式:$3a^3x,bxy,\frac{1}{2}axy^2$;$x$的指数是0的单项式:$-4b^2y,a^3$。
(答案不唯一。)
【知识点】
单项式的次数；单项式的概念；分类讨论
【点评】
本题考查对单项式相关概念的理解与运用，解题关键是先明确统一的分类标准，分类过程要保证不重不漏，同一问题选择不同的分类标准，得到的分类结果也不相同。
【难度系数】
0.8
9.如图,在一块底为a cm、高为h cm的三角形铁皮上剪去一个半径为r cm的半圆。
(1)用含a,h,r的代数式表示剩下铁皮(阴影部分)的面积,并判断这个代数式是单项式还是多项式；
(2)当a=20,h=15,r=4时,求剩下的铁皮面积(π取3)。
(1)用含a,h,r的代数式表示剩下铁皮(阴影部分)的面积,并判断这个代数式是单项式还是多项式；
(2)当a=20,h=15,r=4时,求剩下的铁皮面积(π取3)。
答案
解:(1)$S_{阴影}=S_{三角形}-S_{半圆}$
$=(\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2)\mathrm{cm}^2$,是多项式。
(2)当 $a = 20, h = 15, r = 4, π = 3$ 时,
$S_{阴影}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$
$=\frac{1}{2}×20×15-\frac{1}{2}×3×4^2=150-24=126(\mathrm{cm}^2)$。
$=(\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2)\mathrm{cm}^2$,是多项式。
(2)当 $a = 20, h = 15, r = 4, π = 3$ 时,
$S_{阴影}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$
$=\frac{1}{2}×20×15-\frac{1}{2}×3×4^2=150-24=126(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
解决第(1)问时，阴影部分为不规则图形，采用“整体面积减空白面积”的思路求解：整体是底为a、高为h的三角形，空白是半径为r的半圆。先分别根据对应面积公式计算三角形和半圆的面积，两者作差即可得到阴影面积的代数式；再根据整式的分类规则判断代数式类型：几个单项式的和为多项式，观察所得代数式的构成即可判断。解决第(2)问时，属于代数式求值问题，将给定的数值代入第(1)问得到的代数式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 阴影部分面积等于三角形面积减去半圆面积：
三角形面积：$S_{三角形}=\frac{1}{2}ah$（单位：$\mathrm{cm}^2$）
半圆面积：$S_{半圆}=\frac{1}{2}πr^2$（单位：$\mathrm{cm}^2$）
因此$S_{阴影}=S_{三角形}-S_{半圆}=(\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2)\mathrm{cm}^2$
该代数式由$\frac{1}{2}ah$和$-\frac{1}{2}πr^2$两个单项式相加组成，属于多项式。
(2) 将$a = 20, h = 15, r = 4, π = 3$代入$S_{阴影}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=\frac{1}{2}×20×15-\frac{1}{2}×3×4^2\\&=150-\frac{1}{2}×3×16\\&=150-24\\&=126(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) 剩下铁皮的面积为$(\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}πr^2)\mathrm{cm}^2$，是多项式；
(2) 剩下的铁皮面积为$126\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
阴影面积计算，整式的分类，代数式求值
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式相关基础知识点，难度较低，核心是掌握“整体减空白”求不规则图形面积的方法，代入数值计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，阴影部分为不规则图形，采用“整体面积减空白面积”的思路求解：整体是底为a、高为h的三角形，空白是半径为r的半圆。先分别根据对应面积公式计算三角形和半圆的面积，两者作差即可得到阴影面积的代数式；再根据整式的分类规则判断代数式类型：几个单项式的和为多项式，观察所得代数式的构成即可判断。解决第(2)问时，属于代数式求值问题，将给定的数值代入第(1)问得到的代数式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 阴影部分面积等于三角形面积减去半圆面积：
三角形面积：$S_{三角形}=\frac{1}{2}ah$（单位：$\mathrm{cm}^2$）
半圆面积：$S_{半圆}=\frac{1}{2}πr^2$（单位：$\mathrm{cm}^2$）
因此$S_{阴影}=S_{三角形}-S_{半圆}=(\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2)\mathrm{cm}^2$
该代数式由$\frac{1}{2}ah$和$-\frac{1}{2}πr^2$两个单项式相加组成，属于多项式。
(2) 将$a = 20, h = 15, r = 4, π = 3$代入$S_{阴影}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=\frac{1}{2}×20×15-\frac{1}{2}×3×4^2\\&=150-\frac{1}{2}×3×16\\&=150-24\\&=126(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) 剩下铁皮的面积为$(\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}πr^2)\mathrm{cm}^2$，是多项式；
(2) 剩下的铁皮面积为$126\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
阴影面积计算，整式的分类，代数式求值
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式相关基础知识点，难度较低，核心是掌握“整体减空白”求不规则图形面积的方法，代入数值计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
10.观察下列单项式：$-x,3x^{2},-5x^{3},7x^{4},…,-37x^{19},39x^{20},…$。解决下列问题：
（1）题目中所给的单项式系数（符号和绝对值）的变化规律是什么？
（2）所给单项式的次数的变化规律是什么？
（3）请你根据上面的两个问题写出第n个单项式。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
（1）题目中所给的单项式系数（符号和绝对值）的变化规律是什么？
（2）所给单项式的次数的变化规律是什么？
（3）请你根据上面的两个问题写出第n个单项式。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
解:(1)所给单项式的系数依次为$-1,3,-5,7,\dots,-37,39,\dots$,系数为奇数且奇次单项式的系数为负数,故单项式的系数的符号是$(-1)^n$,系数的绝对值的规律是$2n-1$。
(2)所给单项式的次数的变化规律是:从1开始的连续自然数,第$n$个单项式的次数表示为$n$。
(3)根据(1)(2)发现的规律,第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(2)所给单项式的次数的变化规律是:从1开始的连续自然数,第$n$个单项式的次数表示为$n$。
(3)根据(1)(2)发现的规律,第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
解析
【分析】
解决这道题我们可以拆分观察，分别找系数、次数的规律再整合：
1. 处理第(1)问时，先把系数拆成符号和绝对值两部分看：①符号：第1个单项式系数为负，第2个为正，第3个为负，正负交替出现，且奇数项为负、偶数项为正，对应规律为$(-1)^n$；②绝对值：依次是1、3、5、7…都是连续的奇数，第n个奇数就是$2n-1$，两者结合就是系数的规律。
2. 处理第(2)问时，直接观察每个单项式中x的指数：第1个是1，第2个是2，第3个是3…依次和项数n相等，是从1开始的连续自然数。
3. 处理第(3)问时，把前两问得到的系数规律和次数规律组合起来，就能得到第n个单项式的表达式。
【解析】
(1) 先列出所给单项式的系数：$-1,3,-5,7,\dots,-37,39,\dots$，分开观察符号和绝对值：
符号规律：奇数项系数为负，偶数项系数为正，即系数的符号为$(-1)^n$；
绝对值规律：系数的绝对值是连续的奇数，第n个系数的绝对值为$2n-1$。
(2) 观察每个单项式的次数：第1个单项式次数为1，第2个为2，第3个为3……，变化规律是从1开始的连续自然数，第n个单项式的次数为$n$。
(3) 结合(1)(2)的规律，第n个单项式为系数乘以$x$的n次方，即$(-1)^n(2n-1)x^n$。
【答案】
(1) 系数的符号规律为$(-1)^n$，绝对值规律为$2n-1$；
(2) 次数是从1开始的连续自然数，第n个单项式的次数为$n$；
(3) 第n个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$。
【知识点】
单项式的系数与次数、规律探究、列代数式
【点评】
这是整式章节常见的规律探究类题目，解题核心是分类观察变量的特征，将复杂规律拆分为符号、数字、指数等多个独立部分分别推导，再整合得到最终规律，能有效锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以拆分观察，分别找系数、次数的规律再整合：
1. 处理第(1)问时，先把系数拆成符号和绝对值两部分看：①符号：第1个单项式系数为负，第2个为正，第3个为负，正负交替出现，且奇数项为负、偶数项为正，对应规律为$(-1)^n$；②绝对值：依次是1、3、5、7…都是连续的奇数，第n个奇数就是$2n-1$，两者结合就是系数的规律。
2. 处理第(2)问时，直接观察每个单项式中x的指数：第1个是1，第2个是2，第3个是3…依次和项数n相等，是从1开始的连续自然数。
3. 处理第(3)问时，把前两问得到的系数规律和次数规律组合起来，就能得到第n个单项式的表达式。
【解析】
(1) 先列出所给单项式的系数：$-1,3,-5,7,\dots,-37,39,\dots$，分开观察符号和绝对值：
符号规律：奇数项系数为负，偶数项系数为正，即系数的符号为$(-1)^n$；
绝对值规律：系数的绝对值是连续的奇数，第n个系数的绝对值为$2n-1$。
(2) 观察每个单项式的次数：第1个单项式次数为1，第2个为2，第3个为3……，变化规律是从1开始的连续自然数，第n个单项式的次数为$n$。
(3) 结合(1)(2)的规律，第n个单项式为系数乘以$x$的n次方，即$(-1)^n(2n-1)x^n$。
【答案】
(1) 系数的符号规律为$(-1)^n$，绝对值规律为$2n-1$；
(2) 次数是从1开始的连续自然数，第n个单项式的次数为$n$；
(3) 第n个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$。
【知识点】
单项式的系数与次数、规律探究、列代数式
【点评】
这是整式章节常见的规律探究类题目，解题核心是分类观察变量的特征，将复杂规律拆分为符号、数字、指数等多个独立部分分别推导，再整合得到最终规律，能有效锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
