登录
5.如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，AC//DF。添加一个条件，使得△ABC≌△DEF。不增加任何新的字母和辅助线，这个条件可以是
AC=DF(答案不唯一)
。答案
5.AC=DF(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先对已知条件进行转化：首先由AD=BE，结合线段和差可得AB=DE；再由AC//DF，根据平行线的性质可得一组同位角相等，即∠A=∠FDE。此时已具备一组边相等、一组角相等的条件，结合全等三角形的判定定理，补充缺少的对应相等的元素即可，可根据SAS、ASA、AAS分别添加不同的条件，任选其一即可。
【解析】
已知AD=BE，那么AD+DB=BE+DB，即AB=DE。
因为AC//DF，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠A=∠FDE。
若添加条件AC=DF：
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}AC=DF\\∠A=∠FDE\\AB=DE\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
除此之外，添加∠C=∠F、∠ABC=∠E等也可证明全等，答案不唯一。
【答案】
AC=DF（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、平行线的性质、线段的和差计算
【点评】
本题是全等三角形的开放型条件补充题，解题的关键是先把已知条件转化为全等判定所需的对应相等的边、角，再结合判定规则补充合适的条件，注意题目要求不得新增字母和辅助线。
【难度系数】
0.8
解题时先对已知条件进行转化：首先由AD=BE，结合线段和差可得AB=DE；再由AC//DF，根据平行线的性质可得一组同位角相等，即∠A=∠FDE。此时已具备一组边相等、一组角相等的条件，结合全等三角形的判定定理，补充缺少的对应相等的元素即可，可根据SAS、ASA、AAS分别添加不同的条件，任选其一即可。
【解析】
已知AD=BE，那么AD+DB=BE+DB，即AB=DE。
因为AC//DF，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠A=∠FDE。
若添加条件AC=DF：
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}AC=DF\\∠A=∠FDE\\AB=DE\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
除此之外，添加∠C=∠F、∠ABC=∠E等也可证明全等，答案不唯一。
【答案】
AC=DF（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、平行线的性质、线段的和差计算
【点评】
本题是全等三角形的开放型条件补充题，解题的关键是先把已知条件转化为全等判定所需的对应相等的边、角，再结合判定规则补充合适的条件，注意题目要求不得新增字母和辅助线。
【难度系数】
0.8
6.如图，已知$CA⊥ CQ$，垂足为点$C$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=9\ \mathrm{cm}$，射线$BM⊥ CQ$，垂足为点$B$。动点$P$从点$C$出发以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$CQ$运动，点$N$为射线$BM$上的动点，随着点$P$运动而运动，满足$PN=AB$，当点$P$运动
0,6,12,18
s时，$△ BCA$与以点$P$，$N$，$B$为顶点的三角形全等。答案
6.0,6,12,18
解析
【分析】
本题考查动点背景下直角三角形全等的判定，解题思路如下：首先确定两个三角形均为直角三角形，已知斜边PN=AB，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定全等。接下来分两类直角边对应相等的情况，再结合点P在射线CQ上的不同位置（线段CB上、点B右侧）分别计算运动时间，注意不要遗漏所有可能的位置。
【解析】
设点P的运动时间为$ t \ \mathrm{s} $，由题意得$ CP = t \ \mathrm{cm} $。
已知$ △ BCA $和$ △ PBN $均为直角三角形，且斜边$ PN=AB $，根据HL判定定理，分以下两类情况讨论：
1. 当$ PB = AC = 3\ \mathrm{cm} $时：
① 若点P在线段CB上：$ PB = BC - CP = 9 - t = 3 $，解得$ t=6 $；
② 若点P在点B的右侧（射线BQ上）：$ PB = CP - BC = t - 9 = 3 $，解得$ t=12 $。
2. 当$ PB = BC = 9\ \mathrm{cm} $时：
① 若点P在线段CB上，即P与点C重合：$ CP=0 $，故$ t=0 $；
② 若点P在点B的右侧（射线BQ上）：$ PB = CP - BC = t - 9 =9 $，解得$ t=18 $。
综上，t的值为0,6,12,18。
【答案】
0,6,12,18
【知识点】
直角三角形全等判定，分类讨论，动点问题
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的典型题型，解题的核心是熟练掌握直角三角形全等的HL判定，根据对应边的不同情况以及动点的位置进行分类讨论，避免因漏解导致错误。
【难度系数】
0.6
本题考查动点背景下直角三角形全等的判定，解题思路如下：首先确定两个三角形均为直角三角形，已知斜边PN=AB，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定全等。接下来分两类直角边对应相等的情况，再结合点P在射线CQ上的不同位置（线段CB上、点B右侧）分别计算运动时间，注意不要遗漏所有可能的位置。
【解析】
设点P的运动时间为$ t \ \mathrm{s} $，由题意得$ CP = t \ \mathrm{cm} $。
已知$ △ BCA $和$ △ PBN $均为直角三角形，且斜边$ PN=AB $，根据HL判定定理，分以下两类情况讨论：
1. 当$ PB = AC = 3\ \mathrm{cm} $时：
① 若点P在线段CB上：$ PB = BC - CP = 9 - t = 3 $，解得$ t=6 $；
② 若点P在点B的右侧（射线BQ上）：$ PB = CP - BC = t - 9 = 3 $，解得$ t=12 $。
2. 当$ PB = BC = 9\ \mathrm{cm} $时：
① 若点P在线段CB上，即P与点C重合：$ CP=0 $，故$ t=0 $；
② 若点P在点B的右侧（射线BQ上）：$ PB = CP - BC = t - 9 =9 $，解得$ t=18 $。
综上，t的值为0,6,12,18。
【答案】
0,6,12,18
【知识点】
直角三角形全等判定，分类讨论，动点问题
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的典型题型，解题的核心是熟练掌握直角三角形全等的HL判定，根据对应边的不同情况以及动点的位置进行分类讨论，避免因漏解导致错误。
【难度系数】
0.6
7.如图，已知$AB=AE$，$∠ 1=∠ 2$，$AC=AD$。$△ ABC$与$△ AED$全等吗？请说明理由。
答案
7.解:因为∠1=∠2,
所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,
即∠BAC=∠EAD。
在△ABC和△AED中,
$\begin{cases}AC=AD, \\∠BAC=∠EAD, \\AB=AE,\end{cases}$
所以△ABC≌△AED(SAS)。
所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,
即∠BAC=∠EAD。
在△ABC和△AED中,
$\begin{cases}AC=AD, \\∠BAC=∠EAD, \\AB=AE,\end{cases}$
所以△ABC≌△AED(SAS)。
解析
【分析】
要判断△ABC和△AED是否全等，先结合已知条件分析：题目已经给出两组对应边相等（AB=AE、AC=AD），根据全等三角形的判定定理，只需要再证明这两组边的夹角相等，就可以用SAS判定两个三角形全等。已知∠1=∠2，观察图形可发现，∠1和∠2同时加上公共角∠EAC，就能得到两个三角形的对应夹角∠BAC=∠EAD，满足SAS的判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
解：因为∠1=∠2，
所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD。
在△ABC和△AED中，
$\begin{cases}AC=AD, \\∠BAC=∠EAD, \\AB=AE,\end{cases}$
所以△ABC≌△AED（SAS）。
【答案】
△ABC与△AED全等，理由如下：因为∠1=∠2，所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD；在△ABC和△AED中$\begin{cases}AC=AD, \\∠BAC=∠EAD, \\AB=AE,\end{cases}$，因此△ABC≌△AED(SAS)。
【知识点】
角的和差运算、全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是通过角的和差关系将已知等角转化为三角形的对应夹角，解题时要注意挖掘图形中公共角这类隐含条件，熟练掌握全等三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要判断△ABC和△AED是否全等，先结合已知条件分析：题目已经给出两组对应边相等（AB=AE、AC=AD），根据全等三角形的判定定理，只需要再证明这两组边的夹角相等，就可以用SAS判定两个三角形全等。已知∠1=∠2，观察图形可发现，∠1和∠2同时加上公共角∠EAC，就能得到两个三角形的对应夹角∠BAC=∠EAD，满足SAS的判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
解：因为∠1=∠2，
所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD。
在△ABC和△AED中，
$\begin{cases}AC=AD, \\∠BAC=∠EAD, \\AB=AE,\end{cases}$
所以△ABC≌△AED（SAS）。
【答案】
△ABC与△AED全等，理由如下：因为∠1=∠2，所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD；在△ABC和△AED中$\begin{cases}AC=AD, \\∠BAC=∠EAD, \\AB=AE,\end{cases}$，因此△ABC≌△AED(SAS)。
【知识点】
角的和差运算、全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是通过角的和差关系将已知等角转化为三角形的对应夹角，解题时要注意挖掘图形中公共角这类隐含条件，熟练掌握全等三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
8.如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,∠ABC=∠DEF。给出下列三个条件:①AC=DF,②BC=EF,③∠BAC=∠EDF。
(1)请在上述三个条件中选取一个,使得△ABC≌△DEF。你选取的条件序号为
(2)请用(1)中所选的条件说明△ABC≌△DEF。
(1)请在上述三个条件中选取一个,使得△ABC≌△DEF。你选取的条件序号为
②
,判定△ABC≌△DEF的依据是SAS
（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)请用(1)中所选的条件说明△ABC≌△DEF。
答案
8.解:(1)因为AB=DE,∠ABC=∠DEF,
所以当BC=EF时,利用“SAS”可以证明△ABC≌△DEF;
当∠BAC=∠EDF时,利用“ASA”可以证明△ABC≌△DEF。
(2)答案不唯一,例如选择②。
在△ABC和△DEF中,
$\begin{cases}AB=DE, \\∠ABC=∠DEF, \\BC=EF,\end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SAS)。
所以当BC=EF时,利用“SAS”可以证明△ABC≌△DEF;
当∠BAC=∠EDF时,利用“ASA”可以证明△ABC≌△DEF。
(2)答案不唯一,例如选择②。
在△ABC和△DEF中,
$\begin{cases}AB=DE, \\∠ABC=∠DEF, \\BC=EF,\end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SAS)。
解析
【分析】
要解决这道题，首先梳理题目给出的已知条件：AB=DE，∠ABC=∠DEF，我们需要结合全等三角形的判定定理选择合适的补充条件。全等三角形的判定定理中，SAS需要两边及其夹角对应相等，ASA需要两角及其夹边对应相等。目前已有一组边相等、一组角相等：
若选条件②BC=EF，此时相等的角正好是两组相等边的夹角，符合SAS的判定要求；
若选条件③∠BAC=∠EDF，此时相等的边正好是两组相等角的夹边，符合ASA的判定要求；
条件①AC=DF属于“两边及其中一边的对角相等（SSA）”，不能判定三角形全等，因此不选。
第二问证明时，按照全等证明的规范格式，列出三组对应相等的条件，再写出判定依据即可。
【解析】
(1) 可选条件②，判定依据是SAS；也可选条件③，判定依据是ASA。
(2) 以选条件②为例证明：
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases}AB=DE（已知）, \\∠ABC=∠DEF（已知）, \\BC=EF（所选条件）,\end{cases}$
所以△ABC≌△DEF（SAS）。
若选条件③，证明如下：
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases}∠BAC=∠EDF（所选条件）, \\AB=DE（已知）, \\∠ABC=∠DEF（已知）,\end{cases}$
所以△ABC≌△DEF（ASA）。
【答案】
(1) ②，SAS（或③，ASA）
(2) 以选②为例：在△ABC和△DEF中，$\begin{cases}AB=DE, \\∠ABC=∠DEF, \\BC=EF,\end{cases}$所以△ABC≌△DEF(SAS)
【知识点】
全等三角形的判定、SAS判定、ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础应用题，解题的关键是熟练掌握各全等判定定理的适用条件，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，根据已知的边角位置匹配合适的条件即可解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先梳理题目给出的已知条件：AB=DE，∠ABC=∠DEF，我们需要结合全等三角形的判定定理选择合适的补充条件。全等三角形的判定定理中，SAS需要两边及其夹角对应相等，ASA需要两角及其夹边对应相等。目前已有一组边相等、一组角相等：
若选条件②BC=EF，此时相等的角正好是两组相等边的夹角，符合SAS的判定要求；
若选条件③∠BAC=∠EDF，此时相等的边正好是两组相等角的夹边，符合ASA的判定要求；
条件①AC=DF属于“两边及其中一边的对角相等（SSA）”，不能判定三角形全等，因此不选。
第二问证明时，按照全等证明的规范格式，列出三组对应相等的条件，再写出判定依据即可。
【解析】
(1) 可选条件②，判定依据是SAS；也可选条件③，判定依据是ASA。
(2) 以选条件②为例证明：
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases}AB=DE（已知）, \\∠ABC=∠DEF（已知）, \\BC=EF（所选条件）,\end{cases}$
所以△ABC≌△DEF（SAS）。
若选条件③，证明如下：
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases}∠BAC=∠EDF（所选条件）, \\AB=DE（已知）, \\∠ABC=∠DEF（已知）,\end{cases}$
所以△ABC≌△DEF（ASA）。
【答案】
(1) ②，SAS（或③，ASA）
(2) 以选②为例：在△ABC和△DEF中，$\begin{cases}AB=DE, \\∠ABC=∠DEF, \\BC=EF,\end{cases}$所以△ABC≌△DEF(SAS)
【知识点】
全等三角形的判定、SAS判定、ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础应用题，解题的关键是熟练掌握各全等判定定理的适用条件，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，根据已知的边角位置匹配合适的条件即可解答。
【难度系数】
0.8
9.如图,已知 OC 是$∠ AOB$的平分线,点 D在射线OA上,点 E 在射线OB上,点 F 在射线OC上,连接 DF,EF。请添加一个条件,使$△ OFD ≌△ OFE$。
小明同学写出以下条件:① $OD = OE$;②$∠ ODF = ∠ OEF$;③$∠ OFD = ∠ OFE$;④ $FD = FE$;⑤ $∠ ADF = ∠ BEF$;
⑥$∠ DFC=∠ EFC$。他认为添加以上条件中的任何一个,都可以使$△ OFD ≌△ OFE$。
(1)小明的说法
(2)可以从小明写出的条件中选择
小明同学写出以下条件:① $OD = OE$;②$∠ ODF = ∠ OEF$;③$∠ OFD = ∠ OFE$;④ $FD = FE$;⑤ $∠ ADF = ∠ BEF$;
⑥$∠ DFC=∠ EFC$。他认为添加以上条件中的任何一个,都可以使$△ OFD ≌△ OFE$。
(1)小明的说法
错误
(填“正确”或“错误”);(2)可以从小明写出的条件中选择
②
(填写序号),使得$△ OFD ≌△ OFE$,并写出分析过程。答案
9.解:(1)因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠AOC=∠BOC。
①当OD=OE时,
由SAS可判定△OFD≌△OFE;
②当∠ODF=∠OEF时,
由AAS可判定△OFD≌△OFE;
③当∠OFD=∠OFE时,
由ASA可判定△OFD≌△OFE;
④当FD=FE时,∠AOC和∠BOC的对边分别是FD和FE,不能判定△OFD≌△OFE;
⑤由∠ADF=∠BEF,可得到∠ODF=∠OEF,由AAS可判定△OFD≌△OFE;
⑥由∠DFC=∠EFC,可得到∠OFD=∠OFE,由ASA可判定△OFD≌△OFE。
所以小明的说法是错误的。
(2)选择②,证明如下:
因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠DOF=∠EOF。
在△OFD和△OFE中,
$\begin{cases}∠DOF=∠EOF, \\∠ODF=∠OEF, \\OF=OF,\end{cases}$
所以△OFD≌△OFE(AAS)。
所以∠AOC=∠BOC。
①当OD=OE时,
由SAS可判定△OFD≌△OFE;
②当∠ODF=∠OEF时,
由AAS可判定△OFD≌△OFE;
③当∠OFD=∠OFE时,
由ASA可判定△OFD≌△OFE;
④当FD=FE时,∠AOC和∠BOC的对边分别是FD和FE,不能判定△OFD≌△OFE;
⑤由∠ADF=∠BEF,可得到∠ODF=∠OEF,由AAS可判定△OFD≌△OFE;
⑥由∠DFC=∠EFC,可得到∠OFD=∠OFE,由ASA可判定△OFD≌△OFE。
所以小明的说法是错误的。
(2)选择②,证明如下:
因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠DOF=∠EOF。
在△OFD和△OFE中,
$\begin{cases}∠DOF=∠EOF, \\∠ODF=∠OEF, \\OF=OF,\end{cases}$
所以△OFD≌△OFE(AAS)。
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：OC是∠AOB的平分线，可得∠DOF=∠EOF，且△OFD和△OFE有公共边OF=OF，即已有一组角相等、一组边相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐一分析6个添加的条件是否能推出全等：若存在不能判定全等的条件，则小明的说法错误；再从有效条件中任选一个，结合已知条件完成全等证明即可。
【解析】
(1) 已知OC是∠AOB的平分线，因此∠DOF=∠EOF，又OF是△OFD和△OFE的公共边，即$OF=OF$。
对6个条件逐一分析：
①添加$OD=OE$时，满足两边及其夹角对应相等，可由SAS判定$△ OFD ≌△ OFE$；
②添加$∠ODF=∠OEF$时，满足两角及其中一角的对边对应相等，可由AAS判定$△ OFD ≌△ OFE$；
③添加$∠OFD=∠OFE$时，满足两角及其夹边对应相等，可由ASA判定$△ OFD ≌△ OFE$；
④添加$FD=FE$时，此时条件为两边及其中一边的对角（SSA），不符合全等三角形判定定理，不能判定$△ OFD ≌△ OFE$；
⑤添加$∠ADF=∠BEF$时，因为$∠ADF+∠ODF=180°$，$∠BEF+∠OEF=180°$，根据等角的补角相等可得$∠ODF=∠OEF$，同②可由AAS判定全等；
⑥添加$∠DFC=∠EFC$时，因为$∠OFD+∠DFC=180°$，$∠OFE+∠EFC=180°$，根据等角的补角相等可得$∠OFD=∠OFE$，同③可由ASA判定全等。
综上，条件④不能判定全等，因此小明的说法错误。
(2) 示例选择条件②，证明过程：
因为OC是∠AOB的平分线，所以$∠DOF=∠EOF$。
在$△ OFD$和$△ OFE$中：
$\begin{cases}∠DOF=∠EOF \\∠ODF=∠OEF \\OF=OF\end{cases}$
所以$△ OFD ≌△ OFE$（AAS）。
（选择①③⑤⑥均可，对应判定定理证明即可）
【答案】
(1) 错误
(2) ②（或①/③/⑤/⑥，对应证明正确即可，示例证明如上）
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定，补角的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的应用，需要明确SSA不能作为三角形全等的判定依据，同时要能通过补角的性质转化间接给出的角相等条件，是对几何基础推理能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：OC是∠AOB的平分线，可得∠DOF=∠EOF，且△OFD和△OFE有公共边OF=OF，即已有一组角相等、一组边相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐一分析6个添加的条件是否能推出全等：若存在不能判定全等的条件，则小明的说法错误；再从有效条件中任选一个，结合已知条件完成全等证明即可。
【解析】
(1) 已知OC是∠AOB的平分线，因此∠DOF=∠EOF，又OF是△OFD和△OFE的公共边，即$OF=OF$。
对6个条件逐一分析：
①添加$OD=OE$时，满足两边及其夹角对应相等，可由SAS判定$△ OFD ≌△ OFE$；
②添加$∠ODF=∠OEF$时，满足两角及其中一角的对边对应相等，可由AAS判定$△ OFD ≌△ OFE$；
③添加$∠OFD=∠OFE$时，满足两角及其夹边对应相等，可由ASA判定$△ OFD ≌△ OFE$；
④添加$FD=FE$时，此时条件为两边及其中一边的对角（SSA），不符合全等三角形判定定理，不能判定$△ OFD ≌△ OFE$；
⑤添加$∠ADF=∠BEF$时，因为$∠ADF+∠ODF=180°$，$∠BEF+∠OEF=180°$，根据等角的补角相等可得$∠ODF=∠OEF$，同②可由AAS判定全等；
⑥添加$∠DFC=∠EFC$时，因为$∠OFD+∠DFC=180°$，$∠OFE+∠EFC=180°$，根据等角的补角相等可得$∠OFD=∠OFE$，同③可由ASA判定全等。
综上，条件④不能判定全等，因此小明的说法错误。
(2) 示例选择条件②，证明过程：
因为OC是∠AOB的平分线，所以$∠DOF=∠EOF$。
在$△ OFD$和$△ OFE$中：
$\begin{cases}∠DOF=∠EOF \\∠ODF=∠OEF \\OF=OF\end{cases}$
所以$△ OFD ≌△ OFE$（AAS）。
（选择①③⑤⑥均可，对应判定定理证明即可）
【答案】
(1) 错误
(2) ②（或①/③/⑤/⑥，对应证明正确即可，示例证明如上）
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定，补角的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的应用，需要明确SSA不能作为三角形全等的判定依据，同时要能通过补角的性质转化间接给出的角相等条件，是对几何基础推理能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
