10. 如图, 在$△ ABC$中, $AB=AC=12\ \mathrm{cm}$, $BC=9\ \mathrm{cm}$, 点$D$为$AB$的中点。
(1)点$P$在线段$BC$上以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$B$向点$C$运动,同时点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$运动。
①若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等,则$1\ \mathrm{s}$时,$△ BPD$与$△ CQP$是否全等?请说明理由。
②若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等,则当点$Q$的运动速度为多少时,能够使$△ BPD ≌ △ CPQ$?
(2)若点$Q$以②中的运动速度从点$C$出发,点$P$以原来的速度从点$B$同时出发,都逆时针沿$△ ABC$的三边运动,则经过多长时间点$P$与点$Q$第一次在$△ ABC$的哪条边上相遇?

10.解:(1)①当t=1 s时,
BP=CQ=3 cm。
因为AB=12 cm,点D为AB的中点,
所以BD=6 cm。
又因为PC=BC-BP=9 cm-3 cm=6 cm,
所以PC=BD。
因为AB=AC,
所以∠B=∠C。
在△BPD与△CQP中,
$\begin{cases}BP=CQ, \\∠B=∠C, \\BD=PC,\end{cases}$
所以△BPD≌△CQP(SAS)。
②当△BPD≌△CPQ时,
BP=CP=4.5 cm,BD=CQ=6 cm。
所以点P的运动时间$t=\frac{4.5}{3}=1.5(\mathrm{s})$,
此时$v_Q=\frac{CQ}{t}=\frac{6}{1.5}=4(\mathrm{cm/s})$。
(2)因为$v_Q＞v_P$,所以只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程。
设经过x s点P与点Q第一次相遇,
依题意得$4x=3x+2×12$,
解得x=24,
此时点P运动了24×3=72(cm)。
又因为△ABC的周长为33 cm,72=33×2+6,
所以点P,Q在BC边上相遇,即经过24 s,点P与点Q第一次在BC边上相遇。

【分析】
(1)①判断1s时两个三角形是否全等，先根据运动速度和时间求出BP、CQ的长度，再结合AB=AC得∠B=∠C，求出BD和PC的长度，验证是否符合全等三角形的SAS判定条件即可。
②当P、Q运动速度不等时，BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，对应边应为BP=CP、BD=CQ，先求出点P的运动时间，再结合CQ的长度即可计算Q的运动速度。
(2)由于Q的速度大于P的速度，第一次相遇时Q比P多走AB+AC的总长度，据此列方程求出相遇时间，再计算点P运动的总路程，结合△ABC的周长即可判断相遇的边。
【解析】
(1)①当t=1 s时，
BP=CQ=3×1=3 cm，
∵AB=12 cm，点D为AB的中点，
∴BD=12÷2=6 cm，
又
∵PC=BC-BP=9-3=6 cm，
∴PC=BD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，
$\begin{cases}BP=CQ, \\∠B=∠C, \\BD=PC,\end{cases}$
∴△BPD≌△CQP(SAS)。
②当△BPD≌△CPQ时，
∵$v_P≠v_Q$，
∴BP≠CQ，
∴对应边为BP=CP，BD=CQ，
∴BP=CP=BC÷2=4.5 cm，CQ=BD=6 cm，
∴点P的运动时间$t=\frac{BP}{v_P}=\frac{4.5}{3}=1.5\ \mathrm{s}$，
此时点Q的运动速度$v_Q=\frac{CQ}{t}=\frac{6}{1.5}=4\ \mathrm{cm/s}$。
(2)
∵$v_Q＞v_P$，
∴第一次相遇是点Q追上点P，此时Q比P多走AB+AC的路程，
设经过x s点P与点Q第一次相遇，
依题意得$4x=3x+2×12$，
解得x=24，
此时点P运动的总路程为24×3=72 cm，
∵△ABC的周长为12+12+9=33 cm，
72=33×2+6，即点P运动2圈后又走了6 cm，
BC长9 cm，6＜9，
∴点P、Q在BC边上相遇。
【答案】
(1)①△BPD与△CQP全等；②$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm/s}}$；(2)经过$\boldsymbol{24\ \mathrm{s}}$，点P与点Q第一次在$\boldsymbol{BC}$边上相遇。
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合动点考查了三角形全等、等腰三角形性质及追及问题，解题时需注意全等对应边的分类，理清运动过程中的路程关系，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6