1. 余角的性质:同角(等角)的余角.

1. 相等

【分析】
解题时首先回忆余角的基本定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。接下来推导同角的余角的关系：假设存在角α，它的两个余角分别为∠1和∠2，根据余角定义可得∠1=90°-α，∠2=90°-α，可推出∠1=∠2；再推导等角的余角的关系：若∠α=∠β，∠α的余角是90°-∠α，∠β的余角是90°-∠β，因为∠α=∠B，所以两个余角也相等，由此即可得出对应的性质。
【解析】
首先明确余角的定义：两个角的和等于90°（直角），就称这两个角互为余角，简称互余。
1. 推导同角的余角的关系：
设∠A的两个余角为∠1和∠2，根据余角定义可得：
∠1 + ∠A = 90°，即∠1 = 90° - ∠A；
∠2 + ∠A = 90°，即∠2 = 90° - ∠A；
因此∠1 = ∠2，即同角的余角相等。
2. 推导等角的余角的关系：
设∠A = ∠B，∠A的余角为∠1=90°-∠A，∠B的余角为∠2=90°-∠B，
因为∠A=∠B，所以90°-∠A=90°-∠B，即∠1=∠2，即等角的余角相等。
综上，同角（等角）的余角相等。
【答案】
相等
【知识点】
余角的定义；余角的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对余角性质的理解与记忆，该性质是几何角度计算、等量代换的常用依据，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

2. 补角的性质:同角(等角)的补角.

2. 相等

【分析】
解题时先回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。我们可以分两种情况推导性质：①推导同角的补角的特点：设某个角为α，那么它的任意一个补角都可以表示为180°-α，因此同一个角的所有补角大小相同；②推导等角的补角的特点：若两个角α和β相等，α的补角是180°-α，β的补角是180°-β，因为α=β，所以180°-α=180°-β，即相等的两个角的补角也相等，结合两种情况就能得出结论。
【解析】
首先明确补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
1. 推导同角的补角的性质：设∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，可得∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，因此∠2=∠3，即同一个角的补角相等。
2. 推导等角的补角的性质：设∠1=∠4，且∠1+∠2=180°，∠4+∠3=180°，可得∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠4，因为∠1=∠4，所以∠2=∠3，即相等的角的补角相等。
综上，同角（等角）的补角相等。
【答案】
相等
【知识点】
补角的定义、补角的性质
【点评】
本题是对补角基础性质的直接考查，属于基础概念类题目，熟练记忆几何基本性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9

例2 如图，A，O，B三点在一条直线上，$∠ AOC = ∠ DOE = 90°$。
(1)图中互余的角有哪些？
(2)相等的角有哪些(小于$90°$的角)？
解：

例2题图

(1) 因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1+∠4=180°-∠DOE=90°.
又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°,所以∠3+∠4=90°,
所以∠1与∠2互余,∠3与∠2互余,∠1与∠4互余,∠3与∠4互余.
(2) 由余角的性质可得:∠1=∠3,∠2=∠4.

【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心依据：①互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；②余角的性质：同角的余角相等。
第(1)问先结合已知的直角，以及A、O、B共线可得∠COB也为90°，再逐一找出和为90°的角对即可；第(2)问根据第(1)问的互余关系，利用余角的性质就能推导得出相等的锐角。
【解析】
(1) 已知$∠ AOC = 90°$，根据角的和差关系可得：$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ AOC = 90°$；
已知$∠ DOE = 90°$，同理可得：$∠ 2 + ∠ 3 = ∠ DOE = 90°$；
因为A、O、B三点共线，$∠ AOB=180°$，所以$∠ COB = ∠ AOB - ∠ AOC = 180° - 90° = 90°$，因此$∠ 3 + ∠ 4 = ∠ COB = 90°$；
又因为$∠ 1 + ∠ DOE + ∠ 4 = ∠ AOB = 180°$，代入$∠ DOE=90°$得：$∠ 1 + ∠ 4 = 180° - 90° = 90°$；
综上可得互余的角为：$∠ 1$与$∠ 2$，$∠ 2$与$∠ 3$，$∠ 3$与$∠ 4$，$∠ 1$与$∠ 4$。
(2) 根据“同角的余角相等”：
$∠ 1$和$∠ 3$都是$∠ 2$的余角，因此$∠ 1 = ∠ 3$；
$∠ 2$和$∠ 4$都是$∠ 3$的余角，因此$∠ 2 = ∠ 4$；
以上两组角均为小于$90°$的相等角。
【答案】
(1) 互余的角：$\boldsymbol{∠ 1}$与$\boldsymbol{∠ 2}$，$\boldsymbol{∠ 2}$与$\boldsymbol{∠ 3}$，$\boldsymbol{∠ 3}$与$\boldsymbol{∠ 4}$，$\boldsymbol{∠ 1}$与$\boldsymbol{∠ 4}$；
(2) 小于$90°$的相等角：$\boldsymbol{∠ 1=∠ 3}$，$\boldsymbol{∠ 2=∠ 4}$。
【知识点】
余角的定义；余角的性质；平角的性质
【点评】
本题是余角相关的基础题型，解题时需要结合图形梳理角的和差关系，避免漏找互余的角对，熟练掌握余角的定义和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$∠ AOB$是直角，$∠ COD=90°$，$OB$平分$∠ DOE$，则$∠ 3$与$∠ 4$是什么关系？请说明理由。

2. ∠3=∠4.理由如下：
因为∠AOB是直角,∠COD=90°,
所以∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
所以∠2=∠3.
因为OB平分∠DOE,
所以∠2=∠4,所以∠3=∠4.

【分析】
解题时先从已知的两个直角条件入手，观察两个直角的组成：∠AOB和∠COD都是90°，二者都包含公共角∠1，因此∠3和∠2都是∠1的余角，根据同角的余角相等可推出∠3=∠2；再结合OB平分∠DOE的条件，根据角平分线的定义可得∠2=∠4，最后通过等量代换即可得到∠3与∠4的数量关系。
【解析】
∠3=∠4，理由如下：
∵ ∠AOB是直角，∠COD=90°
∴ ∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°
根据同角的余角相等，可得∠2=∠3
∵ OB平分∠DOE
根据角平分线的定义，可得∠2=∠4
∴ ∠3=∠4（等量代换）
【答案】
∠3=∠4
【知识点】
余角的性质，角平分线的定义，等量代换
【点评】
本题属于几何基础题型，核心考查余角性质和角平分线定义的应用，找到中间过渡角∠2完成等量代换是解题的关键，熟练掌握基础概念和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.如图,已知点O为直线AB上一点,∠BOC=100°,∠COD=90°,OM平分∠AOC.
(1)求∠MOD的度数;
(2)若∠BOP与∠AOM互余,求∠COP的度数.

3. (1) ∠MOD=50°；(2) ∠COP=50°.

【分析】
(1) 要求∠MOD的度数，已知∠COD=90°，因此只需先求出∠MOC的度数即可：首先根据点O在直线AB上可得∠AOB是平角，度数为180°，结合已知∠BOC=100°，可算出∠AOC=180°-100°=80°；再根据OM平分∠AOC，可得∠MOC=∠AOM=40°；最后用∠COD减去∠MOC，就能得到∠MOD的度数。
(2) 要求∠COP的度数，已知∠BOC=100°，因此只需先求出∠BOP的度数即可：根据互余的定义，两个角的和为90°则两角互余，结合∠BOP与∠AOM互余、第一问求得的∠AOM=40°，可算出∠BOP=90°-40°=50°；最后用∠BOC减去∠BOP，即可得到∠COP的度数。
【解析】
(1)
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°（平角的定义），
∵ ∠BOC=100°，
∴ ∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180°-100°=80°，
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠MOC=∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠MOD=∠COD - ∠MOC=90°-40°=50°。
(2)
∵ ∠BOP与∠AOM互余，
∴ ∠BOP + ∠AOM=90°（互余的定义），
由(1)可知∠AOM=40°，
∴ ∠BOP=90°-40°=50°，
∵ ∠BOC=100°，
∴ ∠COP=∠BOC - ∠BOP=100°-50°=50°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠MOD=50°}$；(2) $\boldsymbol{∠COP=50°}$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；余角的定义
【点评】
本题属于角的计算的基础题型，解题核心是准确梳理图形中各角的和差关系，需要熟练掌握平角、角平分线、互余的相关概念，计算量小，逻辑关系清晰。
【难度系数】
0.7