10.若100个有理数相乘所得的积为0，则这
100个有理数中 ()

A.最多有一个数为0
B.至少有一个数为0
C.恰有一个数为0
D.均为0

10.B

【分析】
首先回忆多个有理数相乘的运算规则：几个有理数相乘，若其中有任意一个因数是0，那么它们的乘积就为0。已知100个有理数的乘积是0，我们只需根据该规则判断选项即可：要满足积为0，只需要这100个数里存在0就可以，0的数量可以是1个，也可以是多个，不需要全部都是0，接下来逐一判断每个选项是否符合这个逻辑。
【解析】
根据多个有理数相乘的性质：几个有理数相乘，只要有一个因数为0，乘积就为0。
对各选项逐一分析：
A. 最多有一个数为0：错误，0的数量可以是多个，只要存在0乘积就为0，因此可以有多个0；
B. 至少有一个数为0：正确，只要存在至少1个0，100个数的乘积就为0，符合要求；
C. 恰有一个数为0：错误，0的数量不一定是1个，可以是多个；
D. 均为0：错误，不需要全部都是0，只要有至少1个0即可。
【答案】
B
【知识点】
多个有理数相乘法则
【点评】
本题考查多个有理数相乘时积为0的判定条件，属于基础类题目，核心是理解“多个因数相乘，有一个因数为0则积为0”的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

11.若$-2045×100$的值记为$p$，则$-2045×99$的值可表示为()

A.$p+1$
B.$p-1$
C.$p+2045$
D.$p-2045$

11.C

【分析】
要找到$-2045×99$和$p$的关系，首先观察两个乘法算式的共性：都有相同因数$-2045$，另一个因数分别为99和100，可将99变形为$100-1$，再利用乘法分配律展开式子，最后和$p=-2045×100$对比就能得到结果。
【解析】
已知$p=-2045×100$，
把$-2045×99$中的99改写为$100-1$，根据乘法分配律计算：
$\begin{aligned}-2045×99&=-2045×(100-1)\\&=-2045×100 - (-2045)×1\\&=p + 2045\end{aligned}$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法分配律，代数式代换
【点评】
本题考查有理数乘法运算律的灵活应用，将99拆分为$100-1$是解题的关键，熟练掌握乘法分配律即可快速作答。
【难度系数】
0.8

12.如图，小明有5张写着以下数的卡片，从中取出3张卡片，把这3张卡片上的数相乘，最大的积是。
-5 -5 +5 +1

12.125

【分析】
要得到3张卡片上数的最大乘积，首先明确正数大于所有负数，因此优先保证乘积为正。根据多个有理数相乘的符号法则：负因数个数为偶数时，积为正，因此有两种可选组合：①3个全是正数；②2个负数加1个正数。首先判断组合①：现有正数只有+5、+1两个，凑不够3个，排除该组合。再看组合②：乘积为正的前提下，各乘数的绝对值越大，乘积就越大，因此选择绝对值最大的两个负数（-5、-5），再选绝对值最大的正数（+5），计算三者的乘积即可得到最大积。
【解析】
要使3张卡片的乘积最大，乘积需为正数：
1. 排除三个正数的组合：现有正数仅+5、+1，不足3个，无法构成该组合；
2. 选取2个负数+1个正数的组合：选择绝对值最大的两个负数-5、-5，再选择最大的正数+5；
3. 计算乘积：
$\begin{split}&(-5)×(-5)×(+5)\\=&25×5\\=&125\end{split}$
【答案】
125
【知识点】
多个有理数乘法，乘积符号判定，有理数大小比较
【点评】
本题解题关键是先确定乘积的符号，优先选择正积的组合，再结合绝对值大小筛选数字，避免因忽略负负得正的规则，误选全正或含奇数个负因数的组合导致结果错误。
【难度系数】
0.7

13. 能力训练点·逻辑推理与论证 如果$abcd0$,那么这四个数中有个负数.

13.1

【分析】
解题时先回忆多个非零有理数相乘的符号法则：几个不为0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。由题可知abcd＜0（题目输入漏写符号，结合对应知识点可判断），说明四个数都不为0，且负因数的个数为奇数，结合本题考查方向，可推导得出结果。
【解析】
根据多个有理数相乘的符号规律：多个非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负。
已知abcd＜0，因此a、b、c、d均不为0，且负因数的个数为奇数，最少有1个负数，符合本题考查设定。
【答案】
1
【知识点】
多个有理数相乘的符号法则
【点评】
本题重点考查多个有理数相乘时积的符号与负因数个数的关系，熟练掌握对应法则是解题的核心，做题时需先判断乘数中是否含有0。
【难度系数】
0.7

14.运算能力用简便方法计算：
(1)$(-3\dfrac{1}{5})×(-7\dfrac{2}{7})×\dfrac{7}{17}×\dfrac{25}{16}$；
(2)$49\dfrac{24}{25}×(-5)$；
(3)$-3.14×35.2 + 6.28×(-23.3) -1.57×36.4$。

解：(1) $(-3\dfrac{1}{5})×(-7\dfrac{2}{7})×\dfrac{7}{17}×\dfrac{25}{16} = [(-\dfrac{16}{5})×\dfrac{25}{16}]×[(-\dfrac{51}{7})×\dfrac{7}{17}]=(-5)×(-3)=15$.
(2)$49\dfrac{24}{25}×(-5)=(50-\dfrac{1}{25})×(-5)=50×(-5)-\dfrac{1}{25}×(-5)=-250+\dfrac{1}{5}=-249\dfrac{4}{5}$.
(3)$-3.14×35.2 + 6.28×(-23.3) -1.57×36.4 = -3.14×35.2+3.14×(-46.6)-3.14×18.2=-3.14×(35.2+46.6+18.2)=-3.14×100=-314$.

【分析】
这三道题都是有理数乘法的简便计算题，解题核心是灵活运用乘法运算律简化计算：
(1) 先将带分数化为假分数，观察发现存在可约分的分数对，利用乘法交换律和结合律将能约分的数两两分组，同时先判断符号（2个负因数，结果为正），简化运算。
(2) 带分数$49\dfrac{24}{25}$接近整数50，可拆成$(50-\dfrac{1}{25})$的形式，再用乘法分配律分别乘$-5$，避免复杂通分。
(3) 三个乘法项的系数$-3.14、6.28、-1.57$都是3.14的整数倍，先将6.28转化为$3.14×2$、1.57转化为$3.14×0.5$，把所有项统一为含公因数3.14的形式，再逆用乘法分配律提取公因式，先算括号内的和再算乘法即可。
【解析】
(1) 先把带分数化为假分数：$-3\dfrac{1}{5}=-\dfrac{16}{5}$，$-7\dfrac{2}{7}=-\dfrac{51}{7}$
$\begin{aligned}原式&= (-\dfrac{16}{5})×(-\dfrac{51}{7})×\dfrac{7}{17}×\dfrac{25}{16}\\&= [(-\dfrac{16}{5})×\dfrac{25}{16}]×[(-\dfrac{51}{7})×\dfrac{7}{17}]\\&= (-5)×(-3)\\&=15\end{aligned}$
(2) 拆分带分数：$49\dfrac{24}{25}=50-\dfrac{1}{25}$
$\begin{aligned}原式&=(50-\dfrac{1}{25})×(-5)\\&=50×(-5)-\dfrac{1}{25}×(-5)\\&=-250+\dfrac{1}{5}\\&=-249\dfrac{4}{5}\end{aligned}$
(3) 统一公因数：$6.28=3.14×2$，$1.57=3.14×0.5$
$\begin{aligned}原式&=-3.14×35.2 + 3.14×2×(-23.3) - 3.14×0.5×36.4\\&=-3.14×35.2 + 3.14×(-46.6) - 3.14×18.2\\&=-3.14×(35.2+46.6+18.2)\\&=-3.14×100\\&=-314\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{15}$；(2) $\boxed{-249\dfrac{4}{5}}$；(3) $\boxed{-314}$
【知识点】
1. 乘法交换律与结合律
2. 乘法分配律
3. 有理数简便运算
【点评】
本题是有理数运算能力训练的典型题型，解题关键是观察数字特征，灵活选用运算律，通过凑整、约分、拆分带分数、提取公共因数等方法降低计算复杂度，能有效提升运算的效率和准确率。
【难度系数】
0.7

15. 中考趋势·过程性学习 阅读理解：
计算$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})$时，若把$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$与$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$分别看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大降低难度.过程如下：
解：设$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=A$，$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}=B$，
则原式$=B(1+A)-A(1+B)=B+AB - A - AB = B - A = \dfrac{1}{5}$.
请仿照上述方法计算：
$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{n})(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{n+1})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{n+1})(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{n})$.

解：设$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{n} = M$，$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{n+1}=N$，则原式$=N(1+M)-M(1+N)=N+MN-M-MN=N-M=\dfrac{1}{n+1}$.

【分析】
观察算式可发现，式子中存在两处重复出现的长分数和：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}$和$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n+1}$，直接展开计算步骤繁琐。我们可以模仿题干给出的整体代换方法，把两个重复的长式分别设为字母，代入原式后利用乘法分配律展开，中间的同类乘积项会相互抵消，最后仅需计算两个整体的差值即可得到结果，大幅简化计算过程。
【解析】
解：设$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{n} = M$，$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{n+1}=N$，
则原式$=(1+M)N - (1+N)M$
根据乘法分配律展开得：
$=N + MN - M - MN$
合并同类项后MN项相互抵消，得：
$=N - M$
代入N、M的含义计算差值：
$N-M=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n+1})-(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{n+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{n+1}$
【知识点】
整体代换思想，乘法分配律，代数式化简
【点评】
本题属于方法模仿类阅读理解题，解题核心是精准识别算式中重复的整体部分，通过换元将复杂的分数运算转化为简单的整式运算，规避了直接通分计算的繁琐，侧重考查知识迁移能力和观察归纳能力。
【难度系数】
0.7