概念建构

有理数的除法
除以一个的数，等于乘这个数的，即$a ÷ b =$（$b≠0$）
两数相除，同号得，异号得，且的绝对值等于被除数的除以除数的的商
0除以任何一个的数，都得；
0不能作除数

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即$a ÷ b = a · \frac{1}{b}$（$b≠0$）
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商
0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作除数

【分析】
本题考查有理数除法法则的基础识记，解题思路为：先回忆有理数除法的三类核心规则：①除法转化为乘法的规则，注意除数不能为0的前提，以及对应的字母表达式；②两数相除的符号判定规则和绝对值计算规则；③0参与除法运算的特殊规定，再逐一对应空缺位置填写内容即可。
【解析】
根据有理数除法的相关法则：
1. 除法转乘法规则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，对应的字母表达式为$a ÷ b = a · \frac{1}{b}$（$b≠0$）；
2. 两数相除运算规则：同号的两个数相除结果为正，异号的两个数相除结果为负，最终商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商；
3. 0的除法规则：0除以任何一个不等于0的数，结果都为0，同时规定0不能作除数。
将上述内容对应填入题干空缺处即可。
【答案】
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即$a ÷ b = a · \frac{1}{b}$（$b≠0$）
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商
0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作除数
【知识点】
有理数除法法则、倒数的概念、0的运算性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是对有理数除法法则的记忆与掌握，熟练掌握该知识点是后续进行有理数除法混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

知识点1 有理数的除法法则
1.(新知回顾) 填表(想法则,写结果):

| 被除数 | 除数 | 商的符号 | 商的绝对值 | 商 |
|--------|------|----------|------------|------|
| $-60$ | $+4$ | $-$ | 15 | $-15$|
| $+27$ | $-3$ | $-$ | 9 | $-9$ |
| $+100$ | $+25$| $+$ | 4 | 4 |
| $-\frac{4}{7}$ | $-2$ | $+$ | $\frac{2}{7}$ | $\frac{2}{7}$ |

【分析】
解题时需依据有理数除法法则分步计算：第一步先根据被除数和除数的符号确定商的符号（同号得正，异号得负）；第二步计算被除数绝对值除以除数绝对值得到商的绝对值；第三步将符号和绝对值结合得到最终的商，逐行填写表格即可。
【解析】
1. 第一行：被除数为$-60$（负），除数为$+4$（正），两数异号，故商的符号为“$-$”；商的绝对值为$\vert -60 \vert ÷ \vert +4 \vert = 60 ÷ 4 = 15$，因此商为$-15$。
2. 第二行：被除数为$+27$（正），除数为$-3$（负），两数异号，故商的符号为“$-$”；商的绝对值为$\vert +27 \vert ÷ \vert -3 \vert = 27 ÷ 3 = 9$，因此商为$-9$。
3. 第三行：被除数为$+100$（正），除数为$+25$（正），两数同号，故商的符号为“$+$”；商的绝对值为$\vert +100 \vert ÷ \vert +25 \vert = 100 ÷ 25 = 4$，因此商为$4$。
4. 第四行：被除数为$-\frac{4}{7}$（负），除数为$-2$（负），两数同号，故商的符号为“$+$”；商的绝对值为$\vert -\frac{4}{7} \vert ÷ \vert -2 \vert = \frac{4}{7} ÷ 2 = \frac{2}{7}$，因此商为$\frac{2}{7}$。
【答案】
| 被除数 | 除数 | 商的符号 | 商的绝对值 | 商 |
|--------|------|----------|------------|------|
| $-60$ | $+4$ | $-$ | 15 | $-15$|
| $+27$ | $-3$ | $-$ | 9 | $-9$ |
| $+100$ | $+25$| $+$ | 4 | 4 |
| $-\frac{4}{7}$ | $-2$ | $+$ | $\frac{2}{7}$ | $\frac{2}{7}$ |
【知识点】
有理数除法法则、绝对值运算
【点评】
本题是有理数除法的基础训练题，通过分步确定商的符号和绝对值的形式，引导学生掌握有理数除法的运算步骤，能有效帮助学生规避运算中常见的符号错误，夯实有理数运算的基础。
【难度系数】
0.9

2.如果两个有理数的商是负数，那么这两个有理数一定 ()

A.都是正数
B.都是负数
C.符号相同
D.符号不同

D

【分析】
解题时首先回忆有理数除法的符号判定规则：两数相除，同号得正，异号得负。题目已知两个有理数的商为负数，说明两个数的符号满足“异号”的条件，再逐一比对选项即可选出正确答案。
【解析】
根据有理数除法的符号法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负。
已知两数的商是负数，说明这两个数符号不同：
选项A：都是正数，符号相同，商为正数，不符合要求；
选项B：都是负数，符号相同，商为正数，不符合要求；
选项C：符号相同的两个有理数相除，商为正数，不符合要求；
选项D：符号不同的两个有理数相除，商为负数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法法则
【点评】
本题是对有理数除法符号规则的直接考查，属于基础题型，熟练掌握“同号得正，异号得负”的符号判定规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3.计算$(-6)÷(-\dfrac{1}{3})$的结果是 ()

A.－18
B.2
C.18
D.－2

C

【分析】
解决这道题需遵循有理数除法的运算思路：第一步先判断被除数和除数的符号，根据“同号得正、异号得负”确定商的符号；第二步利用“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，将除法运算转化为乘法运算计算数值，最终得到结果。
【解析】
根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
首先判断符号：被除数-6和除数$-\dfrac{1}{3}$均为负数，同号相除结果为正，因此先排除带负号的选项A、D。
再将除法转化为乘法计算：
$(-6)÷(-\dfrac{1}{3}) = (-6)×(-3) = 18$
【答案】
C
【知识点】
有理数除法法则，倒数的应用
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，核心考查对有理数除法法则的掌握，做题时需注意先确定运算结果的符号，再计算绝对值，避免因符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.85

4.下列运算中,错误的是 ()

A.$\frac{3}{4}÷(-\frac{4}{3})=\frac{3}{4}×(-\frac{3}{4})=-\frac{9}{16}$
B.$-5÷(-\frac{1}{2})=-5×(-2)=10$
C.$\frac{1}{3}÷(-3)=3×(-3)=-9$
D.$0÷(-2)=0$

C

【分析】
本题考查有理数的除法运算，解题核心是熟练掌握有理数除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即$a÷ b=a· \frac{1}{b}(b\ne0)$；②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；③0除以任何一个不等于0的数，都得0。我们只需要逐个验证每个选项的运算是否符合上述法则，就能找到错误的选项。
【解析】
根据有理数除法法则逐一判断选项：
选项A：$\frac{3}{4}÷(-\frac{4}{3})$，除以$-\frac{4}{3}$等于乘它的倒数$-\frac{3}{4}$，即$\frac{3}{4}×(-\frac{3}{4})=-\frac{9}{16}$，运算正确。
选项B：$-5÷(-\frac{1}{2})$，除以$-\frac{1}{2}$等于乘它的倒数$-2$，即$-5×(-2)=10$，运算正确。
选项C：$\frac{1}{3}÷(-3)$，除以$-3$应该乘它的倒数$-\frac{1}{3}$，正确运算应为$\frac{1}{3}×(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{9}$，但选项中错误将除法转化为$3×(-3)$，运算错误。
选项D：根据0的除法性质，0除以任何非0数都得0，故$0÷(-2)=0$，运算正确。
综上，运算错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数除法法则，倒数的概念，0的除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查有理数除法法则的运用，易错点是转化除法为乘法时，容易弄错原数的倒数或者符号，只要牢记除法法则，仔细计算就能轻松得分。
【难度系数】
0.8

5.计算:
(1)$21÷(-3)$;
(2)$(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{1}{6})$;
(3)$(-4)÷(-\dfrac{12}{5})$;
(4)$(-4.8)÷\dfrac{8}{7}$.

解：(1)原式$=21×(-\dfrac{1}{3})=-7.$
(2)原式$=(-\dfrac{5}{6})×(-6)=5.$
(3)原式$=(-4)×(-\dfrac{5}{12})=\dfrac{5}{3}.$
(4)原式$=(-4.8)×\dfrac{7}{8}=-4.2.$

【分析】
解决有理数除法运算的核心是牢记有理数除法法则：①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；②除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。解题时每道小题都按“先判断结果的符号→将除法运算转化为乘法运算→计算绝对值的乘积得到最终结果”的步骤进行即可。
【解析】
(1) 原式$=21×(-\dfrac{1}{3})=-7$
(2) 原式$=(-\dfrac{5}{6})×(-6)=5$
(3) 原式$=(-4)×(-\dfrac{5}{12})=\dfrac{5}{3}$
(4) 原式$=(-4.8)×\dfrac{7}{8}=-4.2$
【答案】
(1)$-7$；(2)$5$；(3)$\dfrac{5}{3}$；(4)$-4.2$
【知识点】
有理数除法法则，倒数的定义，有理数乘法运算
【点评】
本题属于有理数除法的基础练习题，主要考查除法法则的应用能力，解题的易错点是符号判断错误，掌握“先定符号，再算数值”的运算顺序可有效降低出错率，这类基础运算需要熟练掌握，为后续复杂有理数运算打基础。
【难度系数】
0.8

6.下列化简正确的是()

A.$-\dfrac{12}{3}=4$
B.$-\dfrac{20}{-16}=-\dfrac{5}{4}$
C.$\dfrac{0}{3}=3$
D.$-\dfrac{28}{12}=-\dfrac{7}{3}$

D

【分析】
本题考查有理数除法的化简计算，解题思路如下：首先明确有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0。我们对每个选项按照“先确定结果的符号，再化简绝对值（约分）”的步骤逐一计算，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$-\dfrac{12}{3}$是异号两数相除，结果为负，绝对值计算得$\dfrac{12}{3}=4$，故结果为$-4$，A错误；
B选项：$-\dfrac{20}{-16}$是同号两数相除，结果为正，绝对值约分$\dfrac{20}{16}=\dfrac{5}{4}$，故结果为$\dfrac{5}{4}$，B错误；
C选项：根据0的除法规则，0除以任意非0数都得0，故$\dfrac{0}{3}=0$，C错误；
D选项：$-\dfrac{28}{12}$结果为负，分子分母同时除以最大公因数4，绝对值约分后为$\dfrac{7}{3}$，故结果为$-\dfrac{7}{3}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法法则、分数约分、有理数符号判定
【点评】
本题是有理数除法的基础考察题，易错点是计算时混淆符号规则，做题时遵循“先定符号，再算绝对值”的顺序，可有效避免符号错误，提升计算准确率。
【难度系数】
0.85

7.化简下列分数：
(1)$-\dfrac{9}{27}$；
(2)$\dfrac{\dfrac{-1}{3}}{5}$；
(3)$\dfrac{0.2}{-0.5}$。

解：(1)$-\dfrac{9}{27}=-\dfrac{1}{3}.$
(2)$\dfrac{\dfrac{-1}{3}}{5}=-\dfrac{1}{15}.$
(3)$\dfrac{0.2}{-0.5}=-\dfrac{2}{5}.$

【分析】
本题是有理数除法相关的分数化简题，解题遵循“先定符号，再算绝对值”的思路：首先根据有理数除法的符号法则（异号相除得负，同号相除得正）确定最终结果的符号；再计算分子、分母绝对值的比值，普通分数直接约分，繁分数转化为乘法计算，含小数的分数先将小数化为整数再约分即可。
【解析】
解：(1) 先确定结果符号为负，再对分子分母约分，分子分母的最大公约数是9：
$-\dfrac{9}{27}=-\dfrac{9÷9}{27÷9}=-\dfrac{1}{3}$
(2) 繁分数可转化为分子除以分母，根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”计算：
$\dfrac{\dfrac{-1}{3}}{5}=(-\dfrac{1}{3})÷5=(-\dfrac{1}{3})×\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{15}$
(3) 先确定结果符号为负，再将分子分母的小数化为整数（分子分母同乘10）：
$\dfrac{0.2}{-0.5}=-\dfrac{0.2×10}{0.5×10}=-\dfrac{2}{5}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{3}$；(2)$-\dfrac{1}{15}$；(3)$-\dfrac{2}{5}$
【知识点】
有理数除法、分数约分、符号判定
【点评】
本题属于有理数除法的基础运算题，核心是掌握“先定符号再算绝对值”的运算顺序，能有效巩固有理数除法的运算规则，提升基础运算的准确率。
【难度系数】
0.8