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6.如图，$□ ABCD$中，以点B为圆心、适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点E，F，分别以点E和点F为圆心、大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧，两弧在$∠ ABC$内交于点O，作射线BO交AD于点G，交CD的延长线于点H，若$AB=3$，$BC=5$，则DH的长为
2
。答案
2
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的类型：题中作图是角平分线的标准尺规作图，因此可得射线BH平分∠ABC，即∠ABH=∠CBH。接下来结合平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，可得AB//CD，AB=CD=3，BC=5，由AB//CD可得内错角∠H=∠ABH，等量代换得∠H=∠CBH，根据等角对等边可推出HC=BC，最后用HC的长度减去CD的长度即可求出DH的长。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=3，BC=5，
∴∠H=∠ABH，
∴∠H=∠CBH，
∴HC=BC=5，
∴DH=HC - CD=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先识别出角平分线，再结合平行线的性质得到等角，进而推出等腰三角形，即可快速求出线段长度，考查学生对基础作图和几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的类型：题中作图是角平分线的标准尺规作图，因此可得射线BH平分∠ABC，即∠ABH=∠CBH。接下来结合平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，可得AB//CD，AB=CD=3，BC=5，由AB//CD可得内错角∠H=∠ABH，等量代换得∠H=∠CBH，根据等角对等边可推出HC=BC，最后用HC的长度减去CD的长度即可求出DH的长。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=3，BC=5，
∴∠H=∠ABH，
∴∠H=∠CBH，
∴HC=BC=5，
∴DH=HC - CD=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先识别出角平分线，再结合平行线的性质得到等角，进而推出等腰三角形，即可快速求出线段长度，考查学生对基础作图和几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图，四边形ABFE中，$AE // BF$，$AE = \frac{1}{2}BF$，若点C为BF的中点，连接AC，BE交于点D。
(1)求证：四边形ACFE是平行四边形；
(2)若$△ ABC$是等边三角形，且$AE=3$，求EF的长。
(1)求证：四边形ACFE是平行四边形；
(2)若$△ ABC$是等边三角形，且$AE=3$，求EF的长。
答案
7.(1)证明:
∵AE=$\frac{1}{2}$BF,点C为BF的中点，
∴BC=CF=AE=$\frac{1}{2}$BF。
又
∵AE//BF，
∴四边形ACFE是平行四边形。
(2)解:由(1)可知,BC=CF=AE=3。
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=3。
由(1)可知四边形ACFE是平行四边形，
∴AC=EF=3。
∵AE=$\frac{1}{2}$BF,点C为BF的中点，
∴BC=CF=AE=$\frac{1}{2}$BF。
又
∵AE//BF，
∴四边形ACFE是平行四边形。
(2)解:由(1)可知,BC=CF=AE=3。
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=3。
由(1)可知四边形ACFE是平行四边形，
∴AC=EF=3。
解析
【分析】
(1)要证明四边形ACFE是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理：已知AE//BF，即AE与CF平行，因此只需证明AE=CF即可。根据点C是BF中点，可得CF=$\frac{1}{2}$BF，结合已知AE=$\frac{1}{2}$BF，即可推出AE=CF，满足平行四边形的判定条件。
(2)求EF的长时，可借助(1)的结论：平行四边形对边相等，因此EF=AC，只需计算AC的长度即可。已知△ABC是等边三角形，等边三角形三边相等，因此AC=BC，结合BC=AE=3，即可求出EF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AE=$\frac{1}{2}$BF，点C为BF的中点，
∴BC=CF=AE=$\frac{1}{2}$BF。
又
∵AE//BF，即AE//CF，
∴四边形ACFE是平行四边形。
(2)解：
由(1)可知，BC=CF=AE=3。
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=3。
由(1)可知四边形ACFE是平行四边形，
∴EF=AC=3。
【答案】
(1) 四边形ACFE是平行四边形，证明成立；
(2) EF的长为3。
【知识点】
平行四边形的判定；等边三角形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题时可直接将第一问的结论作为第二问的已知条件使用，核心是熟练掌握平行四边形和等边三角形的相关性质，梳理清楚图形中边的数量、位置关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1)要证明四边形ACFE是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理：已知AE//BF，即AE与CF平行，因此只需证明AE=CF即可。根据点C是BF中点，可得CF=$\frac{1}{2}$BF，结合已知AE=$\frac{1}{2}$BF，即可推出AE=CF，满足平行四边形的判定条件。
(2)求EF的长时，可借助(1)的结论：平行四边形对边相等，因此EF=AC，只需计算AC的长度即可。已知△ABC是等边三角形，等边三角形三边相等，因此AC=BC，结合BC=AE=3，即可求出EF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AE=$\frac{1}{2}$BF，点C为BF的中点，
∴BC=CF=AE=$\frac{1}{2}$BF。
又
∵AE//BF，即AE//CF，
∴四边形ACFE是平行四边形。
(2)解：
由(1)可知，BC=CF=AE=3。
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=3。
由(1)可知四边形ACFE是平行四边形，
∴EF=AC=3。
【答案】
(1) 四边形ACFE是平行四边形，证明成立；
(2) EF的长为3。
【知识点】
平行四边形的判定；等边三角形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题时可直接将第一问的结论作为第二问的已知条件使用，核心是熟练掌握平行四边形和等边三角形的相关性质，梳理清楚图形中边的数量、位置关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8.如图,在四边形ABCD中,AC=5,BC=3,∠B=90°,CD//AB,O是AC的中点,连接DO并延长,交AB于点E,连接CE。
(1)求证:四边形AECD是平行四边形；
(2)若CE平分∠ACB,求AD的长。
(1)求证:四边形AECD是平行四边形；
(2)若CE平分∠ACB,求AD的长。
答案
8.(1)证明:
∵O是AC的中点，
∴OC=OA。
∵CD//AB,连接DO并延长,交AB于点E，
∴CD//AE,∠ODC=∠OEA。
在△COD和△AOE中，
$\begin{cases}∠COD=∠AOE, \\∠ODC=∠OEA, \\OC=OA,\end{cases}$
∴△COD≌△AOE(AAS)，
∴CD=AE，
∴四边形AECD是平行四边形。
(2)解:作EF⊥AC于点F。
∵AC=5,BC=3,∠B=90°，
∴AB=$\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵CE平分∠ACB,EF⊥AC于点F,EB⊥CB于点B，
∴EF=EB。
∵$S_{△ACE}+S_{△BCE}=S_{△ABC}$，
∴$\frac{1}{2}AC·EF+\frac{1}{2}BC·EB=\frac{1}{2}AB·BC$，
∴$\frac{1}{2}×5EB+\frac{1}{2}×3EB=\frac{1}{2}×4×3$，
解得$EB=\frac{3}{2}$，
∴AD=CE=$\sqrt{EB^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴AD的长是$\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
（1）要证明四边形AECD是平行四边形，已知CD//AB，因此只需证明CD=AE即可。结合O是AC中点的条件，可通过证明△COD和△AOE全等得到CD=AE，全等的条件可由平行线的内错角相等、对顶角相等、中点得到的边相等推出，满足AAS全等判定。
（2）由平行四边形的性质可知AD=CE，因此只需求出CE的长度即可。已知CE平分∠ACB，∠B=90°，根据角平分线的性质，作EF⊥AC可得EF=EB，再利用△ACE和△BCE的面积和等于△ABC的面积列方程求出EB的长度，最后用勾股定理计算CE的长度，即为AD的长。
【解析】
(1)证明:
∵O是AC的中点，
∴OC=OA。
∵CD//AB，连接DO并延长交AB于点E，
∴CD//AE，∠ODC=∠OEA。
在△COD和△AOE中，
$\begin{cases}∠COD=∠AOE, \\∠ODC=∠OEA, \\OC=OA,\end{cases}$
∴△COD≌△AOE(AAS)，
∴CD=AE，
∴四边形AECD是平行四边形。
(2)解:作EF⊥AC于点F。
∵AC=5，BC=3，∠B=90°，
∴AB=$\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵CE平分∠ACB，EF⊥AC于点F，EB⊥CB于点B，
∴EF=EB。
∵$S_{△ACE}+S_{△BCE}=S_{△ABC}$，
∴$\frac{1}{2}AC·EF+\frac{1}{2}BC·EB=\frac{1}{2}AB·BC$，
∴$\frac{1}{2}×5EB+\frac{1}{2}×3EB=\frac{1}{2}×4×3$，
解得$EB=\frac{3}{2}$，
∴AD=CE=$\sqrt{EB^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴AD的长是$\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) 四边形AECD是平行四边形，证明见解析；
(2) AD的长为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【知识点】
平行四边形的判定；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，第一问考查全等三角形的判定与平行四边形的判定，属于基础内容；第二问结合角平分线的性质，用面积法求解线段长度，简化了计算，有助于培养几何综合分析和计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形AECD是平行四边形，已知CD//AB，因此只需证明CD=AE即可。结合O是AC中点的条件，可通过证明△COD和△AOE全等得到CD=AE，全等的条件可由平行线的内错角相等、对顶角相等、中点得到的边相等推出，满足AAS全等判定。
（2）由平行四边形的性质可知AD=CE，因此只需求出CE的长度即可。已知CE平分∠ACB，∠B=90°，根据角平分线的性质，作EF⊥AC可得EF=EB，再利用△ACE和△BCE的面积和等于△ABC的面积列方程求出EB的长度，最后用勾股定理计算CE的长度，即为AD的长。
【解析】
(1)证明:
∵O是AC的中点，
∴OC=OA。
∵CD//AB，连接DO并延长交AB于点E，
∴CD//AE，∠ODC=∠OEA。
在△COD和△AOE中，
$\begin{cases}∠COD=∠AOE, \\∠ODC=∠OEA, \\OC=OA,\end{cases}$
∴△COD≌△AOE(AAS)，
∴CD=AE，
∴四边形AECD是平行四边形。
(2)解:作EF⊥AC于点F。
∵AC=5，BC=3，∠B=90°，
∴AB=$\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵CE平分∠ACB，EF⊥AC于点F，EB⊥CB于点B，
∴EF=EB。
∵$S_{△ACE}+S_{△BCE}=S_{△ABC}$，
∴$\frac{1}{2}AC·EF+\frac{1}{2}BC·EB=\frac{1}{2}AB·BC$，
∴$\frac{1}{2}×5EB+\frac{1}{2}×3EB=\frac{1}{2}×4×3$，
解得$EB=\frac{3}{2}$，
∴AD=CE=$\sqrt{EB^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴AD的长是$\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) 四边形AECD是平行四边形，证明见解析；
(2) AD的长为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【知识点】
平行四边形的判定；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，第一问考查全等三角形的判定与平行四边形的判定，属于基础内容；第二问结合角平分线的性质，用面积法求解线段长度，简化了计算，有助于培养几何综合分析和计算能力。
【难度系数】
0.7
9.如图,已知$△ ABC$是等边三角形,点$D,F$分别在线段$BC$,$AB$上,$∠ EFB = 60°$,$DC=EF$。
(1)求证:四边形$EFCD$是平行四边形;
(2)若$BF=EF$,求证:$AE=AD$。
(1)求证:四边形$EFCD$是平行四边形;
(2)若$BF=EF$,求证:$AE=AD$。
答案
9.证明:(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°。
∵∠EFB=60°，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF//DC。(内错角相等,两直线平行)
∵DC=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形。
(2)连接BE。
∵BF=EF,∠EFB=60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB=EF,∠EBF=60°。
∵DC=EF，
∴EB=DC。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AB=AC，
∴∠EBF=∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD。
解析
【分析】
(1)要证明四边形$EFCD$是平行四边形，已知$DC=EF$，只需证明$EF// DC$即可。首先利用等边$△ ABC$的内角为$60°$，结合已知$∠ EFB=60°$，可得相等的角，推出$EF$平行于$BC$即$EF// DC$，结合边相等的条件即可判定平行四边形。
(2)要证明$AE=AD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先连接$BE$，先根据$BF=EF$且$∠ EFB=60°$，判定$△ EFB$是等边三角形，得到$EB=EF=DC$，再结合等边$△ ABC$的性质，找到$△ AEB$和$△ ADC$全等的条件，证明全等后即可得到对应边$AE=AD$。
【解析】
(1)
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ABC=60°$。
$\because ∠ EFB=60°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ EFB$，
$\therefore EF// DC$（同位角相等，两直线平行）。
又$\because DC=EF$，
$\therefore$ 四边形$EFCD$是平行四边形。
(2)连接$BE$。
$\because BF=EF$，$∠ EFB=60°$，
$\therefore △ EFB$是等边三角形，
$\therefore EB=EF$，$∠ EBF=60°$。
$\because DC=EF$，
$\therefore EB=DC$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ACB=60°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ EBF=∠ ACB$。
在$△ AEB$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}EB=DC \\∠ ABE=∠ ACD \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=AD$。
【答案】
9.证明:(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°。
∵∠EFB=60°，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF//DC。(内错角相等,两直线平行)
∵DC=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形。
(2)连接BE。
∵BF=EF,∠EFB=60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB=EF,∠EBF=60°。
∵DC=EF，
∴EB=DC。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AB=AC，
∴∠EBF=∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD。
【知识点】
平行四边形的判定；等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是熟练运用相关几何判定和性质，通过角度关系推导平行关系，借助等边三角形的性质得到全等所需的边、角条件，即可完成证明，整体逻辑链条清晰，考察内容较为基础。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形$EFCD$是平行四边形，已知$DC=EF$，只需证明$EF// DC$即可。首先利用等边$△ ABC$的内角为$60°$，结合已知$∠ EFB=60°$，可得相等的角，推出$EF$平行于$BC$即$EF// DC$，结合边相等的条件即可判定平行四边形。
(2)要证明$AE=AD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先连接$BE$，先根据$BF=EF$且$∠ EFB=60°$，判定$△ EFB$是等边三角形，得到$EB=EF=DC$，再结合等边$△ ABC$的性质，找到$△ AEB$和$△ ADC$全等的条件，证明全等后即可得到对应边$AE=AD$。
【解析】
(1)
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ABC=60°$。
$\because ∠ EFB=60°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ EFB$，
$\therefore EF// DC$（同位角相等，两直线平行）。
又$\because DC=EF$，
$\therefore$ 四边形$EFCD$是平行四边形。
(2)连接$BE$。
$\because BF=EF$，$∠ EFB=60°$，
$\therefore △ EFB$是等边三角形，
$\therefore EB=EF$，$∠ EBF=60°$。
$\because DC=EF$，
$\therefore EB=DC$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ACB=60°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ EBF=∠ ACB$。
在$△ AEB$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}EB=DC \\∠ ABE=∠ ACD \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=AD$。
【答案】
9.证明:(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°。
∵∠EFB=60°，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF//DC。(内错角相等,两直线平行)
∵DC=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形。
(2)连接BE。
∵BF=EF,∠EFB=60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB=EF,∠EBF=60°。
∵DC=EF，
∴EB=DC。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AB=AC，
∴∠EBF=∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD。
【知识点】
平行四边形的判定；等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是熟练运用相关几何判定和性质，通过角度关系推导平行关系，借助等边三角形的性质得到全等所需的边、角条件，即可完成证明，整体逻辑链条清晰，考察内容较为基础。
【难度系数】
0.7
