10.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AC=60\ \mathrm{cm}$,$∠ A=60°$,点$D$从点$C$出发沿$AC$方向以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$匀速运动,同时点$E$从点$A$出发沿$AB$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动。设点$D$,$E$运动的时间是$t\ \mathrm{s}(0＜t＜15)$。过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$,连接$DE$,$EF$。
(1)求证:四边形$AEFD$是平行四边形;
(2)当$t$为何值时,$△ DEF$为直角三角形?请说明理由。

10.(1)证明:由题意得CD=4t,AE=2t,∠DFC=90°。
∵∠B=90°,∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2t=AE。
∵AB⊥BC,DF⊥BC，
∴DF//AE，
∴四边形AEFD是平行四边形。
(2)解:如图所示,当∠DEF=90°时，
由(1)可得:四边形AEFD是平行四边形，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∴∠AED=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
∴$(60-4t)=\frac{1}{2}×2t$，
解得t=12；
当∠EDF=90°时,则DE//BC。
∴∠ADE=∠C=30°,
∴AE=$\frac{1}{2}$AD。
∵CD=4t,AE=2t，
∴AD=AC−CD=60−4t，
∴$\frac{1}{2}(60-4t)=2t$，
解得$t=\frac{15}{2}$。
综上所述:$t=\frac{15}{2}$或t=12时,△DEF为直角三角形。

【分析】
(1) 要证明四边形AEFD是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导：先根据Rt△ABC的内角度数求出∠C=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质得到DF的长度，对比AE的长度可证DF=AE；最后根据AB、DF都垂直于BC，可证DF//AE，即可完成证明。
(2) △DEF为直角三角形时，需分类讨论直角的位置：由平行四边形的性质可知∠DFE=∠A=60°，不可能为直角，因此仅需分∠DEF=90°、∠EDF=90°两种情况，分别结合直角三角形的边角关系列关于t的方程求解，最后验证解是否符合t的取值范围即可。
【解析】
(1) 证明：由题意得，点D、E的运动时间为t s时，$CD=4t$，$AE=2t$。
∵$DF⊥BC$，
∴$∠DFC=90°$。
∵在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，$∠A=60°$，
∴$∠C=180°-90°-60°=30°$。
∴在$Rt△DFC$中，$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4t=2t$，即$DF=AE$。
又
∵$AB⊥BC$，$DF⊥BC$，
∴$DF// AE$。
∴一组对边平行且相等，四边形AEFD是平行四边形。
(2) 解：分两种情况讨论：
① 当$∠DEF=90°$时，
由(1)可知四边形AEFD是平行四边形，
∴$AD// EF$，
∴$∠ADE=∠DEF=90°$。
∵$∠A=60°$，
∴$∠AED=180°-90°-60°=30°$，
∴在$Rt△ADE$中，$AD=\frac{1}{2}AE$。
∵$AD=AC-CD=60-4t$，$AE=2t$，
代入得$60-4t=\frac{1}{2}×2t$，
解得$t=12$，符合$0＜t＜15$的取值范围。
② 当$∠EDF=90°$时，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴$AE// DF$，
∴$DE⊥DF$即$DE// BC$，
∴$∠ADE=∠C=30°$。
∴在$Rt△ADE$中，$AE=\frac{1}{2}AD$。
∵$AD=60-4t$，$AE=2t$，
代入得$2t=\frac{1}{2}(60-4t)$，
解得$t=\frac{15}{2}$，符合$0＜t＜15$的取值范围。
综上所述，当$t=\frac{15}{2}$或$t=12$时，$△ DEF$为直角三角形。
【答案】
(1) 四边形AEFD是平行四边形，证明成立；
(2) $t=\frac{15}{2}$或$t=12$时，$△ DEF$为直角三角形。
【知识点】
平行四边形的判定；含30°角的直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于几何动点综合题，融合了平行四边形判定、直角三角形边角性质等核心知识点，解题的关键是对直角三角形的直角位置进行分类讨论，避免漏解，同时要注意结合动点的运动范围验证解的有效性，能较好地锻炼学生的逻辑推理能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6

知识点 平行四边形的判定
对角线的四边形是平行四边形。

互相平分

【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，题目明确限定了是对角线相关的判定条件，解题时首先回忆平行四边形的三类判定方向：边相关、角相关、对角线相关。其中对角线对应的判定规则需要和特殊平行四边形（矩形、菱形）的对角线特征区分开，不能误填“相等”“垂直”等内容，回忆课本给出的判定定理即可得出正确内容。
【解析】
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此空格处应填写“互相平分”。
【答案】
互相平分
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对平行四边形判定定理的记忆掌握，解题时要注意区分普通平行四边形和特殊平行四边形的判定条件差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

例1 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠CAD=∠ACB，OA=OC，求证：四边形ABCD是平行四边形。

[点拨] 首先利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出$EO=FO$，
$BO=DO$，即可得出答案。
[证明] ∵$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，
∴$AO=CO$，$BO=DO$，
∵$AE=CF$，
∴$AF=EC$，则$FO=EO$，
∴四边形BFDE是平行四边形。

证明：
在△AOD和△COB中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠ACB \\OA=OC \\∠AOD=∠COB\end{array} $
∴△AOD≌△COB（ASA）
∴OD=OB
又∵OA=OC，即四边形ABCD的对角线互相平分
∴四边形ABCD是平行四边形。

【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，结合已知给出的对角线相关条件OA=OC，可优先考虑用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，即需要再证明OB=OD。要得到OB=OD，可通过证明包含这两条边的三角形全等：已知∠CAD=∠ACB，OA=OC，再结合对顶角相等可得∠AOD=∠COB，刚好符合ASA全等判定的条件，即可证△AOD≌△COB，得到OD=OB，进而完成证明。
【解析】
证明：
在△AOD和△COB中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠ACB \\OA=OC \\∠AOD=∠COB\end{array} $
∴△AOD≌△COB（ASA）
∴OD=OB
又
∵OA=OC，即四边形ABCD的对角线互相平分
∴四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
证明：
在△AOD和△COB中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠ACB \\OA=OC \\∠AOD=∠COB\end{array} $
∴△AOD≌△COB（ASA）
∴OD=OB
又
∵OA=OC，即四边形ABCD的对角线互相平分
∴四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定；平行四边形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，解题核心是通过已知条件推导三角形全等，得到对角线互相平分的结论，能够帮助学生巩固几何证明的逻辑推导能力，熟悉全等三角形与平行四边形判定的结合应用。
【难度系数】
0.8