登录
变式训练2 如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且$BF=DE$。
求证:四边形AECF是平行四边形。
求证:四边形AECF是平行四边形。
答案
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC。
∵BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC。
∵BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形。
解析
【分析】
要证明四边形AECF是平行四边形，可结合平行四边形的判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质，可得AD和BC平行且相等；再结合已知BF=DE，通过线段的和差关系就能推出AE=CF，同时AE、CF分别在AD、BC上，天然满足互相平行的条件，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC。
∵BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础应用题型，解题核心是利用原平行四边形对边的性质，推导待证四边形一组对边的数量和位置关系，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要证明四边形AECF是平行四边形，可结合平行四边形的判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质，可得AD和BC平行且相等；再结合已知BF=DE，通过线段的和差关系就能推出AE=CF，同时AE、CF分别在AD、BC上，天然满足互相平行的条件，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC。
∵BF=DE，
∴BC−BF=AD−DE，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础应用题型，解题核心是利用原平行四边形对边的性质，推导待证四边形一组对边的数量和位置关系，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85
1.王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是 （
A.$AB// CD,AD// BC$
B.$AB// CD,AD=BC$
C.$AB=CD,AD=BC$
D.$AB// CD,AB=CD$
B
）A.$AB// CD,AD// BC$
B.$AB// CD,AD=BC$
C.$AB=CD,AD=BC$
D.$AB// CD,AB=CD$
答案
B
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题时先回忆平行四边形的判定定理，再逐一分析每个选项的条件是否能判定四边形是平行四边形，注意区分易混淆的条件：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还可能是等腰梯形，据此即可选出错误的检查方法。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 若$AB// CD,AD// BC$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定该零件是平行四边形，本选项方法正确，不符合题意；
B. 若$AB// CD,AD=BC$，该四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，无法判定一定是平行四边形，本选项方法错误，符合题意；
C. 若$AB=CD,AD=BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定该零件是平行四边形，本选项方法正确，不符合题意；
D. 若$AB// CD,AB=CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定该零件是平行四边形，本选项方法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；等腰梯形的特征；四边形对边关系辨析
【点评】
本题是基础概念题，核心考查平行四边形判定定理的应用，解题的关键是准确掌握判定定理，注意区分易混淆的四边形性质，避免错用判定条件。
【难度系数】
0.7
本题考查平行四边形的判定，解题时先回忆平行四边形的判定定理，再逐一分析每个选项的条件是否能判定四边形是平行四边形，注意区分易混淆的条件：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还可能是等腰梯形，据此即可选出错误的检查方法。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 若$AB// CD,AD// BC$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定该零件是平行四边形，本选项方法正确，不符合题意；
B. 若$AB// CD,AD=BC$，该四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，无法判定一定是平行四边形，本选项方法错误，符合题意；
C. 若$AB=CD,AD=BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定该零件是平行四边形，本选项方法正确，不符合题意；
D. 若$AB// CD,AB=CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定该零件是平行四边形，本选项方法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；等腰梯形的特征；四边形对边关系辨析
【点评】
本题是基础概念题，核心考查平行四边形判定定理的应用，解题的关键是准确掌握判定定理，注意区分易混淆的四边形性质，避免错用判定条件。
【难度系数】
0.7
2.点A,B,C,D在一个平面内,有以下条件:
①AB//CD;②AB=CD;③BC//AD;
④BC=AD。从这四个条件中选两个,不能推出四边形ABCD是平行四边形的选
项是 (
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
①AB//CD;②AB=CD;③BC//AD;
④BC=AD。从这四个条件中选两个,不能推出四边形ABCD是平行四边形的选
项是 (
C
)A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
答案
C
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题思路如下：首先回忆平行四边形的常用判定定理，再逐个分析每个选项的两个条件是否符合判定要求，遇到不确定的组合可以通过举反例验证，比如一组对边平行、另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不属于平行四边形，就能快速得出结论。
【解析】
先明确平行四边形的常见判定定理：
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
接下来逐个分析选项：
选项A：选条件①②，即$AB// CD$且$AB=CD$，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，不符合题意；
选项B：选条件①③，即$AB// CD$且$BC// AD$，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，不符合题意；
选项C：选条件①④，即$AB// CD$且$BC=AD$，此时四边形可能是等腰梯形（等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等），无法推出一定是平行四边形，符合题意；
选项D：选条件②④，即$AB=CD$且$BC=AD$，符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；等腰梯形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平行四边形判定定理的掌握程度，解题时要注意特殊四边形的反例应用，避免因忽略等腰梯形的特殊性质导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查平行四边形的判定，解题思路如下：首先回忆平行四边形的常用判定定理，再逐个分析每个选项的两个条件是否符合判定要求，遇到不确定的组合可以通过举反例验证，比如一组对边平行、另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不属于平行四边形，就能快速得出结论。
【解析】
先明确平行四边形的常见判定定理：
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
接下来逐个分析选项：
选项A：选条件①②，即$AB// CD$且$AB=CD$，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，不符合题意；
选项B：选条件①③，即$AB// CD$且$BC// AD$，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，不符合题意；
选项C：选条件①④，即$AB// CD$且$BC=AD$，此时四边形可能是等腰梯形（等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等），无法推出一定是平行四边形，符合题意；
选项D：选条件②④，即$AB=CD$且$BC=AD$，符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可推出四边形$ABCD$是平行四边形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；等腰梯形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平行四边形判定定理的掌握程度，解题时要注意特殊四边形的反例应用，避免因忽略等腰梯形的特殊性质导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3.综合实践课上，嘉嘉画出$△ ABD$，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形。(1)～(3)是其作图过程。嘉嘉可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 （
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
C
）A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
答案
C
解析
【分析】
解题时先分析每一步尺规作图的含义：第一步作图是作出BD的中点O，可得OB=OD；第二步是过A、O两点作射线；第三步是在射线AO上截取OC=OA，此时可得四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，结合平行四边形的判定定理即可确定对应的判定依据。
【解析】
观察作图过程：首先通过尺规作图得到BD的中点O，因此OB=OD；随后在AO的延长线上截取OC=OA，即OA=OC。此时四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，满足OA=OC、OB=OD，也就是对角线互相平分。根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形ABCD为平行四边形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形的判定，解题核心是读懂作图步骤得到对角线的数量关系，侧重对基础概念和识图能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先分析每一步尺规作图的含义：第一步作图是作出BD的中点O，可得OB=OD；第二步是过A、O两点作射线；第三步是在射线AO上截取OC=OA，此时可得四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，结合平行四边形的判定定理即可确定对应的判定依据。
【解析】
观察作图过程：首先通过尺规作图得到BD的中点O，因此OB=OD；随后在AO的延长线上截取OC=OA，即OA=OC。此时四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，满足OA=OC、OB=OD，也就是对角线互相平分。根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形ABCD为平行四边形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形的判定，解题核心是读懂作图步骤得到对角线的数量关系，侧重对基础概念和识图能力的考查。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$3×3$的正方形网格中,以线段AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多可以画（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用平行四边形的核心性质：平行四边形的对角线互相平分。已知AB是所作平行四边形的对角线，因此AB的中点一定也是另两个顶点连线的中点。我们只需要先确定AB的中点，再找出网格中所有关于这个中点对称的格点对，每一组对称格点都能和A、B组成符合要求的平行四边形，最后统计符合条件的格点对数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点A的坐标为$(0,3)$，点B的坐标为$(2,0)$，则线段AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{3+0}{2})=(1,1.5)$。
根据平行四边形对角线互相平分的性质，另两个顶点的坐标$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$需满足：
1. $\frac{x_1+x_2}{2}=1$，$\frac{y_1+y_2}{2}=1.5$，即$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=3$；
2. 两点均不是A或B，且都在网格的格点上。
枚举符合条件的点对：
① $(0,0)$和$(2,3)$；
② $(0,1)$和$(2,2)$；
③ $(0,2)$和$(2,1)$；
④ $(1,0)$和$(1,3)$；
⑤ $(1,1)$和$(1,2)$。
共5组符合条件的点对，因此最多可以画5个符合要求的平行四边形。
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；中心对称的性质；坐标与图形
【点评】本题利用平行四边形对角线互相平分的性质将计数问题转化为找对称格点的问题，降低了解题难度，解题时要注意全面枚举，避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用平行四边形的核心性质：平行四边形的对角线互相平分。已知AB是所作平行四边形的对角线，因此AB的中点一定也是另两个顶点连线的中点。我们只需要先确定AB的中点，再找出网格中所有关于这个中点对称的格点对，每一组对称格点都能和A、B组成符合要求的平行四边形，最后统计符合条件的格点对数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点A的坐标为$(0,3)$，点B的坐标为$(2,0)$，则线段AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{3+0}{2})=(1,1.5)$。
根据平行四边形对角线互相平分的性质，另两个顶点的坐标$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$需满足：
1. $\frac{x_1+x_2}{2}=1$，$\frac{y_1+y_2}{2}=1.5$，即$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=3$；
2. 两点均不是A或B，且都在网格的格点上。
枚举符合条件的点对：
① $(0,0)$和$(2,3)$；
② $(0,1)$和$(2,2)$；
③ $(0,2)$和$(2,1)$；
④ $(1,0)$和$(1,3)$；
⑤ $(1,1)$和$(1,2)$。
共5组符合条件的点对，因此最多可以画5个符合要求的平行四边形。
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；中心对称的性质；坐标与图形
【点评】本题利用平行四边形对角线互相平分的性质将计数问题转化为找对称格点的问题，降低了解题难度，解题时要注意全面枚举，避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.6
5.如图,若增加“某条线段的长度为5”这个条件后,可证明四边形ABCD为平行四边形,则这条线段为
AD
。答案
AD
解析
【分析】
首先观察图形中的已知角：∠DAC=55°，∠ACB=55°，这两个角是直线AD、BC被AC所截形成的内错角，根据内错角相等可推出AD//BC。已知BC长度为5，根据平行四边形“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，要证明ABCD是平行四边形，只需让平行的这组对边AD和BC相等即可，因此需要添加长度为5的线段是AD。
【解析】
1. 由已知角的度数可得：$∠ DAC=∠ ACB=55°$，根据“内错角相等，两直线平行”，可证得$AD// BC$。
2. 已知线段$BC=5$，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，若添加$AD=5$，则$AD// BC$且$AD=BC$，即可证明四边形ABCD为平行四边形。
因此这条线段为AD。
【答案】
AD
【知识点】
平行线的判定；平行四边形的判定
【点评】
解题的关键是先通过角的关系得到平行的对边，再结合平行四边形的判定定理确定需要补充条件的线段，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
首先观察图形中的已知角：∠DAC=55°，∠ACB=55°，这两个角是直线AD、BC被AC所截形成的内错角，根据内错角相等可推出AD//BC。已知BC长度为5，根据平行四边形“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，要证明ABCD是平行四边形，只需让平行的这组对边AD和BC相等即可，因此需要添加长度为5的线段是AD。
【解析】
1. 由已知角的度数可得：$∠ DAC=∠ ACB=55°$，根据“内错角相等，两直线平行”，可证得$AD// BC$。
2. 已知线段$BC=5$，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，若添加$AD=5$，则$AD// BC$且$AD=BC$，即可证明四边形ABCD为平行四边形。
因此这条线段为AD。
【答案】
AD
【知识点】
平行线的判定；平行四边形的判定
【点评】
解题的关键是先通过角的关系得到平行的对边，再结合平行四边形的判定定理确定需要补充条件的线段，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
