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1. [2026 阜阳模拟]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C,O均为格点(网格线的交点).
(1)画出$△ ABC$关于点O的中心对称图形$△ A'B'C'$;
(2)尺规作图:在AC边上确定一点P,使$BP+CP=AC$.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)画出$△ ABC$关于点O的中心对称图形$△ A'B'C'$;
(2)尺规作图:在AC边上确定一点P,使$BP+CP=AC$.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
解：
(1) 分别连接AO、BO、CO并延长，在延长线上依次取点$A'$、$B'$、$C'$，使得$OA'=OA$，$OB'=OB$，$OC'=OC$，顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，所得$△ A'B'C'$即为$△ ABC$关于点$O$的中心对称图形。
(2) 由$BP+CP=AC$，且$AC=AP+CP$，可得$BP=AP$，因此点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。用尺规作线段$AB$的垂直平分线，该垂直平分线与$AC$边的交点即为所求点$P$，保留对应作图痕迹即可。
(1) 分别连接AO、BO、CO并延长，在延长线上依次取点$A'$、$B'$、$C'$，使得$OA'=OA$，$OB'=OB$，$OC'=OC$，顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，所得$△ A'B'C'$即为$△ ABC$关于点$O$的中心对称图形。
(2) 由$BP+CP=AC$，且$AC=AP+CP$，可得$BP=AP$，因此点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。用尺规作线段$AB$的垂直平分线，该垂直平分线与$AC$边的交点即为所求点$P$，保留对应作图痕迹即可。
解析
【分析】
(1) 作关于某点的中心对称图形，核心是利用中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点连线经过对称中心，且到对称中心的距离相等。因此只需依次找到△ABC三个顶点关于点O的对称点，再顺次连接对称点即可得到所求图形。
(2) 要找到AC边上满足BP+CP=AC的点P，首先观察AC的线段构成：AC=AP+CP，代入条件可推出BP=AP，即点P到A、B两点的距离相等。根据线段垂直平分线的判定，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需作出AB的垂直平分线，它与AC的交点就是所求的点P。
【解析】
(1) ①分别连接AO、BO、CO并延长；
②在AO延长线上取A'，使OA'=OA，同理在BO、CO延长线上分别取B'、C'，满足OB'=OB、OC'=OC；
③顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'即为△ABC关于点O的中心对称图形。
(2) 由线段和的关系可知AC=AP+CP，结合BP+CP=AC，两式消去CP可推出BP=AP，即点P在AB的垂直平分线上。用尺规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与AC边的交点即为所求的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 按上述步骤作出的△A'B'C'即为所求；
(2) 按上述步骤找到的AC边上的点P即为所求。
【知识点】
中心对称的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题侧重考查基础作图能力和几何逻辑转化能力，第一问直接考查中心对称作图的基本方法，第二问需要先对条件进行等量转化，再结合线段垂直平分线的性质作图，属于基础类的作图考查题，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
(1) 作关于某点的中心对称图形，核心是利用中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点连线经过对称中心，且到对称中心的距离相等。因此只需依次找到△ABC三个顶点关于点O的对称点，再顺次连接对称点即可得到所求图形。
(2) 要找到AC边上满足BP+CP=AC的点P，首先观察AC的线段构成：AC=AP+CP，代入条件可推出BP=AP，即点P到A、B两点的距离相等。根据线段垂直平分线的判定，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需作出AB的垂直平分线，它与AC的交点就是所求的点P。
【解析】
(1) ①分别连接AO、BO、CO并延长；
②在AO延长线上取A'，使OA'=OA，同理在BO、CO延长线上分别取B'、C'，满足OB'=OB、OC'=OC；
③顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'即为△ABC关于点O的中心对称图形。
(2) 由线段和的关系可知AC=AP+CP，结合BP+CP=AC，两式消去CP可推出BP=AP，即点P在AB的垂直平分线上。用尺规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与AC边的交点即为所求的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 按上述步骤作出的△A'B'C'即为所求；
(2) 按上述步骤找到的AC边上的点P即为所求。
【知识点】
中心对称的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题侧重考查基础作图能力和几何逻辑转化能力，第一问直接考查中心对称作图的基本方法，第二问需要先对条件进行等量转化，再结合线段垂直平分线的性质作图，属于基础类的作图考查题，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
2. [2026六安模拟]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为(-4，2)，(-2，6)，(0，4)。
(1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；
(2)以点O为对称中心，画出△ABC的中心对称图形△A'B'C'；
80 数学 九年级 上册 人教版
(3)在第三象限内选一点P，其横坐标为-2，使PA=PA'。
(1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；
(2)以点O为对称中心，画出△ABC的中心对称图形△A'B'C'；
80 数学 九年级 上册 人教版
(3)在第三象限内选一点P，其横坐标为-2，使PA=PA'。
答案
解：
(1) 平移后对应点坐标：
$A_1(-4+6,2)=(2,2)$，$B_1(-2+6,6)=(4,6)$，$C_1(0+6,4)=(6,4)$，
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，依次连接三边，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 关于原点$O$中心对称的对应点坐标：
$A'(4,-2)$，$B'(2,-6)$，$C'(0,-4)$，
在坐标系中描出$A'$、$B'$、$C'$三点，依次连接三边，得到$△ A'B'C'$。
(3) 连接$AA'$，作线段$AA'$的垂直平分线，该直线与直线$x=-2$在第三象限的交点即为所求点$P$，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,-4)}$，满足$PA=PA'$且横坐标为$-2$、位于第三象限。
(1) 平移后对应点坐标：
$A_1(-4+6,2)=(2,2)$，$B_1(-2+6,6)=(4,6)$，$C_1(0+6,4)=(6,4)$，
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，依次连接三边，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 关于原点$O$中心对称的对应点坐标：
$A'(4,-2)$，$B'(2,-6)$，$C'(0,-4)$，
在坐标系中描出$A'$、$B'$、$C'$三点，依次连接三边，得到$△ A'B'C'$。
(3) 连接$AA'$，作线段$AA'$的垂直平分线，该直线与直线$x=-2$在第三象限的交点即为所求点$P$，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,-4)}$，满足$PA=PA'$且横坐标为$-2$、位于第三象限。
解析
【分析】
(1) 解决平移作图问题，遵循平移坐标变化规律：向右平移时，点的纵坐标不变，横坐标加上平移距离。先计算三个顶点平移后的坐标，再描点、依次连接即可得到平移后的三角形；
(2) 关于原点中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，先算出△ABC三个顶点关于原点的对称点坐标，再描点连线即可得到中心对称图形；
(3) 根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知点P在AA'的垂直平分线上，求出AA'的垂直平分线与直线x=-2在第三象限的交点，即为所求点P。
【解析】
(1) 向右平移6个单位，各点横坐标加6，纵坐标不变，可得对应点坐标：
$A_1(-4+6,2)=(2,2)$，$B_1(-2+6,6)=(4,6)$，$C_1(0+6,4)=(6,4)$，
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，依次连接三边，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 关于原点$O$中心对称的点横、纵坐标均为原坐标的相反数，可得对应点坐标：
$A'(4,-2)$，$B'(2,-6)$，$C'(0,-4)$，
在坐标系中描出$A'$、$B'$、$C'$三点，依次连接三边，得到$△ A'B'C'$。
(3) 由$PA=PA'$可知点P在线段$AA'$的垂直平分线上，作线段$AA'$的垂直平分线，该直线与直线$x=-2$在第三象限的交点即为所求点$P$，计算可得点$P$的坐标为$(-2,-4)$，满足横坐标为$-2$、位于第三象限且$PA=PA'$。
【答案】
(1) $△A_1B_1C_1$顶点坐标为$A_1(2,2)$、$B_1(4,6)$、$C_1(6,4)$，作图见解析；
(2) $△A'B'C'$顶点坐标为$A'(4,-2)$、$B'(2,-6)$、$C'(0,-4)$，作图见解析；
(3) 点$P$坐标为$\boldsymbol{(-2,-4)}$。
【知识点】
坐标平移变换，中心对称的坐标特征，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系网格作图的典型题，综合考查图形变换的坐标运算规律和线段垂直平分线的应用，既锻炼动手作图能力，也强化了坐标变换和几何性质结合的解题思维，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 解决平移作图问题，遵循平移坐标变化规律：向右平移时，点的纵坐标不变，横坐标加上平移距离。先计算三个顶点平移后的坐标，再描点、依次连接即可得到平移后的三角形；
(2) 关于原点中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，先算出△ABC三个顶点关于原点的对称点坐标，再描点连线即可得到中心对称图形；
(3) 根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知点P在AA'的垂直平分线上，求出AA'的垂直平分线与直线x=-2在第三象限的交点，即为所求点P。
【解析】
(1) 向右平移6个单位，各点横坐标加6，纵坐标不变，可得对应点坐标：
$A_1(-4+6,2)=(2,2)$，$B_1(-2+6,6)=(4,6)$，$C_1(0+6,4)=(6,4)$，
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，依次连接三边，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 关于原点$O$中心对称的点横、纵坐标均为原坐标的相反数，可得对应点坐标：
$A'(4,-2)$，$B'(2,-6)$，$C'(0,-4)$，
在坐标系中描出$A'$、$B'$、$C'$三点，依次连接三边，得到$△ A'B'C'$。
(3) 由$PA=PA'$可知点P在线段$AA'$的垂直平分线上，作线段$AA'$的垂直平分线，该直线与直线$x=-2$在第三象限的交点即为所求点$P$，计算可得点$P$的坐标为$(-2,-4)$，满足横坐标为$-2$、位于第三象限且$PA=PA'$。
【答案】
(1) $△A_1B_1C_1$顶点坐标为$A_1(2,2)$、$B_1(4,6)$、$C_1(6,4)$，作图见解析；
(2) $△A'B'C'$顶点坐标为$A'(4,-2)$、$B'(2,-6)$、$C'(0,-4)$，作图见解析；
(3) 点$P$坐标为$\boldsymbol{(-2,-4)}$。
【知识点】
坐标平移变换，中心对称的坐标特征，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系网格作图的典型题，综合考查图形变换的坐标运算规律和线段垂直平分线的应用，既锻炼动手作图能力，也强化了坐标变换和几何性质结合的解题思维，难度适中。
【难度系数】
0.7
3. [2026合肥三模]如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,4),B(-3,1),C(-1,3).
(1)画出△ABC向右平移5个单位长度后得到的△A₁B₁C₁；
(2)画出△A₁B₁C₁绕原点顺时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂；
(3)若点M在第三象限,且以C₁,C,A₂,M为顶点的四边形是正方形,则点M的坐标是
(1)画出△ABC向右平移5个单位长度后得到的△A₁B₁C₁；
(2)画出△A₁B₁C₁绕原点顺时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂；
(3)若点M在第三象限,且以C₁,C,A₂,M为顶点的四边形是正方形,则点M的坐标是
(-1,-2)
.答案
3.解：(1)略. (2)略. (3)(-1,-2)
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：1. 平移作图：向右平移5个单位的规律是各点横坐标加5，纵坐标不变，先算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁；2. 旋转作图：平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律为原坐标(x,y)变换后为(y,-x)，先算出△A₁B₁C₁三个顶点旋转后的坐标，再描点连线得到△A₂B₂C₂；3. 求点M坐标：先算出C、C₁、A₂三个点的坐标，分析三个点的位置关系，结合正方形邻边垂直且相等的性质，再根据M在第三象限的限制条件，即可求出M的坐标。
【解析】
(1) 根据向右平移5个单位的坐标变化规律：横坐标+5，纵坐标不变，可得A₁(-3+5,4)=(2,4)，B₁(-3+5,1)=(2,1)，C₁(-1+5,3)=(4,3)，在网格中描出A₁、B₁、C₁，依次连接即可得到△A₁B₁C₁，画图略。
(2) 根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律：(x,y)→(y,-x)，可得A₂(4,-2)，B₂(1,-2)，C₂(3,-4)，在网格中描出A₂、B₂、C₂，依次连接即可得到△A₂B₂C₂，画图略。
(3) 由前两步可得已知三点坐标：C(-1,3)，C₁(4,3)，A₂(4,-2)。计算可得：线段CC₁的长度为4 - (-1)=5，方向水平向右；线段C₁A₂的长度为3 - (-2)=5，方向竖直向下，因此CC₁⊥C₁A₂且CC₁=C₁A₂。若以这三点和M为顶点作正方形，且M在第三象限，则M的横坐标与C点相同为-1，纵坐标与A₂点相同为-2，即M的坐标为(-1,-2)。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) (-1,-2)
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与旋转变换，正方形的性质
【点评】
本题是网格作图类的典型习题，综合考查了图形的平移、旋转变换的坐标规律，以及正方形的性质应用，解题核心是熟练掌握坐标变换规则，结合图形的几何特征求解未知点坐标。
【难度系数】
0.7
本题分为三个小问，解题思路如下：1. 平移作图：向右平移5个单位的规律是各点横坐标加5，纵坐标不变，先算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁；2. 旋转作图：平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律为原坐标(x,y)变换后为(y,-x)，先算出△A₁B₁C₁三个顶点旋转后的坐标，再描点连线得到△A₂B₂C₂；3. 求点M坐标：先算出C、C₁、A₂三个点的坐标，分析三个点的位置关系，结合正方形邻边垂直且相等的性质，再根据M在第三象限的限制条件，即可求出M的坐标。
【解析】
(1) 根据向右平移5个单位的坐标变化规律：横坐标+5，纵坐标不变，可得A₁(-3+5,4)=(2,4)，B₁(-3+5,1)=(2,1)，C₁(-1+5,3)=(4,3)，在网格中描出A₁、B₁、C₁，依次连接即可得到△A₁B₁C₁，画图略。
(2) 根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律：(x,y)→(y,-x)，可得A₂(4,-2)，B₂(1,-2)，C₂(3,-4)，在网格中描出A₂、B₂、C₂，依次连接即可得到△A₂B₂C₂，画图略。
(3) 由前两步可得已知三点坐标：C(-1,3)，C₁(4,3)，A₂(4,-2)。计算可得：线段CC₁的长度为4 - (-1)=5，方向水平向右；线段C₁A₂的长度为3 - (-2)=5，方向竖直向下，因此CC₁⊥C₁A₂且CC₁=C₁A₂。若以这三点和M为顶点作正方形，且M在第三象限，则M的横坐标与C点相同为-1，纵坐标与A₂点相同为-2，即M的坐标为(-1,-2)。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) (-1,-2)
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与旋转变换，正方形的性质
【点评】
本题是网格作图类的典型习题，综合考查了图形的平移、旋转变换的坐标规律，以及正方形的性质应用，解题核心是熟练掌握坐标变换规则，结合图形的几何特征求解未知点坐标。
【难度系数】
0.7
